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数学专业的高年级博士生平均一天在数学上花多少时间？是如何分配的？其他的时间大家用来做什么？

 2019-6-1   匿名的用户  6986  5

2019-6-1

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讲真，都高年级了，应该不太会去计算平均一天用功多少时间这种事情了。回复
2019-6-1

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这个问题是我提的，初衷就是想了解大家在做什么。我今年博士第四年，坐标北美。在博士一、二年的时候还经常去和同学一起吃个饭，聊聊天，自从去年开始，就基本没有课余生活，变得越来越宅了。并不是没有爱好和娱乐活动，比如我喜欢刷社区，比如我每天学习累了会读一些闲书，写写读书笔记，或者弹弹电钢，有时还来几把三国杀，看个动漫，周末还打打乒乓球，但总体来说这些都不太与人交流的生活。尤其这个学期开始，变得越来越寡言，同学叫我出去玩也基本不出去了，总找借口推掉，所以我的生活就两个字，宅居。虽然必要的学术讨论（八卦）并没有少，但我确实不知道同学们的生活是什么样子的。。。“离群而索居，则孤陋而寡闻。”正因如此，才在社区来问一些问题，我自己也偶尔社区上写个答案。有知友 @宋诗晗邀请我回答这个问题，那么我在这里自问自答一下，就说说我是怎么宅居的吧。其实我的生活比较简单，那就是除了学数学就是教数学。作为TA，我不会把一些备课、grading、答疑的时间集中处理，而是分散开，当我读一些paper读不下去的时候，就做做TA的事情，等脑子fresh了再继续学。有时候TA的工作都做完了，读paper读不下去了，就温习一些读过的文章，温习一些学过的定理证明，自己推推。对了，教学确实是我最大的兴趣，我是直接的受益者，我对数学真正有一定理解是从给学生上课之后的，（当然讨论班上给talk也有很多提高）。观察那些学生在大一、大二的数学水平上折腾，我总是仿佛看到自己当年也是那么过来的，这样就对前面要走的路不再迷茫，因为江河是一点一滴汇聚出来的。每周我会花超过规定之外的时间去教学, 真的非常享受这个过程。可惜系里面不让TA做更多的事，他们真的不知道我把其他娱乐的时间都用来准备教学了。教学本来就是我最大的爱好。而且学数学是一个需要非常平衡的活，对我自己来说，数学学得越多，越需要其他来平衡。当我在社区最能扯的时候，往往是自己脑子已经压榨到极限转不动的时候。我自己身上的规律是，数学学得越多，其他方面也越能收获更多。比如我一天学12小时数学，我必须至少花出4个小时用来弹奏乐器、读闲书或者教学。假如我这一天很颓废，那么也没有心思去做其他事情。总的来说，平均每天睡5－6个小时，运动半个小时，弹奏乐器半个小时，TA的工作4个小时，读paper5－12个小时不定，当然还有吃饭聊天了。这些东西是交杂在一起，而且一天和一天也不一样，有时候连续好几天心无旁骛，有时候又来社区一次就逛3个小时，而且玩好几局三国杀。其实单身狗大概都是这么生活的吧。试问：除了学数学还能做啥？所以就算了解了大家在做什么，我也并没有打算立刻改变自己的习惯。只是单纯地想了解一下同学们的生活姿态。对上面 @Yuhang Liu 的回答深有同感。有同学总问我为啥这么闲逛社区，我说我脑子转不动了才过来。当你们看到我消身匿迹的时候，说明我还没有努力到极限，在其他什么地方走神呢。回复
2019-6-1

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在终于不用做TA之后，基本就是想数学，讨论数学，写数学。除此之外重要的就只有有人生三大要事：早饭吃什么，午饭吃什么，晚饭吃什么…… 回复
2019-6-1

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每天的安排都不尽相同，以今天的安排为例把 ~ 9:30 起床 9:50 出门吃个早中饭，然后去图书馆买杯现磨咖啡。来回步行作为早锻炼。 11:30 左右开始学术，今天的任务是研读两篇短文，内容不难，只是作为知识储备。 15:30 完成任务，开始收拾东西准备搭班车回家。 16:40 班车离开学校。晚饭吃的是豆苗工坊（好好吃） 19:15 左右到家。然后先和父母聊天，瞄两眼电视剧，然后开始回复邮件。 21: 20 看到社区此题，答一下。一会打算看个美剧就睡觉 ~ 回复
2019-6-1

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谢邀。基本是想干什么就干什么。我有个学长，上学期本来还经常见到的，这学期开学一来一次都没见到，我还问别人他去哪了，别人告诉我还在读PhD，只是“不常来系里了而已”。然后有另外一个学长，去年一年直接就不在系里了，去布朗还是什么地方陪女朋友陪了一年（不过我猜在那边可能也有合作者还是什么的），这学期才回到这边。两个都是中国人。反正数学PhD不用做实验，只有TA和上课是硬性的任务。然后宾大现在的要求是5年做3年TA,剩下两年fellowship——当然你在做TA的年份能拿到外源fellowship就不用做TA了，系里还更高兴，因为不用为你出奖学金了。所以不上课不做TA的年份真的是想去哪就去哪，听老板的安排就行，时间安排很自由。学习真的靠自觉，毕竟也没有考试了，虽然知道不好好学习会写不出thesis毕不了业，不过这怎么说也不是马上就会发生的事情，所以自身学习动力不强（比如我）的人就有点危险了。。至于说我自己么，这学期给大一新生带微积分的recitation，周二周四早上8点开始（反人类的时间安排），然后我周二周四一天的课（大部分是旁听的），周一周五也有课，周三晚上要参加我老板的讨论班，另外还听系里其他的讨论班，所以整体时间还是有点紧的。。现在也在纠结怎么在“读自己的论文”和“听其他方向的讨论班”之间做个平衡，上学期还在想这学期除了几何拓扑的seminar别的方向的都不去了，然后发现还是做不到，有些seminar还是很有趣的啊～所以周一到周五基本没多少时间忙自己方向的研究，周六周日才能腾出点时间，但是人都是有惰性的啊，连续学习一个礼拜脑子也会转不动啊。。你们也看到周末我经常在刷社区。。so，大概还是要做出点改变了。。（所以大家少邀请我回答课后作业题吧，有些真的是网上搜一下就能搜到答案。。高强度学了一个礼拜数学我也懒得跟你解释详细的过程了。。哪怕我学生问我题目也得是office hour才来问啊。。）索性说说今天一天都干了些什么：早上8点到9点，没睡好的情况下，带本科生微积分recitation。10点到11点半，modular form讨论班。11点半到12点，午饭。12点到1点半，Kirillov老爷爷的课，课名叫连续群的表示论，实际上讲的东西大相径庭，比如前两周都在讲Apolonian gasket和Sierpinski gasket..1点半到3点，PDE。3点到4点，组合的seminar——本来是数有限域上多项式的问题，很诡异地和代数拓扑扯上了关系。。4点半到6点，几何与拓扑seminar，free boundary minimal surface。然后就去吃晚饭，然后就滚回家了。。然后明天的计划： 10点15到12点，代数几何——老师基本在follow Hartshorne；12点到1点，pizza seminar——宾大数学系传统项目，有pizza吃，每周换一个不同的研究生上去讲不同的topic，自愿报名。1点到3点，翟敬立老师的数论课，正在讲adele, Hensel's lemma什么的，强行在听，并且假装自己听懂了。然后接下来大概没什么事了，3点系里有下午茶有点心吃，晚上有人约了打乒乓球。上面提到的课，除了Kirillov老爷爷的课，其余都是我自己旁听的。上面提到的seminar信息，可以在这里看：Events | Department of Mathematics 。回复

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学习数学一定要用抽象的思维去学吗？

 2019-6-1   匿名的用户  5044  5

以前我深信不疑：学习数学就是要用抽象的思维去学，怎么能不停地构造具体的例子呢？只要制造一堆奇怪的符号 ...

2019-6-1

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为学日益，为道日损。先把书读厚，再把书读薄。其实很多数学家，如小平邦彦，是抽象和具体都玩得转的。大道理讲完了，剩下举例子，以后有时间补上吧。回复
2019-6-1

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首先，费曼是物理学家，不是数学家。虽然有的理论物理学家在数学上也极有建树，比如Witten，但是就我所知费曼好像并不是这样的。其次，题主你看的那本书是《别闹了，费曼先生》。那是一本里面有好多段子性质的内容的传记性质的休闲读物。连科普作品都很难算得上。最后，也是最关键的，就在题主你贴的这段文字前后，还有这样的内容。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-4f5d6bb2fbfd6ace73b50a762106ce0d.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-89578fe6edabe65a4e6b8e1cbfba0c69.jpg 所以，为什么不能这么学数学已经很明显了吧？最后，再多说两句。学习数学例子和反例当然是极其重要的。但是这些例子不是胡乱来的。就像孔子说的：随心所欲不逾矩。这个矩就是抽象的思维的结果。没有这个，你所能做的，充其量也就是胡搅蛮缠罢了。回复
2019-6-1

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有些数学家是鸟，其他的则是青蛙。鸟翱翔在高高的天空，俯瞰延伸至遥远地平线的广袤的数学远景。他们喜欢那些统一我们思想、并将不同领域的诸多问题整合起来的概念。青蛙生活在天空下的泥地里，只看到周围生长的花儿。他们乐于探索特定问题的细节，一次只解决一个问题。我碰巧是一只青蛙，但我的许多最好朋友都是鸟。这就是我今晚演讲的主题。数学既需要鸟也需要青蛙。数学丰富又美丽，因为鸟赋予它辽阔壮观的远景，青蛙则澄清了它错综复杂的细节。数学既是伟大的艺术，也是重要的科学，因为它将普遍的概念与深邃的结构融合在一起。如果声称鸟比青蛙更好，因为它们看得更遥远，或者青蛙比鸟更好，因为它们更加深刻，那么这些都是愚蠢的见解。数学的世界既辽阔又深刻，我们需要鸟们和青蛙们协同努力来探索。 ----弗里曼戴森回复
2019-6-1

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不请自来。我学数学n年了，是吃这碗饭的。虽然我说的不一定对，但是我说的一般都有些根据。数学中“抽象”是分成几个层级，据一个例子：现实生活的三维空间，一般的 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5En （欧式空间）、拓扑空间和“拓扑空间与连续映射构成的范畴”，是几个不同的level。学习数学是可以通过“具体”的例子来学的，但是费曼先生讲的具体和数学中的具体有点不一样。你理解的“具体例子”一定要还原到现实生活，这就有点过头了。我推荐学习的数学的方法是冯诺伊曼的学习方法：“熟悉”。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-c743e1e6d71aba08deb0ef3e9aad73ac.jpg 年轻人，在数学里，你不能要求（完全）理解一些事，你只能熟悉它们了。当你要学习一个高水平的“抽象”的时候，拿出自己熟悉的低一级的例子去理解。比如，通过对n=1,2的欧式空间的一些结果去理解一般的欧式空间。通过欧式空间、 l^2空间去理解希尔伯特空间和巴拿赫空间。当你娴熟的理解一个级别的抽象后再进军下一级别。但是，记住，不管哪个级别，学习数学的时候，尽量用数学的例子的来理解。特别是，如果你是一个数学专业的人，要切记这一点。因为数学有很多反直觉的结果，这些非平凡的特例很重要。比如，你学习数学分析／高等数学，当然了，你可以通过日常生活的运动轨迹来理解“连续函数”，但是你很难通过这个来知道一个事实：“存在一个连续函数处处不可导的函数”（比如，威尔斯特拉斯函数）。第一次，知道这个函数，你会诧异，我也会。对于这样的特例，你要记住、多算几次然后熟悉它。慢慢地，你会有一个直觉：连续性比可导差很多。这个时候，根据你对威尔斯特拉斯有下面的“想象”。它也变成了你能直接理解的“熟悉的事物”了。你也可以利用它来理解下一个级别的抽象概念。但是，这个图只是“想象”，你不能较真，也不能靠这个来“证明”存在一个连续函数处处不可导，具体的证明还得回到它的定义： https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-3a31bb83264e032df8aa9ebe346c94fd.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-cc793b22e3e68ee4d457be139d68d737.jpg 我承认很多数学有点为了“抽象而抽象”，但是，大部分数学的抽象是为了处理“更一般的问题”，获得“更深刻”的理解而去做的。了解那些“抽象”的起源会对你理解抽象数学帮助很大，这就是为什么Artin的代数关注很多具体的群，阿提亚自己甚至会搜集一些高度不平凡的反例。归纳一下吧：学习抽象数学自然可以通过例子，我甚至推荐你多熟悉各种例子，但是这些例子必须是“数学的例子”，如果你把它弄成很形象的“生活例子”也无所谓，但是你一定要小心“它是不准确”的。当你熟悉一个level的抽象后记得去进军下一个level。这样可以事半功倍。回复
2019-6-1

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谢邀。 “抽象”在数学上其实是个有点模糊的词。为了说明这一点，我举个代数几何里的例子吧： https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BCP%7D%5En 上有个sheaf叫 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-ca24646f047cd445aac33094767b1444 ，它的整体截面 https://www.zhihu.com/equation?tex=H%5E0%28%5Cmathcal%7BO%7D%281%29%29 是由线性函数 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-709a91b79976d384d2b6556348b3ca2f 生成的n+1维线性空间。（写完以后才意识到一般的基域上的射影空间 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BP%7D%5En%28k%29 也是对的，不过平时写 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BCP%7D%5En 写顺手了。。）读完这句话以后，你觉得这句话是否抽象呢？完全看不懂是吧。不过我要说的是：这句话在数学上属于给出了一个具体的例子，对的，一个抽象而又具体的例子；它给出了最简单的射影代数簇 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BCP%7D%5En 上的最简单的非平凡层 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-ca24646f047cd445aac33094767b1444 的例子，同时分析了一下它的整体截面——从层的上同调角度来讲也就是给出了0阶上同调。那么为什么大家会觉得这个例子抽象呢？这就牵扯到抽象涉及到的第一个含义了——概念上的复杂度。要理解这句话，你就必须知道 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BCP%7D%5En 是什么东西，你还得知道sheaf是什么东西，你还得知道sheaf cohomology，这个就起码要求学过整套微分流形理论、代数拓扑、以及一点点复流形与复代数几何了；为了理解为什么 https://www.zhihu.com/equation?tex=H%5E0%28%5Cmathcal%7BO%7D%281%29%29 是我描述的那样，你还不能光知道sheaf cohomology的定义，你还得会算，得真正理解 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BCP%7D%5En 和 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-ca24646f047cd445aac33094767b1444 的含义。所以这个概念（在层级上）的复杂性，就比什么求导啊积分啊要高很多了，要理解这样的概念，需要的预备知识就多很多了；所以非数学专业的人可能会觉得这就很抽象啊。但是，对于真正做数学研究的人来说，这还不是真正的抽象；这仍然被视为一个例子。当然，这跟日常生活中的具体实例还是区别很大的。数学上的抽象，一般有以下这些含义：一般性、形式化，等等。一般性，指的就是对一般的情形都适用，而不是只对某种特殊的例子适用。典型的比如代数几何里面的scheme、stack，乃至后来Grothendieck提出的motivic theory等等；stack是scheme的进一步推广，这个“推广”其实就是更一般、描述范围更广的意思。而上面举的 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-ca24646f047cd445aac33094767b1444 ，它在概念的复杂度上相对本科生而言确实比较复杂，但是在抽象程度上远算不上“一般”，它就是个很局限的、很特殊的例子。现代数学研究意义上真正的抽象、真正的一般，恐怕是外行人根本无法想象的。我为什么要举代数几何的例子而不是举我本行微分几何的例子呢？就是因为我觉得代数几何的抽象程度远超微分几何，我们可以说是天天和非常具体的例子打交道了。。然后上面还谈到一个形式化。形式化的例子可以在数理逻辑里面找，我对逻辑不太熟悉，就不举例子了。＝＝＝＝＝＝我上面解释了一大通数学意义上的抽象，却没有回答原问题。。不过我几乎可以肯定题主所谓的抽象和真正数学研究里面的抽象不会是一码事。所以也不用纠结这种无关痛痒的问题了。。本科的数学学习，概念上都不算非常复杂、也不算特别一般（general），所以我的建议是：既要掌握概念本身的抽象含义，也要积累足够多的例子。回复

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数学是否会变成这样？

 2019-6-1   匿名的用户  5305  5

当数学变得高度抽象后，数学家已经没时间相互看完对方的论文时，不同领域的数学家的隔阂变深了，数学研究变 ...

2019-6-1

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你说的这种情况可能会存在，但不会变成什么炫智商的事。工业革命以来，数学物理领域爆炸式发展，到现在各个学科领域分支太多了，每个分支也很深，隔行如隔山。我一直在考虑一个问题，就是科学发展瓶颈，也就是当某一天科学庞大复杂到一个顶级天才也只能刚刚入门该领域就面临寿命限制。也就是说，复杂度也许会成为未来最大的科学难题，也是科学的瓶颈(没错，复杂度也是一门学问呢)。回复
2019-6-1

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好的数学工作的一种就是发现建立看似不相关的分支之间的联系。有些人是开拓者，有些架起桥梁，大部分。。。。不多说了都是泪。。。。回复
2019-6-1

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“当数学变得高度抽象后，数学家已经没时间相互看完对方的论文时” 这句话我不太明白题主的意思，你是指任意一个数学家把其他所有数学家的论文看完么？还是指同一个领域内的数学家看对方的论文？请给出准确的描述。 “不同领域的数学家的隔阂变深了” 这是正在发生的事情，但是说法并不准确。数学的研究领域已经非常广阔了，从经典的几何分析代数，到概率应用计算，不同方向的数学家之间不能互相理解对方在做的东西是很自然的事。你说我一个做计算的能理解代数几何么？我又为什么需要去了解代数几何呢？我是一个普通人，只需要做好自己的研究领域就好了。当然，这个世界不乏像Terence Tao那样能够毫无顾忌地从一个领域跳到另一个领域的人，但是数学界的大多数还是跟你我一样的普通人，最多在一个领域内尽量做到顶尖。 “数学研究变成一种单纯的炫智商的游戏，失去了研究本身的意义了” 对，没错，数学研究就是一种炫智商的游戏，但是数学家们乐衷于此，兢兢业业，外人又岂能评判什么？但这与研究本身的意义又有什么关系？科学研究，尤其是基础科学的研究，它的价值从来都不在现世，而是为了后世的繁荣，所以研究本身的意义就在于推动这门学科的发展。你永远也不知道在哪一个领域迸发的灵感能够为世界带来什么，这就是我们要不断前进的理由。最后，为了人类心智的荣耀！回复
2019-6-1

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之前没认真看题目就回答了，现在补上几句： 1. 数学的发展会不会使得不同领域的隔阂加深？我看并不见得。事实上，现代数学的一个趋势就是不同领域的联系和交叉越来越多。一个领域里的新进展常常都是由另外几个领域的理论或者工具所带来的，比如说gauge theory被用来研究smooth 4-mainfolds，TQFT被用来定义invariant of knots and 3-mainfolds等。在这样的环境里，不同人可以有不同的研究风格，有些人在一个很狭小的领域里钻研，凭借艰深复杂的技巧来取得结果，有些人则通过观察不同问题间的联系来给出深刻的insight。相比起几百年前，或许那时每个数学家都能在很多领域里有所建树，但那时不同领域之间的联系则远不如今天。更何况以我看来数学研究很重要的一点是寻找结构间的analogy，这就必然引导数学家去研究不同领域间的联系，研究“unified theory”，比如说Langlands program，比如说Mirror symmetry。 2. 数学是不是炫智商的游戏？我觉得是，至少纯数学是。这里比“炫智商”更好的说法就是Dieudonne这句“为了人类心智的荣耀”，我的理解是数学的目的在于探索人类智力的边界，发展人对于抽象事物和其关系的理解能力，至于数学在物理、计算机等学科中的应用反而是次要的。从我的理解来看，说是“炫智商”倒也没什么不对的。 3. 数学的研究有没有失去本身的意义？如果数学的意义是“为了人类心智的荣耀”，那无论领域间的隔阂是否深了，不同领域的数学家是否越来越不能互相理解了，只要人们对于数和形的理解越来越深了，那数学研究的意义就没有失去（这话可能有些问题，不过主要是拿来抒情的，那啥就不要深究） ==========原答案============ 数学研究也不一定要为了实际生活生产的意义。也可以是“为了人类心智的荣耀”。回复
2019-6-1

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因为知识不断地进来，我们不断地消化它。一个好的定理在刚出来时，往往难得不得了，几百页的证明，你当然晓得Picard定理，Picard证明这个定理的时候，是一百多页的证明，现在Picard定理的证明可以一页多就证完了，这是什么原因?我们说这个定理重要，我们就会花很大力气慢慢将它消化，直到最后定理看起来是平凡的，基本上重要的定理，就算不是短期的，十年、二十年后，这个证明会很简单，因为通常我们将这些定理的证明分解，分解成很小部分，各个小部分吸收到不同地方去，最后剩下的是一个平凡的证明，历史上所有的发展都是这样。 ——————丘成桐回复

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如何评价数学专业的人？

 2019-6-1   匿名的用户  5380  5

2019-6-1

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我高考的时候志愿都是我妈帮我报的，所以我也就糊里糊涂地学了数学专业。但其实我强项是英语啊！英语课一次都不去上也能考系里第一，数学课物理课天天去还是挂科了无数次。后来读研的时候终于选了自己热爱的英语，却发现同学们的数学差到没朋友！我在班里给大家算了个方差，老外说我brilliant哈哈。于是我成了数学专业英语最好的，英语专业里数学最好的。回复
2019-6-1

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应用数学大三。写作业时：满纸荒唐言，一把辛酸泪…… 上课时：老师等等我！讲哪了啊！下课时：冲啊！！！食堂我来了！！复习周时：我是谁我在哪（纯粹复习傻掉了） _(ω 」∠)_ _(ω 」∠)_ 其实吧，大家都一样嘛，不过是有些人天赋异禀，证明题做的贼溜，像我这样的，只有后天努力了。之前看一个纪录片（寿司之神）里面的二郎说，选定了职业就要一生为之付出努力。我觉得选了数学也要有这样的心态。虽然很多人是调剂过去的，但是，要看未来前景的，数学多好啊，万物之源嘛。不过光本科的数学知识可能不太够用，我觉得继续读研究生就能发挥出很大的作用了，毕竟，除了律师医生我们做不了，还有啥不能做的职业呢(ω` )更有甚者去搞科研（膜大佬）。对于自愿学数学的（比如我），就更不用提了，累并快乐着吧( ω ) 至少在我心中，数学是使世界转动的重要组成部分，学了他，是我们的幸运啊。回复
2019-6-1

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数学研究生一枚对于数学专业的人和数学人是有区别的，现在我这个研究生的环境中，百分之八十的人都是为了研究生这个学历，而单单喜欢数学的人相对很少。对于那百分之八十数学专业的人，他们吃喝玩乐和其他专业的人一样，他们也天天追脑残剧，天天逛淘宝，考试的时候全靠背，这样的人，是非常好相处的，因为他们在生活中很感性，所以只要付出感情，就就可以成为朋友。很不凑巧，我是那百分之二十的人，在他人眼里，我不爱说话，很难相处，有自己的想法，天天读书学习。但是就因为我是数学人，我的心里的想法是who cares。从小就喜欢数学的人，我觉得数学教会我最大的就是让我如何理性思考。我不是不爱说话，而是他们用的是感性的思维，我无法评论。我天天学习，是因为我找到了我所喜爱的，想要为之付出我的努力去慢慢的了解它。同样，我也是人，我也有娱乐，去购物，去享受，但是与此同时，我更知道这个时间我该做什么。我敢保证第一面的时候你肯定觉得我很怪，但是同样的，如果深入交流，你肯定会觉得我是个有趣的妹子。 ————————————————分割线———————————————————— 在所有的社区回答中，这个回答真的使我很开心，刚刚啃了三个小时的专业课，有些疲惫，那就来继续补充我的想法吧！正因为的日常生活中，几乎很少能和我聊数学，所以我很珍惜每一次与其他人交流的机会，这也是为什么每个评论我都有认真的回复。我本科是数学师范类的，这是我向父母的妥协，但是换来的是，周围的一帮人真的是以当老师为目的的去读本科。我是八人寝，五个被调剂到数学系，一个是信息与计算科学专业，一个是想毕了业回老家当个老师，剩下的那个人就是我。大一的时候，并没有现在这么孤单，那时候也总是同寝室的一起玩。慢慢的，我越来越快乐，同时也越来越孤单，他们觉得我每一天过的很累，证明着已经给出结论的证明，说着他们不懂的语言。在他们眼中，我是不快乐的，每天面无表情的做着相同而且乏味的事情，做着一个他们认为一个永远不可能实现的白日梦。一开始，我很在乎别人对我的想法，别人对于我喜爱数学的看法，那段时间真的是十分痛苦的，既想所谓的合群，又想一直研究自己喜欢，但是中间是冲突的，因为一个人的精力是有限的，我真的很感谢那时候他们抛弃我，要不我肯定不能这么快下定决心选择数学。其实并不想价值判断数学专业的人究竟是什么样的，无非是感觉很牛，怪癖很多，孤僻等等很多形容（没错，加上你脑中的那一个）。无论是数学人还是数学专业的人，基础是人，我也不是一天看十几个小时的专业课，看两三个小时也是要休息的，也会感觉很累，比如现在。但是在学习两三个小时中间，我是沉浸在我的海洋里。如果很累我会果断放弃继续思考，快速调整，恢复精力才能更好的继续，这也就是我所说的我知道这个时间我该干什么。很开心在这里遇见这一类人，让我觉得我不在是一个人，让我坚定我的想法。回复
2019-6-1

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不，数学人这个范围太广了，有些人是热爱数学进来的，有些人是自认为喜欢数学（其实只是喜欢高中数学）进来的，有些人是调剂进来的，还有一些人是一不小心进了的。我见过狂妄无知的，谦虚谨慎的，信仰上帝的，坚定无神的，喜好异性的，喜好同性的，热爱文艺的，鄙视文艺的。他们真的不能一概而论。理性？睿智？我也想给自己贴金，但是撒谎不好。能说真话我就说真话，要想和数学人好好相处，那就至少别“嘲讽数学”，就和普通人相处一样和他们相处就好了。不同的人有不同的相处方式。他们唯一的共同点是只是在生命中和数学专业邂逅了而已，既然相遇那就好好想谈吧，人生一期一会，难求轰轰烈烈，但求无怨无悔。回复
2019-6-1

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谢邀。普通学校的数学专业很多都是调剂专业，我旦数学属于热门专业，大家可能知道近几年复旦本科招生搞超短裙招生，就是把大量专业拉去提前批，只保留少部分热门专业在一批次招生以提高一批次分数线，然后数学是和经济、临八一起被放在一批次来提高分数线的那种专业。所以我们的体验可能和一般学校数学专业不相同，很多学校的学生恐怕对数学专业是避之唯恐不及，复旦的情况是很多人削尖了脑袋挤进数学专业，转专业的时候数院也是个热门转入院系，我当初就是转专业进数院的，因为我高考分数没达到数学专业的线。不过复旦数学热门并不是因为大家都想做数学研究，具体原因下面会提。数院学生的意向，别的学校我不太清楚，我旦的情况，数院总人数，数学和信计两个方向加起来 150-170左右，每年都不一样；其中平均下来大概有10%的人打算做纯数学研究（包括国外国内读研读博），做应用数学研究（比如计算、运筹等等）的人可能和纯数的人数差不多，然后有很多想做统计的，很多想做金融的，有一些想做精算的，还有几个考公务员的，还有读经管研究生的，还会有转到物理的，有些年份可能还有想转哲学的，等等。据说复旦数学申美国的MFE有传统，很多人来复旦读数学就是以此为跳板出国做金融的，我记得我们那一届去哥大读金工或者金数的就有8个人。最后说点不那么轻松的：在复旦的时候，我听说数学专业是学生心理问题出现频率最多的专业；这个不是我开玩笑，我本科室友认识心理咨询中心的老师，他就是这么跟我说的，有统计数据支持的。所以同学们还是要学会减压和调整情绪啊。回复

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考研一数学130+是什么样概念？

 2019-6-1   匿名的用户  8285  5

2019-6-1

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高分学长经验：跨考上财金融硕士，数学目标140，初试成绩143复习经验数学：参考用书：课本：高数上下册，线代，概率论与数理统计李东红线代和概率论讲义李永乐复习全书 660题方浩讲义和历年真题解析参考课程：高数：方浩提高班线代和概率论：李东红基础班、提高班时间安排： 1月～6月看书打基础 7月～8月全书一遍包括习题，注意积累错题好题 9月～10月真题和练习题 11月～12月错题、模拟题和真题复习心得：1、初期注重做题质量，不追求速度和遍数 2、注意做好标记，将各种错题做好不同的标记 3、要不停的练习自己掌握不好的地方，针对性做题 4、临场时注意做题方法当前阶段数学复习安排（3-5月）：课本及课后习题全书一遍目标：课后习题基本做完，全书尽可能做完第一遍回复
2019-6-1

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18年数三很低，131分。C9某院学硕初试第一。整张套卷连真题带模拟大概做了一百多套，做模拟时除了张宇四套外，都基本维持在140+。考完后第一时间对答案，发现错了仨小题后失望到极致。从这件事情知道不论做什么都不能全力以赴，而要竭尽全力。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-cde31423a63ad0d01eb54bd5c00178cd.jpg 回复
2019-6-1

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考研数学一145，不要想复杂，不要恐惧，这些人只是多看书了，多思考了回复
2019-6-1

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18年数一131 我发现在我们系我排第二回复
2019-6-1

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2018考研，数学二考了127，报考南京大学的现代工学院，初试第一，复试第一，现在拟录取。写出来自己的考研经历，希望能帮助后来的考研人。https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-0da934222284bc463bb4efc41391c647.jpg --------------------------------------------- 我比较懒直接把我之前的答案搬过来啦 --------------------------------------------- 朴实的分割线答主是工科生，所以一切从简，若有解释不清的地方，或是大家有疑问的地方，欢迎大家评论区来讨论。手机码字，尽量清晰明了。 ---------------------------------------------- 数学二先说句题外话，题主现在开始准备考研，如果是工科类的且不是跨考的话，时间应该是够用的。数二由两部分内容构成---高数和线代。其中高数占78%，线代占22%。具体来说，线代占两个选择题(4*2=8),一个填空题(4*1=4),以及最后两道大题(10+11=21),总分为33分，剩余117分为高数。从这个分数占比来看，高数显然是前期重点准备的内容。以前主流的数学复习思路一般是先过一遍同济的教材，再选择某一位老师接着复习。但是就个人复习的经验看来，我觉得教材似乎并没有必要去看，尤其是对于基础不太好的更是如此，直接看老师----我就拿汤家凤老师来说---的视频就行。原因如下 1.对于数学基础不太好的学生来说，有一位老师给你讲解比你自己自学教材效率应该高很多。 2.数学二的高数和线代考核的部分并不是教材的全部内容，而根据我了解，大部分的考研学生并不会选择去研读数学大纲，如果直接对着教材复习，就会有一部分人复习了不考的内容，浪费了珍贵的备考时间。 3.教材上的例题固然很经典，但是对于考研的针对性就差了很多，很多考研的题型和例题差距较大，而老师讲解的例题一般都是和考研的内容很贴合的。并且会针对考研的题型讲解特定的解题方法，有利于提高解题效率。综上来说，我觉得直接听老师的视频配合习题开始复习可以了。但是手头应该是要有一本数学教材的，方便查阅不熟悉的知识点。推荐同济七版。至于选择汤家风老师还是宇哥还是别的老师，社区上有专门的问题，大家自行去了解，看看哪个老师的风格适合自己，然后紧跟一个老师就可以了。老师的教学水平没有高下之分，只有适用不适用自己之别。 -----------------------------------智慧的分割总体的复习规划前期的复习，一般指的是3月到7月份，应该以高数为主，我推荐汤家凤老师的接力题典1800和汤家凤老师的视频。看了视频之后再做1800对应的题目。大概到九月份可以把1800高数部分做两遍。数学这个科目的复习，绝对是做题第一。其实认真复习的话，时间肯定会剩余，所以做完1800之后可以做复习全书，李王出的那版。然后再做一下660巩固一下对于定义等基础知识的理解。从七月份中旬开始做线代，对于线代我用的是永乐大帝的线性代数辅导讲义。建议看永乐大帝的视频然后再做习题，做两三遍应该就够了，书比较薄，而且越做越快。九月份可以开始做真题了，数学二从1997年开始做，1997以前的和现在的题目差别太大，没太大意义。真题做一遍，然后整理错题就行了。十月下旬开始做模拟题，一直做到考试前。力推合工大超越五套卷，市面上质量最高的试题。其余的还有汤家凤绝对考场八套卷，张宇最后四套卷等。做到考试前。 ------------------------愤怒的蛋炒饭的分割复习的一些小方法 1.视频应该分基础班和提高班，可以下载下来，用1.5甚至2倍速播放，这样可以节省不少的时间。 2.汤家凤老师最大的特点就是讲课的时候会举大量的例子，这些例子对于你解题有非常大的帮助，你需要做的就是，将他讲的题目全部记下来，然后不会的再消化吸收。 3.建议买一份A4打印纸，一份500张，用作草稿纸。大概可以用到11月份吧。草稿纸写的时候可以把写过的内容框起来，有利于回头查找自己的错误。https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-57a64b94e84f68b0a5b2721c5fea4f1e.jpg 4.李王红皮的复习全书还是要买的，但是强烈不建议用来复习，因为里面的题目综合性很强，且题目有一定的难度，对于刚开始复习的同学有劝退的效果。可以用来当习题来做，毕竟畅销这么多年题目还是很经典的。只做高数部分就可以了，做个两三遍也是可以的。建议在做完1800的题目之后做一做。 5.在这里推荐一本书，李永乐的复习全书附带的660题。这本书可以在做完1800和复习全书以后再做。对于这本书大家有点争议，因为虽然它打着基础题的名号，但是题目出得实在是紧扣定义，所以对于一些人就做的痛不欲生，也有一定劝退效果。但是我觉得这本书最大的争议处也是它最大的优点------它极大的训练了你对于定义的理解，能让你在考场上碰到新类型的题目迅速找到入手点。建议在做完复习全书后再做这本书，因为有些内容和全书是有衔接的。 6.真题要限时做，不限时做题目都是耍流氓。找大块的三个小时，力求做简单的真题两个小时20分钟，难的真题做2个小时45分钟。做满三个小时立刻停止，然后开始批改。因为考场上做题的速度肯定要比平时慢得多，所以在保证正确率的情况下，提高做题速度。 7.买试卷版的真题，买数二答题纸。万能的某宝上有卖的。不要买成册的真题。就是为了全真模拟考场的环境，尽可能的减少你在考场上的紧张和不适应。 8.模拟卷的问题。超越五套卷只有电子版，某宝上有卖。数二只有三套，而且出来的时间在12月初，在此之前可以做18年的试题。最后四套卷偏难，体验一下就好。汤神绝对八套卷贴近真题，难度较低，计算量大。别的模拟卷可以随便做做。 9.计算错误的问题。很多同学会犯自以为很低级的计算错误。比如加减错误，抄错符号。建议拿个本子，把这些错误全部记起来，然后你就会发现错误惊人的一致，比如设计到e的积分的问题，比如关于三角函数的积分的问题等等，每次做题目之前拿出来看一看，亲测有用。 10.汤家凤老师关于中值定理的讲解有自己的一套。做题不要太好用，而且小套路不要太多。唯一的不足可能就是普通话不太标准。 ---------------------------------------------- 这满满的干货都没人看而且点赞吗？？？ https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-7b8eb0679f4314f6c412bfc0b3db6f82.jpg -----—--------------------------------------- 答主又来更新啦！ 11.解题步骤的问题。线代的题目一定按照考场上做题的要求来做练习题。因为线代主要是考察计算方面的问题，尤其是方程组和矩阵那边，写的太乱的话，一是占地方，二是容易抄错。高数部分习题的解答，建议大家好好跟着汤家凤老师来学学解题步骤，因为一个好的解答过程，不仅是一个正确的最终答案，还需要一个简单明了的步骤。实在学不会，推荐你把真题解析的答案抄一下，你会发现自己写的过程多么的不堪入目。 12.积分那一块的问题。同济教材上给的，一定要背熟，但是大家做题的时候，肯定也会碰到一些反复出现且教材上没有的积分，举个例子，x和e的x次方乘在一起的积分的原函数，再比如sinx和e的x次方乘在一起的积分的原函数，出现了没八百次也有一千次了，背下来，一旦考到，会节省大量的积分的时间。这些才是大家在考场上和别人拉开差距的法宝。大家要多总结，多记忆。 13.考场上不会做的题目一定要写！不会做的一定要写！我记得今年的试题中，有一个二重积分的大题，我一开始没把握，但也是从头写到尾，最后算错了，但是过程是对的，还有一个应用题，最后没时间了，干脆写了式子摆在那里没算，还有一个线代的第一个大题的第二问，当时也是时间紧张，直接写自觉告诉我的答案，写之前加了一句，显然。。。。最后结果也是对的。。从我今年考了127来看，无论是结果还是答案，肯定都给了分。所以大家不要一片空白，最起码写写内容。 ----------------------------------------------祝大家都能得偿所愿，不负坚持啦！放一张我男神的图！ my W.W,my star,my perfect silencehttps://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-da701b1e99eea2207925429b1bff6a83.jpg ----------------------------------------------接着更！ ---------------------------------------------- 14.极限的问题。求极限的问题应该说是高数最基本的问题了，这里说一下无穷小的问题。无穷小的本质是泰勒展开。很多极限题代入无穷小等价替换是很容易做错的，很多老师会说乘法适用，加法不适用等等，这里我推荐一种想法(其实是宇哥的)个人觉得宇哥给我最大的帮助就是无穷小的问题无脑使用泰勒展开，基本不会错，但是有时算起来比较麻烦。具体做法是，记住几个常用的函数的泰勒展开，一般记住前三项就行了，然后一般需要泰勒展开的都在分子上，记住展开到大于等于分母的阶数。例如，分母是X的三次，分子就要至少展开到X的三次方的高阶无穷小。然后分子整理一下消项，基本就得出答案了。最后贴一张无穷小的运算法则，一张泰勒的图。我想这样无穷小的问题基本上就解决了。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-28b4d91852c4acbcb0e64e7f6ee43d2a.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-1b78d242bcf21b114fd92be04f40a17d.jpg 回复

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高中数学应该怎样整理错题？

 2019-6-1   匿名的用户  19344  5

如题。高三文科生一只。数学地理不太好。前段时间一直在忙数学有提升但是觉得方法有些摸不到头脑我不明 ...

2019-6-1

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首先我跟题主一样也是文科生，我的数学成绩在我当时的高中文科班里是年级第一，好几次都是满分150分，那我来说说我高中时整理错题的经验吧。那会我特别重视数学错题，我会把每次考试不管大考小考所有出错的题都抄到一个本子上，并且备注上出错原因，每次一考完试出错的题都及时写到本子上。最后每隔一周会把这些出错的题目按出错原因或者知识点摘出来再归到一起，如此反复。因为我数学比较好，所以抄的错题并不是很多，所以工作量没有很大，但是如果你数学不好，错题很多的情况下，这种先抄一遍再整一遍的方式就太累人了！之中情况下，那我推荐一款【予见错题本】APP给你，这个软件是一拍就上传错题，海量错题你都能在几秒内整理好，并且也可以备注错误原因之类的，还可以把错题打印出来供你反复练习。贴个下载地址吧：点击此处免费下载另外，我还特别重视好题的整理，也会把这些题目放到错题本里，不过要跟那些出错的题目分开来记，关于这点我想说，如果你的数学很差的话建议可以先不用整理好题，一方面你现在还没有能力区分好题，另一方面好题是那些本来数学成绩就好的学生用来开拓新视野、新思路的，对数学差的并没有什么卵用，反而徒增整理量。回复
2019-6-1

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无数学霸的学习方法分享都有提及错题学习法，在我看来错题学习法是适用于所有水平学生的学习方法之一。但是确实也有很多像题主一样，存在不会做错题，或者觉得错题很费力的情况。以下分享下我的经验： https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-a1b7c69ac14ddab2227ee994a1fa999f.jpg 如何正确制作错题本？[/h1]题本学习法是一个不断将错题回炉淬炼的过程，它贯穿于学习新知识、温习旧知识的始终，其根基在于以小见大，从错题找出知识点漏洞、找出应试中学生存在的不足，加以修正完善，这才是错题本学习法的精髓。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-40e2cc0fa0df1c86328a26f7e16e16d5.jpg 1、学会借用工具提升效率很多人不愿意做错题本的一个原因就是抄写题目费时费力，其实你可以试着下载[予见错题本APP]，是个可以一键拍照错题，免手抄的智能错题整理工具。千万不要再手抄了！贴个下载地址吧：这里 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-d06737d097d95be18ab8710b52751748.jpg 无答案独立解答错题。改变机械抄写答案的过程，把错题整理出来重新单独做，高效第二步，有效！这个也可以借助予见错题本APP，它可以直接把多道错题生成一个Word文档，支持打印！ 2、学会整理思路，并做好标注解题思路是关键，而且往往能将一类错题一网打尽。所以一定要标注好解题思路或关键切入点。将运用到的知识点标注上，加强巩固！ https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-16a78a89062493491ad842a759e0bd56.jpg 错题本如何发挥最大功效？[/h1]很多人觉得错题本没用，我分析有几个原因：一是直接摘抄了答案，没有深入理解。解决这个问题可以利用予见错题本，它这个工具可以直接将多道错题生成试卷的形式，支持打印，打印出来，在没有答案的情况下再做一遍，你才能学会解题思路，并且加强你对题目的理解力与记忆力。二是做过之后就放任不管了。一定要不定期拿出来复习，因为你不太理解的东西很容易再次忘记，重复复习时学习的重要方法之一。以上是我提出的观点，如果有其他意见，欢迎关注，并在评论里发表看法，一起探讨！回复
2019-6-1

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每个人不一样的，切忌盲目沿用别人的方法。像我就从来没有错题集…… 我认为，当你判断某个知识点是你没有掌握的并且在你的缺漏名单里优先级别较高的，就做一下笔记。我认为把整道题目抄下来而不是抽象出关键就记录是效率很低的愚公移山式的做法。我是2014届高考，平常数学挺好的，140左右吧。回复
2019-6-1

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谢邀！首先搞清楚做错题本的目的是什么？是从错误中学习。可是很多同学不会总结错题，不会从错误中学习。做错题本也流于形式。我先定义以下什么是错题： 1. 做错的题（包括3中：粗心，概念不清，以及逻辑问题，这三者一定要严格区分开来） 2. 不会做的题 3. 做得慢，没有在规定时间做完的题都是你的错题。很多同学遇到错题，就扫一遍答案，看懂了，然后？然后就没有然后了。这样的学习，恕我直言，你是在浪费题目和时间！这样日积月累，你表面上很努力，不过只是在重复做无用功罢了。记住：错误是一个人最大的学习之源！我的一生最重要的原则，方法都是从错误（自己的+别人的）中学来的。正如孟子所言，闻过而喜。那么如何从错误中学习呢？我总结了以下反馈环 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-07a344617befaf39b37d31f696e4ed74.jpg 遇到错误，首先的就是要找原因。例如，我的答案错了，是为什么？粗心，概念不清，还是逻辑不清？例如有的同学在变换： https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x%5E2-1%29%2F%28x-1%29 直接写： https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x%5E2-1%29%2F%28x-1%29%3Dx%2B1 这不是粗心，而是逻辑不清。你没有意识到你的变换不是充要变换，因为你舍去了一个限制条件（ https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-bde78dad0168188c56b588af18c7a64a ），因此会出现增根。扩而广之，你要知道，天下间所有的题目只有两类，判断题（包括证明题）和求解题。而求解题是求满足某个条件的某未知数的取值范围。必须是这个条件的充要变化才无增根，无失根，是完美的解。如果你转化为其必要条件，例如上面的变化，那就记得要检验。这样，你对这个错误才真正学到东西了！那么做不出来，做得慢呢？记住，看懂答案为什么是对的远远不够，关键是你要弄清楚下一次你要如何想，才能把这道题又快又对地做出来 – 即解题思维是什么这个思维就是我提到的数学哲学和数学三招。有的同学学了，还是解不出题目，你就要思考，是不是我对数学三招的理解不够？首先我能用自己的话把数学三招说出来吗？我有什么技巧没有掌握？我用下面的例子具体来说明吧： https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-101de8827f5b4efa5ae216b1b6b9cccc.jpg 很多同学做不出这道题。注意，做不出来也是错题！然后他们去看答案，答案看懂了，就没有然后了。这对你解题有意义吗？一点意义也没有。关键是未来如何思考才能解决这样的问题，思路在哪里。这题背后的思路就是我们的第二招，特殊化。原则：证伪比证明容易得多（因为只需要找到一个反例即可），因此对于选择题，很多时候我们可以用特殊的例子证伪三个选项，虽然我们没有证明最后的选项是正确的，但只要这道题不是错题，我们就可以选择了。这是特殊化的一个运用。对于这题来说，我希望找到符合前面绝对值不等式的 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-7ae7bff7e6bf82916e2811165e6d3fa6 但和后面 https://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%EF%BC%9C100 矛盾的特殊值，怎么办？首先，要和后面矛盾，一个临界值就是10，因为若https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-7ae7bff7e6bf82916e2811165e6d3fa6 中其中有一个是10，后面的不等式就错了。这个就是我们的入手点。（技巧：特殊化的时候优先从极端，特殊的开始）对于A,代入 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-acb8d62e2ea21d3c41112b86a0570211 ，发现 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-111cf5c2cf1cc54e0b93080ff933d2e8 和其是对称的，因此我们也取 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-c9b2bc71ba9173fdac174c121e9e1237 （这又是一个技巧，对称时候我们往往可以从相等的数开始，因为极端，特殊），然后取 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-2c4e041153ebd957e37078f2e5b8336a 就成功找到反例了。对于B，代入 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-acb8d62e2ea21d3c41112b86a0570211 ，为了使得绝对值中很小，取 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-8d8ccd5e97e2227c5424064343b9bea0 即可，又找到反例了对于C，取 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-5d56b1d018569542b3181f4a15b30805 即可推翻因此答案是D，我们无需在D上面浪费哪怕一秒钟。从这道题你就学会了特殊化思维中的很多技巧。这样，每一题对你来说都有所得，然后你再在下一题中检验你的所得，很快，你的水平不就直线上升了？另外，针对粗心，看错题等问题，还有个重要原因是在考试压力下展现出来的粗心，因此平时在练习时就应该掐着时间做题，习惯这种时间压力，才能减少考试犯粗心的可能。并且，这类问题也应该放在错题本上提醒自己，特别是每逢考试前。更多关于数学的干货，欢迎关注：教高中数学的投行交易员zhuanlan.zhihu.comzhuanlan.zhihu.com 回复
2019-6-1

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谢邀。 1、关于错题是应该建立错题本还是直接解决知识点（初中）？ - 金一鸣的回答高中同理。凡事总要权衡利弊。错题本这事也是这样。其实优先的选择是直接彻底搞懂。这样做的收益非常大，风险也非常大，能够持续地保持对每一道错题都即刻搞明白，那么就已经是学霸学神了。然而，事实上是，很多学生对于即刻搞懂一道错题，可能出现以下情况： 1、自己也不知道怎样才算搞懂 2、搞懂了以后很快就会忘记 3、为了彻底搞懂一道错题，需要花费远远超过预期的时间 4、错题数量实在太多，无法在有限时间内搞懂所有的错题（前两者属于收益小，后两者属于成本高。）那么这时候，权衡利弊，如果因为以上情况的出现导致直接搞懂的成本过高或者收益过小，那么就应该根据自身情况，选择录入错题本，改用错题本的方法。错题本方法的效率和收益其实确实不如直接搞懂，但是风险小，能有保持成绩的最低保证。条件允许的情况下，当然也要两种方法结合，对于重点题目即刻搞懂，对于其他题目收入错题本，以后再复习。 2、明确整理错题的目的、方法与计划整理错题的目的，上面已经讲了，是因为来不及及时解决知识点，而将学习这些错题的时间延后；一般而言，延后至周末，以及期中期末复习期。因此，整理错题的方法就是将做错的题摘抄/复印到错题集中去，具体的做法不限。对于错题数量不是很多的，其实在作业本有错题的页码夹一张便贴就已经是错题集的雏形了，考虑到已经搞懂的错题就不太有第三次回顾的需求，这种整理形态较不明显的方式还是比较适用于错题数量只是刚好超出自己日常处理能力的情形。错题数量更多的，也就是说，如果几乎每一页都会被贴上便贴的话……比较轻松的方式其实是在错题本中仅仅记录错题所在的页码和题号。关键则在于题号后面应当记录自己对这道题的回顾记录。比如第一次回顾又做错了；第二次回顾做对了之类的标记。这就已经是一个完整的错题本形式了，引用记录了错题的题干、原错误答案位置和答案位置，有回顾重做的功能（在草稿纸上）和回顾重做的结果记录。那些传说中长的很好看的错题本，其实因为要花很多时间抄题/复印/拍照/剪贴，制作时间上成本太高，并不是很推荐，尽管在回顾使用的时候非常方便。但关键仍然与前面简易版本相同，要具有这些要素：题干、与题干位置分离的答案（这两者即具有了回顾重做的功能）、可能的话最好有历次错误答案记录（夹页）、有回顾重做的结果记录。无论哪种错题本，特别是最后哪种制作成本很高的，其实都不反对由家长代工，特别是如果是最后一种，如果由学生自己制作这样的错题本简直得不偿失。制作错题本本身的过程是对学习并没有帮助的，有帮助的其实是错题本带来的回顾重做功能。 3、错题本的正确使用方法具体使用参数因人而异，基本方法一致。即对于错题本上的题，归根本质，为延迟型学习/复习，一般用法为在周末利用大块时间集中突击搞懂这些题目，确保一网打尽，并且标记。对于没能搞懂的题目，作另外的标记，下周（通过问老师或者再回顾）直到搞懂后作搞懂标记。期中期末复习的时候根据以前的标记再选择性地再回顾题目，并做相应标记。这里对搞懂二字作额外解释：可以是看懂正确做法，也可以是自己另外正确地做了一遍，以后者为佳；有条件的话应当是以找到原/历次错误答案错误原因/位置为前提。其他用法：如果错题额外多的，以至于周末不能一网打尽的，那么应当在录入错题本的时候考虑到这一情况，而对录入的错题本进行难度/重要性排序，优先搞懂简单重要的，直接放弃困难的，使用时以固定时间而非题目数量作为每周末使用的衡量标准。其他用法：对于因为记忆力较差而同类型题目反复做错的学生，不建议集中在周末使用错题本，而是每日使用，目标是克服记忆力较差导致的问题。因此应当每日争取搞懂固定日期之前产生的问题（例如，每天都尝试搞懂三天前产生的问题，记忆力越差建议延迟日期越短），并且每道题可以规定自己连续搞懂固定遍数才算正式搞定（例如，每道题在n次未搞懂标记之后有连续两次搞懂标记，记忆力越差固定遍数应越多）。对于该种方法产生的题量过大的问题，仍然采用解决简单的，直接放弃困难的策略。 4、坚持执行计划很重要。坚持执行计划很重要。坚持执行计划很重要。哦，好像有点偏题了。什么时候整理？当然是用之前能整理制作出来就行了。分类型？搞定了的题还管他什么类型呢，分了类的错题本中看不中用。一定要分类？你这是拖延吧，还没把题目搞定就想要分类了再搞，不要搞这样的借口。搞定了还要分类？你是专业的吧，这错题本好卖钱吗？其实错题本只有自己用价值才高，别人的错题本就不值钱了。唉，就是把做错的题记下来，延后个时间再做对，哪有那么烦，都是拖延的借口。回复

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如何做好一个适合自己的考研数学笔记呢？

 2019-6-1   匿名的用户  7929  5

是应该把定理都照搬下来嘛？我又觉得那样太浪费时间，还是把题和定理相结合。最近一段时间数学学的有点乱， ...

2019-6-1

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18考研数学难度很大，要考数学的小伙伴们务必高度重视起来。师太为大家采访了一位18考研数一131分的大神，他分享了自己备考时用到的考研数学笔记四步法：第一遍看课本。每看一个知识点，把这个知识点记在笔记本上，附上它的定义或者证明过程，增强对这个知识点的理解和记忆。第二遍复习强化阶段的张宇18讲等书。每看一章，就将这一章的知识点和公式用概念图的形式总结出来，并将重点知识点和公式提取出来，单独写上定义和证明过程。第三遍开始做题。开始做题后一定要记得纠错，将每道错题粘贴到纠错本上，结果可以不写，但一定要写出自己的思维过程，抄结果是没用的，一定要配上自己的理解！将题做完一遍后，再进行总结，这个时候就是每一章默写出概念图，写出自己记得的关于这张概念图的定义和公式，之后对照课本查漏补缺。第四遍，根据做题时错误情况，用专题的形式，及时对某一部分知识进行重点增强，做一个关于该知识点的专题，将基本概念和易错点放在一起，增强理解和记忆。回复
2019-6-1

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谢邀我的笔记都给别人了，没法给题主上图。楼上说的很详细，也与我的很多都是一个意思。我的笔记不是用来记知识点的，知识点书上就有，没必要再抄一遍，书上做记号就行了，我主要是记了一些解题方法和思路。楼上对于这方面写的很详细，我说一下我采用得一个比较“笨”的方法：第一步，审题。搞清楚这道题核心是什么，这样就可以把不同的题分类。第二步，对于同一类题找出一个比较典型的题目。第三步，看参考答案。参考答案解题步骤是比较规范的，看明白他每一步都做了什么，把他每一步都做了什么写在笔记上，比如：1求特征值；2求特征向量；3..... 考试一共那么多题，每年题型都差不多，利用上面的方法可以搞出一些解题“模板”。这样面对很多题，你可能不理解，但是只要知道它属于哪类题，再借用相应的“模板”你就可以一步一步地把题解出来。就算解不出来最终结果，根据“模板”你起码能写出不少东西。至于一些错题，可以把核心思路记下来，也可以把你被卡住的那一步记下来，很多时候我们解题就是到某一步卡住不知道怎么继续了，也可以单独给这些错题做一些“模板”。这样做的坏处就是太依赖“模板”，跟写八股文一样，没能达到真正的会做题，所以我的改进就是每次看笔记的时候都会把自己的理解写在每一步的旁边作为批注，这样既有解题步骤，又对知识点有了一定的理解。不过说实话你不理解也没关系，毕竟是应试教育，只要你把题解出来了就能拿分，复试导师也不会考你数学（除非你是数学专业）。回复
2019-6-1

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个人认为广义上的笔记其实分为两类，一类是知识点的整理，一类是题的整理。针对考研数学的笔记感觉我还是有一点点可说的的（17年数三148）~ 1、知识点类的笔记：我整理这一类笔记的目标是为了让知识点更加成体系，考研数学是一轮一轮过的，整理了笔记方便后续知识点查看，减少翻书次数，大大提高效率。而且系统的笔记，有利于对知识点系统的理解，记忆起来是成串的，哪里有漏洞，更方便补。记笔记建议单面记录，一轮一轮复习时会有很多以前没注意到的地方，可以补充在笔记相应章节反面。详细的笔记需要①把知识点用完整的表述记录，越到复习后期你会发现对表述完整的要求越高，特别是选择题会在各类定理定义的表述上设考点。②重要定理定义的证明，特别是对线性代数这种证明题重要的科目。③某类题型的常用方法，比如不定积分部分，常用方法可以整理下来。简要的笔记体系性更加重要，就像列个提纲，把知识点串起来。数学学习是多轮的，个人来说还是详细一点更好一些。 2、题类的笔记：【继续回答—2017.6.6】整理错题是初中老师教的方法，一直延续至今。一般套路是：原题-正确解答-自己想法。重在自己想法，比如这个题考点在哪、技巧在哪、一般思路为何、优质解答好在哪里、自己当初解不出来缘何、等等等。个人认为错题的精华不在于题目解法本身，而在于自己的想法部分，这一部分无需太多，有时可以是一整个知识点的补充，有时可以是一两句话。后期回来翻看时，做题要把解法遮住，自己做，而且想法部分可以根据自己情况进行补充。反正我觉得整理起来挺累人，但用起来挺方便～好像暂时没什么想说的了，不知道当初为何差这么几句话没回答完…… 回复
2019-6-1

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谢邀，16年考研结束，数学132 先说在前面：做笔记，并不是为了获得一份好的笔记成果，是为了获得一个好的知识梳理过程。我就谈谈自己的做笔记过程吧一、熟悉自己的数学水平，特指数学思维、运算、答题速度等二、熟悉考研数学的题型和考点分布，强调真题的重点和易错点等三、建立做笔记的目的、规划，大致包括笔记详略程度、题型解答详细程度等四、三轮复习，第一轮重在知识点标记，笔记稍微详细；第二遍重在经典题型整理，笔记重在题型归类，不必深入整理；关键在第三遍，要对前两轮的笔记按照知识点归纳，并梳理出经典题型及其全部解法的优劣对比、适用范围。 ----------------------------------------------分割线1------------------------------------------------------------- 由于我并不擅长像大神们系统的将以上每一点展开做理论分析，我下面将我的公众号发过的一篇文章贴过来，以举例的方式讲述我是如何做笔记，形成知识体系的。原文链接请点击：如何系统的学习考研数学 [*]如何形成知识体系？数学全书第三遍，自己参考全书总结笔记（基本不做题），很多研友此时选择不做第三遍直接做真题了。我在第三遍，将每个知识章节进行笔记总结，相当于形成了自己的一本精简版的复习全书，之后做完真题我一般看自己笔记而不再看厚厚的全书。主要笔记要点：（1）本章简要知识框架（2）本章最主要的题型+每个题型最全的解法（后续不断更新补充，用A4活页纸）（3）经典易错的概念、解法备注以上笔记（1）有助于心中形成知识体系，（3）有助于辨析概念，突破选择题、填空题易错点.(2)的总结最为主要，将决定了今后答题的解题思路速度。 [*]知识体系如何应用？知识体系，重要在内化为解题的思维框架。此处，我无法系统的将我的笔记每一页截图传上来，我将以线性代数一个题型为例。 [*]经典题型举例：线性代数求矩阵的n次方。即已知A，求A的高次方矩阵。经典应用在于2016年考研数三真题21题。 [*]此题不同考生的差距在哪？在于你花了多长时间才想到解题方法，考完很多人说花了好几分钟尝试了不同常见解法失效后，才最终找到正确解法。而我当时确实只用了十秒钟就确定只有一种解法可行，楼主不是为了装逼，而是告诉你们建立体系化知识（思维）框架很重要，而不要只是掌握了常见解法。写到这里我还未提供答案，大家可以自己试试多快能确定解题方法？在2016年考研数学三中，在这里浪费时间是很影响答题速度的。[*]下面提供我自己的本题题型总结，其中下图[*]解法1：秩r(A)=1和解法2：A为三角阵，是本题型两种常见解法。很多人也只是掌握了这两种方法。[*]建立知识笔记体系后，每次遇见题目从常见解法出发，过一遍笔记思维：[*]本题为例：（熟悉后以下过程10秒完成，此题为全卷较难）解第（1）问题：秩是1吗？—>解法1 否，秩不是1。.那是三角阵吗？—>解法2 否，非三角阵。那相似对角化法可行？是—>解法3. 解第（2）问题 [*]类似：几步即可选出解法4，迭代法（给出了低阶规律B*2=BA）以这个知识点或者说题型（n次方矩阵的求法）为例，你所做出来的笔记大致就应该如上图中的思维图。要点如下： 1.知识点简单清晰，不需要深入展开，但解法全面 2.每种解法的适用范围、优劣对比很明显，考场遇到题目可以迅速反应。 -----------------------------------分割线2----------------------- 1、好的笔记是自己的思维复现，而不是公正详细的抄一遍知识点（那样我直接买一本市面上的知识点纲要就够了吧） 2、好的笔记仅仅适用于你自己，甚至只需要你自己看得懂就够了。因为你的知识盲点跟别人是不一样的，这也是我向来反对去抄别人笔记的原因，当然文科性质的笔记另说，这里强调的是数学类强思维性质的学科。 3、好的笔记是建立在大量的习题训练的基础上，没有大量输入不要指望能有精华输出。回复
2019-6-1

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在做笔记之前大家一定要弄明白做“数学笔记”这个东西最关键的是什么！当然是整理出来的知识点简！单！！明！！！了！！！！所以接下来我会重点给大家说说怎么围绕这个关键做好一个适合自己的考研数学笔记~为了让大家更清楚的看见做笔记过程，我把做笔记的流程简单的整理了一下↓ https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-cc7de4f133047673a8a7e05948933143.jpg 注意：下文不是空口理论，是完全可以用在记考研数学的笔记当中的方法！！一、基础阶段（3个月）：[/h1]笔记要点：侧重于梳理数学考点，掌握考研数学的考试内容。下面具体给大家说一下如何梳理数学考点： 1) 这个阶段，我先是在网上找到了最新数学三的考研大纲，差不多花了1个小时在教材上把数三不考的内容划掉。大章节（比如：向量代数和解析几何）就在目录上划，小知识点（比如：微分方程的简单应用）就去教材里面划。 2) 倍速看宇哥的视频，把数三的每一个章节的考试重点圈出来。宇哥的视频很精简，没有废话，视频开篇就会说每一章的重点，然后再细讲。所以只用看前面的几分钟，就可以知道一章的重点了。所以整个数三划重点的时间差不多也只花了半天左右~ 3) 最后，准备一个活页的空白笔记本，根据划掉的不考点以及圈出的重点整理出了考研数三的考点，然后在旁边标明复习的完成指数，以便后期检查自己的复习程度。以上整理考点看着很浪费时间，但是整体算下来也只有六七个小时，但是这几个小时却能掌控着未来几百天的复习，你说重不重要~ 最后，上图给你们看一下我之前整理的数学三考点的大致模板↓ https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-0d7f6c3efff72cc0de55bb695c35af95.jpg (PS：以前的笔记已经送给学妹了，所以为了让你们能直观的参考一下，这是我在word上做出来的~）这样整理出来的好处是很直观的就知道每一个大章节下面的知识点，而且很方便的总结出自己哪些考点没有复习好，这样在后期的复习过程中也能有所偏重~ 还有，光整理出来知识点是不够的，还要付诸于行动~在前期，我就会给自己制定好数学的整体复习规划，落实到每个章节的知识点！差不多就是这个样子↓ https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-b29ca4d08e1a15e4f7a83c642a43054f.jpg 好的规划是成功的一半，用这样的方法，一开始就清晰的知道考研数学的考试内容，就不会很迷茫，可以很快的进入考研数学的复习状态。而且，也有利于在冲刺阶段根据整理的数学大纲查漏补缺~ 二、强化阶段（3个月）：[/h1]笔记要点：侧重于记真题的错题笔记，掌握重要考点概念、公式的运用按照惯例，先给大家上张图看一下↗ https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-29194230fc6aaddc3864f1f4794730a8.jpg 在这个阶段主要就是记错题笔记。我会把这道错题的错题来源、重要指数、原题题目、考查的知识点、错误原因、以及纠正解析都列出来，这样也方便回顾错题。有很多同学做错题笔记都是抄书式的错题笔记，直接把错题，题目一大通的放在笔记本上，这样复习错题的时候都看哪哪都懂，做啥啥不会，整个错题笔记白做了~ 所以针对于不会做错题笔记的同学，我给大家说说怎么做吧↗ 1）标明错题来源，用来记录错题来源的资料，题型，页码，记录格式为“XXX（书）XXX（页）XX题”或“XXX（卷）XXX（年）XXX题”，方便重回题源查看资料上的详细解析，便于自己理解。 2）标出重要指数，用来记录这道题是否有反复做的价值。比如：★★★是只用记这道题的考点，★★★★是记这道题的解析步骤，★★★★★是需要多次反复做。 3）写出原题题目，这样可以第一时间查看自己错误的题目类型和原题题目，更有针对性的复习回顾和查漏补缺。 4）标明考查知识点，每道错题的相关知识点记录完毕后，后期复习可以直接细数错误最多的知识点，找到查漏补缺的方向，提高分数。 5）找出错误原因，这样可以帮助理清第一次错误的思考逻辑，从而在第二次、第三次做题时避免犯同样的错误，更好的纠正错误，作对题目。 6）写出纠正解析，这里用来记录详细的解析步骤，不看答案，自己在从头到尾的写完整个流程，进而更加牢固的掌握知识点。所以我在做错题的时候，一面只记一道题，剩下的部分就用来第二遍、甚至第三遍做题的时候用。做错题笔记的方式未必适合每一个同学，但是其中的方法都是相通的！之前整理过一整套错题笔记本的模板，分享给了学弟学妹们，事实证明还是很有用的，在冲刺阶段能有助于总结还没有复习到位的知识点以及归纳错题的解题思路。三、冲刺阶段（2个月）：笔记要点：侧重于对之前积累的错题笔记进行归纳总结，查漏补缺在这里我就给大家说一下如何归纳总结错题笔记： 1) 利用数学笔记本上整理的考点大纲，一条一条的比对。如果看到这个知识点，回顾不起来这个知识点下的公式或概念，就标记出来，然后回到复习全书或书上再复习一遍。如果反复都记不住的知识点，就是在后期要着重复习的地方。 2）重新做数学笔记本上的错题，如果再次出错，就按照上一点整理出错题，归纳错误的原因，直到完全弄明白，防止一错再错。 3）看数学笔记上面摘抄的错题，要学会总结一个考点下不同的考试题型和解题思路。如果有新的解题思路，可以用便利贴或新的活页纸附在旁边。举个例子：讨论f(x)在指定Ⅰ上的有界性。有的题就会用理论解法（若Ⅰ为,用“连续函数f(x）在上必有界”），有的题就会用“三段论”的解法......这些方法都是我们在最后阶段需要总结的！请注意：冲刺阶段的时间紧，任务重，所以不要为了做笔记而做笔记，而是把在整个复习过程中厚厚的资料梳理出来，把重要的考点以简单明了的方式往笔记本上记录，方便自己后期反反复复的理解和巩固！ https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-65420f5bf4d3be27b853ee174f34c649.jpg 以上就是我所分享的做笔记的方式，数学的笔记虽然未必是每个同学都能适用的方式，但是方法肯定是通用的，大家可以根据自己的情况自行调节~看在我奉献了这么多干货的份上，能给小阿米点个赞吗~~ 回复

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高等数学中学泰勒公式，感觉几何意义很模糊，怎么理解？

 2019-6-1   匿名的用户  6865  5

只知道该怎么用，知道它可以用来逼近原函数，但不知道每一个阶层项的意义是什么？比如f''（x0）（x－x0）╱ ...

2019-6-1

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几何直观上本来就只能最多看到二到三阶导数回复
2019-6-1

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一句话说的话，泰勒公式其实是一个无限叠加的泰勒中值定理。回复
2019-6-1

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用多项式这个容易研究的模型去近似（拟合）原先那个复杂的不容易研究的函数回复
2019-6-1

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较早出现的展开的例子是芝诺(约公元前490-前425, 意大利哲学家)有关运动的悖论之一，二分法，在亚里士多德写的《物理学》中被这样描述到：“移动是不可能的，因为在移动到终点位置之前，必须先移动到原位置与终点位置的中点处”。 https://www.zhihu.com/equation?tex=1+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7B2%5E1%7D%7D%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7B2%5E2%7D%7D%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7B2%5E3%7D%7D%7D+%2B+...+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7B2%5E%7B%5Ctext%7Bn%7D%7D%7D%7D%7D+%2B+... 复杂函数展开的目的和方法 1.墨卡托级数历史上有一个著名的用多项式函数表示一个函数的例子，是墨卡托级数： https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln+%5Cleft%28+%7B1+%2B+x%7D+%5Cright%29+%3D+x+-+%5Cfrac%7B%7B%7Bx%5E2%7D%7D%7D%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7B%7B%7Bx%5E3%7D%7D%7D%7B3%7D+-+%5Cfrac%7B%7B%7Bx%5E4%7D%7D%7D%7B4%7D+%2B++%5Cldots+ 墨卡托通过计算双曲线 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-1283d7ff8d7a7fc2c6a46c173726ce99 与 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-a65302e4c329aa2db7295ef9ff311d66 轴围成的，从0到 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-79271a73b75b1b2971964504afad8a27 的图形的面积得到这个表达式。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-354d7f24ab3ec8356d90be9126c0f79c.jpg 把区间 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-afdaf8c31cc45ad5f5de63c6f0b39d94 划分为n个相等小区间，每个小区间的长度 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-528af32976f53e8eb8f1b0ef6938a0ed ，构成n个小矩形，如图所示，小矩形的高依次为 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-5bac4ced8df0d751a9328c67b8d54a40 则所求面积 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-997d3c86d2bb4595375ff543e6f7413c 现在将每个小矩形的高展开为几何级数，我们知道，对于几何级数 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathop+%5Csum+%5Climits_%7Bn+%3D+0%7D%5E%5Cinfty++a%7Bq%5En%7D+%3D+a+%2B+aq+%2B+a%7Bq%5E2%7D+%2B++%5Cldots++%2B+a%7Bq%5En%7D+%2B++%5Cldots+ https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Bs_n%7D+%3D+%5Cfrac%7Ba%7D%7B%7B1+-+q%7D%7D+-+%5Cfrac%7B%7Ba%7Bq%5En%7D%7D%7D%7B%7B1+-+q%7D%7D 当 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-d27a7d495aba94a69a91d2810d053526 时，由于 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathop+%7B%5Clim+%7D%5Climits_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty+%7D+%7Bq%5En%7D+%3D+0 ，从而 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-de731a9876481bbef4a57c1e847d91a9 则 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ceqalign%7B+++%26+%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B1+%2B+h%7D%7D+%3D+%5Cmathop+%5Csum+%5Climits_%7Bn+%3D+0%7D%5E%5Cinfty++%7B%28+-+1%29%5En%7D%7Bh%5En%7D+%3D+1+-+h+%2B+%7Bh%5E2%7D+-+%7Bh%5E3%7D+%2B++%5Cldots+++%5Ccr++++%26+%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B1+%2B+2h%7D%7D+%3D+%5Cmathop+%5Csum+%5Climits_%7Bn+%3D+0%7D%5E%5Cinfty++%7B%28+-+1%29%5En%7D%7B%282h%29%5En%7D+%3D+1+-+2h+%2B+%7B%282h%29%5E2%7D+-+%7B%282h%29%5E3%7D+%2B++%5Cldots+++%5Ccr++++%26+%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B1+%2B+%28n+-+1%29h%7D%7D+%3D+%5Cmathop+%5Csum+%5Climits_%7Bn+%3D+0%7D%5E%5Cinfty++%7B%28+-+1%29%5En%7D%7B%5B%5Cleft%28+%7Bn+-+1%7D+%5Cright%29h%5D%5En%7D+%3D+1+-+%5Cleft%28+%7Bn+-+1%7D+%5Cright%29h+%2B+%7B%5B%5Cleft%28+%7Bn+-+1%7D+%5Cright%29h%5D%5E2%7D+-+%7B%5B%5Cleft%28+%7Bn+-+1%7D+%5Cright%29h%5D%5E3%7D+%2B++%5Cldots++%5Ccr%7D+ 那么 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-997d3c86d2bb4595375ff543e6f7413c https://www.zhihu.com/equation?tex=+%3D+x+-+%7Bx%5E2%7D%5Cleft%28+%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7Bn%5E2%7D%7D%7D%5Cmathop+%5Csum+%5Climits_%7Bi+%3D+1%7D%5E%7Bn+-+1%7D+i%7D+%5Cright%29+%2B+%7Bx%5E3%7D%5Cleft%28+%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7Bn%5E3%7D%7D%7D%5Cmathop+%5Csum+%5Climits_%7Bi+%3D+1%7D%5E%7Bn+-+1%7D+%7Bi%5E2%7D%7D+%5Cright%29+%2B++%5Cldots++%2B+%7B%5Cleft%28+%7B+-+1%7D+%5Cright%29%5Ek%7D%7Bx%5E%7Bk+%2B+1%7D%7D%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7Bn%5E%7Bk+%2B+1%7D%7D%7D%7D%5Cmathop+%5Csum+%5Climits_%7Bi+%3D+1%7D%5E%7Bn+-+1%7D+%7Bi%5Ek%7D%29 卡瓦利里于1635年在他的书《几何学中不可分割的连续量》(Geometria indivisibilis continuorum)中首次发表了一个结论： https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathop+%7B%5Clim+%7D%5Climits_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty+%7D+%5Cfrac%7B%7B%5Cmathop+%5Csum+%5Cnolimits%5E+%7Bi%5Ek%7D%7D%7D%7B%7B%7Bn%5E%7Bk+%2B+1%7D%7D%7D%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Bk+%2B+1%7D%7D 代入上式，得 https://www.zhihu.com/equation?tex=A+%3D+x+-+%5Cfrac%7B%7B%7Bx%5E2%7D%7D%7D%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7B%7B%7Bx%5E3%7D%7D%7D%7B3%7D+-+%5Cfrac%7B%7B%7Bx%5E4%7D%7D%7D%7B4%7D+%2B++%5Cldots+ 而A是函数https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-1283d7ff8d7a7fc2c6a46c173726ce99 在0到x之间的积分,即 https://www.zhihu.com/equation?tex=A+%3D+%5Cint_0%5Ex+%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B1+%2B+x%7D%7D%7D+%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx+%3D+%5Cln+%5Cleft%28+%7B1+%2B+x%7D+%5Cright%29+%3D+x+-+%5Cfrac%7B%7B%7Bx%5E2%7D%7D%7D%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7B%7B%7Bx%5E3%7D%7D%7D%7B3%7D+-+%5Cfrac%7B%7B%7Bx%5E4%7D%7D%7D%7B4%7D+%2B++%5Cldots+ 由此可知，对数函数 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-7e090781db49a5b0e8d4149f8158d8fd 展开，是对平面图形求面积的结果。 2.实际问题中的函数 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-d9c9c3688701745e51fa4a203b331891 ,有的表达式很复杂，有的甚至给不出表达式，只能通过某种测量方法得到一些离散的自变量-函数值对；一个很自然的想法就是，如何将 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-d9c9c3688701745e51fa4a203b331891 用某个函数 P(x)近似表示? 选择哪种函数类型P(x)来近似代替f(x)是我们首先需要考虑的问题，如果测得f(x)上的两个点 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-4792d276545fb1f37227aa16b40a2683 对应的函数值 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-8b2ac44aea3953c6ce1a1e0cad578c76 ，我们可以用线性函数 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-1b21fb460efb8f05d497e566246e8352 近似代替函数 f(x ) https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-5b70371f0204817bec39d9813d0f8098.jpg 用点斜式表示 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-68fba8bae7d0db1910944aef42e530c3 定义 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-1ddf68f1ec09d607a6168a8a71ca7319 为f(x)在 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-d8c04370cc781d151e021f54a4161c52 处的一阶差商，则称 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-3efcfe11d70f3d445a57dc9e3f9c1e2a 为一次牛顿线性插值函数。用两点式表示 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-3f852b22d8873db4114ef0e2b636696c 记 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-8853250292ad1e2ad4d855fb809e152d 为一次插值基函数，则 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-d9c8bf3c9015336627edf7cab34829cf 为一次拉格朗日线性插值函数。如果f(x)在开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，相异的点 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-657743274e7816eb9b8cae84dc259514 都在上，不妨设 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-e3079c369dc7044461812909b3d0cefb ，且x是上一点，由于f(x)很复杂甚至数学表达式未知，我们希望构造另外一个函数P(x)，使得 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-f74674fd211086a381aed3566f5baba7 ，用 P(x)近似代替f(x)。为了便于叙述，通常称区间为插值区间，点 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-bbe23583d37665b039ab60012a7a0c58 为插值节点，函数P(x)为插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。利用插值法，差商的定义，性质，罗尔定理，最终得到 https://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cleft%28+x+%5Cright%29+%3D+f%5Cleft%28+%7B%7Bx_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+f%27%5Cleft%28+%7B%7Bx_0%7D%7D+%5Cright%29%5Cleft%28+%7Bx+-+%7Bx_0%7D%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cfrac%7B%7Bf%27%27%5Cleft%28+%7B%7Bx_0%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B2%7D%7B%5Cleft%28+%7Bx+-+%7Bx_0%7D%7D+%5Cright%29%5E2%7D+%2B++%5Cldots++%2B+%5Cfrac%7B%7B%7Bf%5E%7B%28n%29%7D%7D%5Cleft%28+%7B%7Bx_0%7D%7D+%5Cright%29%7D%7D%7B%7Bn%21%7D%7D%7B%5Cleft%28+%7Bx+-+%7Bx_0%7D%7D+%5Cright%29%5En%7D+%2B+%7BR_n%7D%5Cleft%28+x+%5Cright%29 其中 https://www.zhihu.com/equation?tex=%7BR_n%7D%5Cleft%28+x+%5Cright%29+%3D+%5Cfrac%7B%7B%7Bf%5E%7B%5Cleft%28+%7Bn+%2B+1%7D+%5Cright%29%7D%7D%5Cleft%28+%5Cxi++%5Cright%29%7D%7D%7B%7B%5Cleft%28+%7Bn+%2B+1%7D+%5Cright%29%21%7D%7D%7B%28x+-+%7Bx_0%7D%29%5E%7Bn+%2B+1%7D%7D 根据差商的定义， https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_0%29%5En ， https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-08bf1c97f094293646d54c06634db6ad 中，n是几，就表示在 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-79271a73b75b1b2971964504afad8a27 与 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-67ee6750b1c3db2a2b27f71e2cb1ad31 之间插入了几个点，插入的点越多，该函数的曲线与原有曲线就越接近，如果不插入点，就是用一条直线的函数代替，插入1个点就是两条折线，以此类推。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-09348a3143d733e31d0ce53376e8829f.jpg 回复
2019-6-1

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谢邀. 分析层面的就交给其他大神讲吧，我从多项式空间的角度讲讲：设 https://www.zhihu.com/equation?tex=V%3D%3C1%2Ct%2C...%2Ct%5E%7Bn%7D%3E 是 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-dd43ad14e78bc322bdf290aad67ec8fa 上次数不超过 n 次的多项式空间. 每个多项式都可以表示为 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-0f3111bb4f3507e5e75621955547c352 中一个点，比如—— https://www.zhihu.com/equation?tex=%281601%2C-79%2C1%2C0%2C...%2C0%29%3A%3D1601-79t%2Bt%5E2 考虑微分算子 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-1c2f76a28918284e2ca36dcc92c7bff9 在上面这组基下的矩阵：因为 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BD%7D%28t%5Ek%29%3Dkt%5E%7Bk-1%7D%2Ck%3D0%2C1%2C...%2Cn 于是 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-31f0f541cfbb1edb887a21a043a2b459 熟悉 Jordan 矩阵的人自然会考虑另外一组基： https://www.zhihu.com/equation?tex=e_%7Bk%2B1%7D%3D%5Cfrac%7Bt%5Ek%7D%7Bk%21%7D%2Ck%3D0%2C..%2Cn 在这组基下的微分算子的矩阵：因为 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-d2990c609e0da5eeab4036c52c277357 所以 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-86f6350ff41fdf65c4c957f15ad529c3 更一般地，若考虑空间 https://www.zhihu.com/equation?tex=U%3D%5Cleft%5C%7B+e%5E%7B%5Clambda+t%7Df%28t%29+%5C+%7C+%5C++%5Clambda+%5Cin+%5Cmathbb%7BC%7D+%2C%5Cpartial%28f%29%5Cleq+n+%5Cright%5C%7D 的微分算子有： https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BD%7D%28e%5E%7B%5Clambda+t%7Df%28t%29%29%3De%5E%7B%5Clambda+t%7D%5Cleft%5B+%5Clambda+f%28t%29%2B+f%27%28t%29%5Cright%5D 而对于 Jordan基 —— https://www.zhihu.com/equation?tex=e_%7Bk%2B1%7D%3D%5Cfrac%7Bt%5Ek%7D%7Bk%21%7De%5E%7B%5Clambda+t%7D%2Ck%3D0%2C..%2Cn https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-538b0bfb1273a772425abc58e3428ebc https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-6d53a7f0cfee91db4bd8170ec587635c 还没完，继续利用多项式 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-b1546fe57556d315e29ee6712725da66 ， https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-9cf103621d34292f4d385a3d4d971da1 我们看矩阵的每一列（行），都是泰勒各阶展开，而对于一般的 n 次可微函数的 Taylor 展开，只是对上面思想的一种推广：将一个解析函数用空间的一组 Jordan 基来分解. 怎么样，是不是感觉更模糊了…… 由于良心的愧怍，我觉得我应该再解释解释: 由上面的分析可知，Taylor 展开实际上是对一个 n 次可微的函数的一种分解，那么有人会问—— 分解只有这么一种方式吗？当然不可能只有一种分解方式，每当我们找到一组不同的基，就能找到一种分解方式。于是紧接着问—— 既然有那么多的基可供选择，那么选择 Jordan 基来分解有什么特别的好处？其实我的回答一开始就已经显露出 Jordan 基的优点了。学过高等代数就知道 Jordan 基的优越性，它可以将任一个线性变换（矩阵）庖丁解牛般地分解为准对角矩阵（如果矩阵可对角化，那就是对角矩阵），一个线性变换的全部信息将如初出浴之美人一览无余：它的秩是多少，谁是它的特征向量、准特征向量，它的象空间是如何被直和分解为若干不变子空间的……这些它都可以回答。当然，最重要的是简洁而有效，Jordan 矩阵的计算实在太友好了，算过矩阵的人都明白她的好。如果用的是其他的基来分解，你很难想象 f(x) 的各阶导数如后宫佳丽般款款而立，教郎恣意怜（为所欲为）吗？不会，等待你的往往是一个极其复杂、毫无无意义、丑陋的 ……矩阵。回复

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参加今年（2019）的丘成桐大学生数学竞赛是怎样一种体验？

 2019-6-1   匿名的用户  6033  5

参加今年（2019）的丘成桐大学生数学竞赛是怎样一种体验？

2019-6-1

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感觉自己水平太渣了～在台湾参加的，数论代数个人，只写了数论，也就是第五题1和3，赛后整理了一下 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-25907ab27eb8e8b2fe214fd6791495e7.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-9fc5e70a14ed6a1165c8c3d1d980e6ae.jpg 不过台湾大学的天文数学馆建的真不错。5楼有架钢琴，还有一位弹得一手好琴的数院兄弟——数学与音乐交相辉映～回复
2019-6-1

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我做的是概率与统计. 个人赛第四题没学过直接跳过了, 等下给第三题的解答 (考完试和一个人讨论了一个小时, 修了很多小bug, 希望现在没有新的了2333). 刚刚写好了团体赛概率论部分的解答. 因为是用Latex打的我这里就放截图了. 题目是凭记忆写出的. 团体赛的概率还算简单, 我(基本)全部做出来了, 虽然小错不断2333 UPD 0421: 个人赛第三题的答案写好了, 放在了回答最后. 当年学同调的时候老师说不用做作业考试也不考, 就没听课呜呜... 早知道应该好好学一下的(哭泣). 总之最后几何交白卷了(几乎). UPD2: 应用第一题组合, 第二题离散PDE, 第三题几何, 第四题PDE. 所以这就是“应用”么 UPD0507：概率表扬奖... 啊啊啊我想入围qwq 好吧显然是我太菜了 UPD0511：在写申诉，然后查了一下wikipedia... 我发现“be independent to”好像是独立的意思，我一直把它当“do not rely on”用的……emmm好吧等一会更上新版本证明。这是团体赛的答案. 经评论提醒，第一题n的指数应该是负数。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-a1001c5cbdfbd813484106131cb56b05.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-bb6c46f02f95926978161ce61753be82.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-8434697f2770fd544238e36c1f168a2f.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-f8a1365fe88aa541d5da4fdf42a0e567.jpg 个人赛第三题. 鉴于我知道很多人是不愿意看过程的, 我写了一个Analysis, 简单的概括了一下过程的思路. https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-ea6e7a0d60d34c65a04f06e7c842e7b8.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-6c8ac71fce4d9ed46bba3ba7f281bc3c.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-5a38dd8b5a72e785997bddd3bb9b4cb3.jpg 回复
2019-6-1

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实践证明，一点黎曼几何都不会也是可以拿个人几何的奖的。（不过团体似乎就不行了回复
2019-6-1

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去年的不靠谱的阅卷人又来回答了。今年丘赛还是有很多进步。首先，今年出题的风格变了，让很多摸清了往年试题套路的人摸不清了。其次，今年算是正式引入了“领队申诉”模式：组委会安排了负责申诉的老师，各个学校可以派一位领队去查阅卷子申诉，面对面对质（当然，具体的组织还需要再改进，有疏漏也可以原谅）；不一而足。但是呢，试题依然“不接地气”，就是说本科基础课程的联系不那么紧密了；越来越注重知识的广度的考察；不知道这个风气从什么时候开始的。我觉得需要研究一下十年丘赛的试题，每道题的得分率，区分度，是否符合丘赛的初衷，等等等等。我再来说说阅卷中出现的问题。今年由于申诉范围变广，导致出现的阅卷错误好像变多了。就我的个人感受来说，今年的阅卷质量比去年要好，如果有人认识前往申诉的领队，可以去求证。一方面是没有大问题（没有影响到入不入围或者得不得奖的问题），有一些小问题，基本上是5分的差距（也就是一个得分点，加了权计入决赛总成绩之后，可以说应该不会影响所得的奖项。）。另一方面，很多差错并非完全是由阅卷老师造成的，例如我一下要说明的同学们出现的问题。 [*]我们不要求同学们字写得很好，但是请写工整了，至少能让阅卷老师认出来。真的有同学因为字写太差了，导致读不懂而扣了分的；有这种现象的请自行联系领队认领。[*]卷面请合理安排。有同学多扣分是因为答题纸没有按顺序排列，例如，第一题是第1,2页，第二三题是第3,4页，结果答题纸排成1,3，4,2（不确定是否是同学的问题，至少提个醒）；然后第1题就只得了第1页上的分数。也有一题有两小题的，写完之后，把第一小题划了，重启一页写第一小题，并且在原第一小题前注明“此页作废，见下页”；实际上只作废了第一小题；结果第二小题被漏判了，没得分。[*]显然的事情不要写显然，尽量说明。以代数为例，构造了一个群同态，但是往往你只构造了一个映射，连提都没提“同态”两个字；再比如说个人代数第三题，有一半就是需要证“域的整扩张还是域”；但是很多人就显然了。[*]我呼吁了很多次了，合理申诉。我要半点名地批评北大某位同学，预估分数是“100”，申诉理由是“我不知道有没有满分”。你不能找唐珑珂核对一下答案再申诉吗？说了这么多，希望我不要被组委会和谐出去，明年能够继续为同学们服务。回复
2019-6-1

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2019.5.28丘赛官网有更新，听北大那边人说是按最终成绩排名的，我应用最后是排在了第九位，另外一个分析组的排在了第十二位（后来评论区有人提了下我查了下，是姓氏排序，所以各位无视这句话）明年再来玩。 ——————————————分割线—————————————————— 刚刚从丘赛的晚宴中走出来，明天早上六点就要起床赶飞机了。我们学校进的两个人都光荣的白给了2333。很幸运今年能够有机会参加如此高级的赛事，得好好的写这个回答，纪念一下。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-fb98e456db36574ac3bda3ae42ec2521.jpg 颁奖典礼引导台，友谊宫这应该是出生以来，参加的水平最高的一场晚宴，没有之一了。当时知道自己进了决赛，然后看了一下正好是压线（但是实际上应该没有我才对，有一个清华的人查分后来比我高的），第13名，就觉得应该还算是OK，毕竟丘赛一年发10个奖感觉也不算是那么容易白给吧。结果今年应用一共只发了5个牌，据说原因是参赛人数太少了…… emmmm…… 其实刚开始没有拿到比较好的结果还是有些失落的。毕竟虽然是第一个上台，但是应用五选三倒是有三个会做，但也不轻松，第三个题是求解非线性方程组的迭代法问题，就和牛顿法一样，硬着求导总是能做出来的。但是和教授们说的时候只说了思路就走了。走之后发现三个题讲完正好是30min，但是教授们卡了我两个问题，其实题目本身不难倒是，可是这两个问题有些细，而且都是基本的数分高代的定理，而我考前其实都在看计数的专业课，所以有点吃亏吧，不知道教授有没有听懂，就听着他们一路OKOK的下去。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-fbe2eaa97d027559d46fd01ae6bcf4a5.jpg 几个大牛评委，可惜我不认识几个哦对了，没有人告诉我全英文作答，口语18的我欲哭无泪。同桌子也没几个人拿到奖牌，毕竟那一桌子清北率是最低的（哈哈哈哈就是清华北大学生的比例），有南大的，同济的，台大的，厦大的，山大的。不过后来，有的人打破尴尬了之后，大家就自然而然的开始互相聊天，这就非常有种social的感觉。听科大的同学说，那边的大佬有的人从现在开始，就在帮着老板开会议，social，觥筹交错。我就觉得，人什么时候都能超前，超前的程度那肯定是我没办法想象的，就像数学迷高一就开始看Rudin，大二就拿了全能金牌一样。顺便感谢他光临了我们宿舍2333他的照片我想了想还是不放了。就像刚开始我也不知道山大的刘奔就在我右边，直到看到他不停的上台拿奖牌。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-daaf077809237811f6d7d01e02186f71.jpg 刘奔的金牌晚宴是真的聚集了相当多的院士。应该是数学各个大方向的大牛都在了。丘老本人肯定是在了，大家都在给他过七十岁生日2333，当时他站我旁边，还碰了好几次杯（当然合照肯定是没有了，那么多人看着我也没胆子要合照）。然后就是统计的范剑青，计算的林群，等等。碰杯的时候来了个几何拓扑方向的大牛，还是个很年轻貌美的女教授，左边两个北大的几何拓扑的方向的学生就很激动。后来晚宴结束就在想为什么没有计算方向的老师过来。不过像厉害的几个人都主动拿着杯子去找教授碰瓷，引荐，这应该是像极了学术晚宴，虽然我没有去过。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-564bb36b5d30811b629442bc8cc6dbb2.jpg 全能金牌https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-52fe132f9cb0baf4baac49521b983435.jpg 团体金牌然后就可以说说今天晚宴的具体情况了。首先就是听领导讲话了，不知道为什么听着感觉很舒服，没有特别官方的感觉。后面听颁奖，说真的还是挺有意思的。刚开始大家都没有，也都没有预料到，后来该拿的人拿了，慢慢的有我们桌的上台去拿了，就知道了，哦原来你是这个人，然后就开始主动套磁联系。其实我还是脸皮挺薄的，就像刚开始知道右边是刘奔的时候，还是对面那位同济的帅哥先和他套的磁。山大的刘奔已经确定去巴黎高师了，和我们聊的时候才发现原来还有个厦大的也去了那里。相信他会是个好的数学家。另外我们后面的那一桌应该是最强的，底下的照片就可以看出来，奖牌多到没处放 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-e967b96878bceeb586d6949a2e2068c9.jpg 对面一个同济一个台大的，两个人是现场唯二穿正装的同志（大雾），左边两个北大的应该是师兄弟关系，左边的是师兄，几何的铜牌，可以看出来他看的论文就很对称，他的衣服是一个叫什么mirror symmetry的东西，不懂不懂。那个师弟今年才大一，就进了决赛，他老家还是安徽的，和我一样。他说厦门大学很好看，我说北京大学很好看。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-d3cb3382d293cb52eb2ef8da4d775143.jpg 北大未名湖和博雅塔，其实这个角度很像厦大芙蓉湖和颂恩楼右边的是刘奔，还有我们学校另外一个大佬，分析的，可惜也白给了。还有两个北大的迟到了，其实我一眼就认识出来他是谁，我高中竞赛和他上过一次课，那个时候就是崇拜，因为知道他高二就进了省队。现在还能在同一个桌子上，我没想到他也认出了我，也算是互相介绍引入，也算是缘分吧。当然了，最后我们桌子好多人都想加刘奔，我说干脆创个群聊吧，于是就有了丘赛的群聊……一下子可以加一批人，指不定以后就是菲尔兹奖获得者呢。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-c25915ef2617a78b431e34828de6530c.jpg 这个菜很好吃后面那一个桌子那强手就多了，好几个名字高中就听过，都是进过集训队的，进过国家队的也有几个。有趣的是他们一群人后来围在我们这边聊天，听他们说话还挺有意思。只要你不聊专业，你会发现你还是能够和他们扯个那么一两句的，233，也不是坏事。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-20dbf30c5e84379c7ff5fde3f9160b0a.jpg 偷拍合影，估计里面起码有10个高中进过省队，5个进过集训队一桌子一起聊天就会发现，真正拿到了奖牌的人，真的是那种对数学有极大热情，和极为深刻理解的人，而且真的不能以貌取人。就像今天迷神和挺神来我们房间玩，单看迷神那憨憨的样子，真想不到他那么牛逼你说是不是。然后挺神最近也是做计算这些东西，和我方向挺近的，我倒是和他有些共同话题。结果一出口就会发现别人知识水平真的比你多不是一点半点。当时挺神私信我的时候我还挺惊喜，后来和他一聊更惊喜，搜了几个PDF不说，还让我明白了，原来学计算数学这种东西也要补充那么多分析的知识，然后再回头看泛函分析发现还真是这么回事……当然了还有大环境这些的，和他交流会感觉，眼界会不一样，然后就是真心的感慨，资源的差距，有的时候真的不能忽视啊…… 不过，迷神和挺神来我们房间玩这事情，我觉得我能吹好长一段时间，毕竟村里人那是真的没见过世面（大雾），考虑到这里提的太多了我还是把你艾特出来吧。 @林挺 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-29eb7857e9ba32cc5bceef50eca71f11.jpg Math = My Approach To Happinesshttps://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-4dc904ee38ea5aeaaad6fc81f4ef3b6d.jpg 应该是金奖合影？左下角的教授碰过杯最后肯定就是收获满满了。住宿真的一级棒（后来听挺神说这边一般入住500块一天2333）！清华大学提供了校内宾馆，真的nice。其实一直都想去北大，很可惜北大从来就没正眼瞧过我一眼，反倒是当时清华给了我自招名额（虽然第一轮就没过），然后现在也是假装做了三天的清华人。可惜明天就不再是啦。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-3f9097134f8c882637a3a842d23dfb7b.jpg 清华园今年过去之后我就觉得，丘赛入围不是没有可能，在应用方向，厦大学生把计算的课都好好的修完就可以了，不需要补充太多的东西，不像分析厦大的难度是完全跟不上的，几何，代数就更不用说了，统计……不予置评。明年如果有机会当然希望再来一次了，但是听丘老爷子说80%的丘赛获奖者选择了深造数学，问了同济的老哥他去了UIUC读代数结构方向。就会觉得我还算是个离经叛道的主2333，不过确实，自己实力不是顶尖，妄想去top也不现实，还是老老实实的先做好自己的大数据吧。这确实是一次大会，但是现在对我来说，更像是一次邂逅吧，我真没有想到，我一个之前励志做统计，现在痴迷玩数据的人，却走进了这么一个数学的殿堂。只是不知道有没有机会啦，但如果有机会，希望还能见到你们吧。只可惜有的人可能只能见今晚这么一次啦。大佬们永远比我忙。回复

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为什么部分人容易忘记数学证明，如何解决？

 2019-6-1   匿名的用户  5426  5

很多证明时间一长就忘了，比如泰勒公式的推导过程，二阶常系数线性非齐次方程的公式。虽然这些公式都记得也 ...

2019-6-1

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一个栗子：某年丘赛考了一道难题，恰好是某名学生上某课的结课小论文，时间相隔不到一年。但结果很遗憾，该学生在考场上未能做出该题。对于绝大多数本科生，就本科那些数学定理而言，抄书5遍以上，背也该背下来了吧。这么简单，直接，实用的方法，为什么很多人视而不见呢？在本科数学范畴内，确实有高手能够通过简单三句话（所谓证明核心框架）就能还原数学证明，补上细节。但能做到这一点的本科生恐怕也就有10%左右吧。网友Y Fan说得很对，定理也得分级，常用的定理要手熟尔。回复
2019-6-1

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忘了说明你不需要你需要就会多次复习回复
2019-6-1

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谢邀：首先我同意@Y Fan 的观点，很多定理会“自然遗忘”，这是人脑的自然规律，看的定理过多了，对你没用记不住也无关系。但是，如果你是一个正在学习数学的本科学生，你要尽量在理解地情况下记忆课内的证明，这是有好处的。首先大部分课程的主干定理是不多的，第二了解这些主干定理对于学习一门课来说是非常重要的，甚至说是第一位的。一、我收到过不少本科学生私信问我：课内学习的时候，定理的证明需要掌握吗？还是只要“会用”就好？我得说本科阶段那些定理，它们的证明最好都掌握，而且学习一门基础课程：第一位的是定理，第二位是“像定理一样的”课后习题（这些课后习题在别的教材里面就是定理／推论）。我反对在没搞清楚定理前就去做习题，这是本末倒置，好的习题有几种，其中一种是课内定理的补充和延展，这类一定要多做。如果你真的掌握了定理，很多习题是自然的，再说了，连证明都不会，谈不上什么“会用”，反而有点像考试机器了。然后，就是“会用”，这点也很重要，但是会用定理，不等于套用定理，而是利用定理的内涵：证明的内在思想，定理揭示的数学对象的性质。掌握这些东西非常重要，我在下面提示这个东西怎么帮助你理解和记忆。二、我分享一下自己怎么学习和理解一门课程的定理的。我常用的方法有好几个：a, 学习一门课的时候我喜欢准备好几本书，首先挑选自己比较喜欢，容易上手的为主教材，不要因为大家都推rudin，你一上手就操rudin。如果不幸和你老师要求的不同也没关系，只要学习的时候掌握好不同教材的差异。b): 一个定理的证明，如果你感觉一本教材说得你不喜欢，那么看看其他教材，网上的讲义怎么说的，选择你当下最能接受的。比如，当年我本科学习泛函分析，用的就是王声望那本（应该是），他证明“共鸣定理”（一致有界定理）的方法简直不要太诡异，然后我比照了不同版本的证明了，选择了最自然的那种方法。综合几个方法，自己写一个也是不错的选择。这种方法有一个缺陷，就是你最好纪录下来，否则容易很难成“体系”，这也是我开始作笔记的动因。c) 要理解记忆一个定理，你一定要把它归纳出很少的几个步骤，每个步骤就是简单的一句话。写成小提纲一样，然后看自己能不能只靠脑内的这些提纲去复现原证明，这时候我们就要回到我说到的之前的定理的证明很多时候用到的是“数学对象的内在性质”，只要你理解了这些，那么你可以按照“小提纲”来完成证明，比如，很多数学定理第一步就是“简化”，通过各种等价操作，把原问题退化到最简单的情况。rudin的很多课后习题是这样的：一个大题分成几个小题，每个小题做完就是一个大题。这种做法你也可以用在自己去理解定理的证明上。 d) 一套书学完后，你可以尝试看另外一套不同体系的书，比如第二次学习的时候看rudin。这时候，你会轻松很多，也会有一种：哦，原来你是这样看的。这种学习方法的一个结果就是你的体系几乎是独一无二的，与人差别比较大，交流的时候要注意一下。别人默认的“证明方法”不一定是你默认的方法。回复
2019-6-1

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这个问题我一定要来回答！上学期做的一个问题，中间遇到一个地方卡了一两个月，最后和博后一起用一种很tricky的方法证过去了，这个地方也是我们整个证明里最闪光的地方了。证完之后，连着就给老板做了一周的presentation把整个问题的证明细节都check了一遍，感觉没什么问题，开森！然后我就回国休假了，休息休息嘛，打算回来开始敲论文，回去呆了一个月，中间还去夏威夷浪了一圈。（我老板人很nice，从来不push别人，只push他自己，然后还经常对我说：don't push yourself too hard...他是那种对学生：你本着对你自己学术发展负责的态度，如果需要他的帮助他会倾力帮助，如果不需要的话，他也不会逼你。）等到回来之后，就准备开始敲文章了，恰好暑假老板也不在学校，一个月敲了半页latex......其实大部分phd敲论文的前一个月也就这个工作量，反正我是这么安慰我自己的。。。然后上周，在办公室水社区磨洋工的时候，掐指一算，卧槽，老板还十天就回来了，这不行了，得抓紧敲了！就从那个最tricky的地方开始敲吧。等我开始敲的时候，忽然发现好像有点不太对，“欸？这个地方我是咋证的来着？”其实，这种事经常发生的，一般稍微写写算算，思路差不多就回忆起来了。然后我就这么写写算算了两天，尼玛，忘得渣都不剩了啊！！！我只记得这个地方我用了一个脑洞很大的技巧，大地我啥都不记得了。。。然后，我就去问博后，博后也忘得渣都不剩了啊！！！然后我就和博后又一起回忆了两天，我们互相回忆起了对方证明的一小部分，由此入手，博后证明的那部分就完全回忆起来了，我的那个脑洞很大的技巧也想起来了，但是我还是没想起来我是怎么用的这个技巧！！！（其实回忆起具体技巧了，大不了再推一遍总是能证完的，但是已经推过一遍，就不想再重复那些dirty work再推一遍了。。。）老板下周就回来了，反正我是准备厚着脸皮去问老板：“那个，我当时给你做presentation时你记的notes还能找到么，能让我看看么。。。” 回到题主的问题，我就是想说数学证明本来就容易忘，习惯就好了。。。当然了，有一种容易忘是因为你本来就没弄懂这个证明。还有一种，我觉着是因为那个证明已经内化成你自己的东西了，你看到之后，已经不会去想：要怎么证它，要用哪些证明技巧，因为你已经知道它为什么是对的了。就像张三丰给张无忌传授武功：张三丰：“无忌，我这套太极剑法，你记住了多少？” “一大半。” “不错！” …… “现在还记得多少？” “已经忘记一大半了。” “难为你了。” …… “还记住多少？” “已经全忘了。” ”好了，上吧！“ 嗯嗯，反正我是这么安慰我自己的，读phd嘛，最重要的就是开森啦！回复
2019-6-1

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数学的证明，定理，都不是记住的，而是嵌入到自己的知识体系中的。基本的消化的方法都跟牛吃草一样，要反复咀嚼。一个定理的证明刚开始学的时候很抽象，看完就忘了，这很正常。说明你的知识体系还没有成型。等你又算了很多例子，想了很多问题，再回过头去看原来的证明，也许就可以理解多一点了。如此重复，每一次你都会对同一个证明有更新更深刻的理解。比如证明的难点在哪里，之前的人做到什么程度，证明最闪光的点在哪里，就都会慢慢清晰起来。形成自己的知识体系很重要。每一个定理，证明，例子都要能有脉络的联系起来。他们之间的关系，发展的历史，都在心里有一个清楚的结构。这样要记住证明就很容易了。回复

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想要学好数学，必须学好英语吗？

 2019-6-1   匿名的用户  5646  5

2019-6-1

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这个问题这是令人头秃，本人就是数学系的，虽然只是个大一的萌新，但是可以很负责任的告诉你，如果想深造数学的话，学好英语是必不可少的，就我们学长学姐还有老师说的，以后会加课用全英文授课，头秃嘛，而且老师说，之前用中文授课的时候，都是挂科率极高的，用英语就更不用说了，而且有一些数学的专有名词英文都是要记下来的，学好英语不一定能学好数学，题主这个问题本身就有点问题，就中学数学来讲，学好数学和学好英语好像确实没有什么必要的联系，但是大学以后的学习，想要学好数学，想要在数学方面有更深的造诣的，最好还是好好的学好英语，毕竟就题下一位答主说的一样，这个世界上有很多数学一类的文献资料都是英文的。（感觉自己说的好像没什么用还有话不要说的那么绝对，太绝对的命题，十有八九是可以推翻的回复
2019-6-1

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不一定吧！这两个没有什么必然联系吧回复
2019-6-1

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说实在的，要想在数学有较深的造诣，最好还是学好英语，这样你可以从多方面获取数学知识。毕竟，只会本国语言，你接触到的是国内水平，但却不知道世界达到的水平，你的眼界就没那么大了。虽说有翻译之作，但是一部好的翻译作品是需要有自己的理解，才能成功翻译的。也就是说你看的翻译作品是别人理解上的，至于原作要表达的意思是否有偏差，那自然不得而知了。毕竟，一千个人读哈姆雷特会有一千种想法。但如果你仅仅为了应试，那自然没必要啦。我国出版的各类习题集还少吗？够你练了。回复
2019-6-1

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谢邀，首先我高考英语120数学58....大学开英文版托马斯微积分也都是“看得懂题又看不懂题”，导致微积分（被人吐槽最简单的大学数学）补考2次才过。说多了，每次别人说起数学和英语并联的话题我都要提起的历史。回归主题，作为非专业或没有那么强烈数学兴趣的人，不用看高深英语数学著作的人，就“学好数学”这方面，英语好不好也没啥用途，最多帮你记一记符号单位；如果非要看高深英语著作，那你还是专门读读数学领域的英语，明确所谓的“学好英语”是学好哪一块的英语。以上为本人观点，希望有所帮助回复
2019-6-1

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这个问题挺有意思。先从数据上分析一下：从我们学校高一级的一次期中考试成绩中随机抽取150位同学的成绩，画出数学成绩和英语成绩的散点图，发现两者竟然是正相关的。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-d5395e5c5f93a992522181c9a9e356aa.jpg 两门关系不大的学科，成绩却正相关，做过学生的都清楚原因。再求出其他科目成绩与数学成绩的相关系数，得到： https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-228d825d06a3b8202a093d43b03d49d6.jpg 果不其然，与数学关系大的还是物理、化学两门理科，而包括英语在内的其他文科与数学关系都比较小。结论：学好英语，对于学好数学来说，既不是充分条件，也不是必要条件。从生活经验上分析，亦是如此。但如其他答主所述，想深入地研读国外的数学文献，肯定要学好英语。以上。回复

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高中数学成绩很差，该如何提高？

 2019-6-1   匿名的用户  4645  5

本人高一，理科生，语文英语成绩偏上理科成绩中等，唯独数学年级垫底。150分的卷子平时只能拿四五十分，一 ...

2019-6-1

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谢邀. 准高三狗了. 我想问题主几个问题:考试错的题都可以弄明白吗?平时做题有没有遗漏的问题?有没有对数学产生厌烦情绪? 我平时的数学成绩一直是年纪前几名,如果说我平时都做些什么,我可能有事没事都去做数学了,不管上什么课----- 这样的成绩也不管是用做题量支撑起来的,当然需要一些自己随机应变的能力,平时做题不过只是加强你对各种题型的熟悉程度吧对于高一的数学,我想说是真心的不难.如果不是您学校的题目过于变态的话我相信每个人都至少有130分可拿的,既然拿不到就说明在很多地方做的还不都好.我一直都很爱强调的就是一定要弄明白每一个不会做的题,然后自己再做一遍,不要得过且过.我敢说如果这样下去没有能下100分的. 综上:弄懂所有遇到的不会做的题,有兴趣就去做些其他的. 希望题主能早日将数学成绩提高. -人只要肯做,就没有什么不可能- 回复
2019-6-1

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1.问问题是不会提高你的数学成绩的，只是单纯的解决问题，到下一次不同类型的问题同样知识点时还是不会做。 2.听课听的懂吗？很努力的听?有没有做笔记？刚高考完，我觉得数学应该是三大科中最难的，因为除了时间上要把控外，还需要一定的策略！！但这个策略建立在一张试卷85%的题目都会的情况下（没有时间限制，单独完成），合理地分配2个小时。（后面会讲）这些都是我的干货，因为在学校，一般人是极不情愿分享学习经验的，特别是成绩好的，因为每个人都是有私心的，当别人讲解给你题目时，可能会极少透露出关于这题的普适性解法，只是单纯地告诉你如何解决。他们可能说最多的是（我也不知道什么学习方法啊！我就这样学的啊！每个人都有自己的学习方法，都需要自己摸索，找到自己的方法。）其实我真的很讨厌前面这句话，因为当我问学霸学习方法时，每次都是这样，真心愿意分享的极少。问老师，老师也不清楚，最多是告诉你努力学习，但是为什么同样坐在同个教室，那些很努力学习的人还是学不好呢？难道他们是假努力吗？其实不是，他们只是很平凡，他们是普通学生，但他们也有颗追逐梦想大学的心，他们很努力的学习，可是终究停滞在一个阶段，他们如果没有极好的天资，那原因就是出现在信息的不对称性，也就是缺少真正有价值的学习方法。这也是为什么重点学校的重点率高，重点学校一节课讲懂的东西，普通学校需要好几节课，之后一拖再拖，根本无法扩展其它的知识点。 1.学习数学需要一颗热爱数学的心，不是单纯的搞懂它，每次的考试成绩都单纯地看待它，应该把焦点转移到出现错误的题目上和即使做对但可能老师还会扩展的题目上，把学习看成一件平凡事，不为数学成绩焦灼，相信自己有一天也可以挤进数学的前列，认为高中生就应该把学习看成是自己的本份，合理安排时间，不要熬夜，有时候也休息会，开开心心的度过高中生活。 2.这可能是我最有价值的板块了，我强烈建议建立一个题库，也可以称为错题本，其实理科的题目都可以做一个错题本，但是错题本到底怎么做呢？这是最为关键的！听过无数的人推荐做错题本，但是如何做他们都没说清楚，或者根本没说。我希望自己的经验可以让你受益，不用让你为学习方法走歪路，因为我也领略过为即使努力学习成绩也上不去而难受的阶段，那真的非常痛苦。做错题本首先需要一个漂亮的本子厚厚的，不要用那种薄薄的草稿本做错题本（就是学校发的那些草稿本）！因为之后你肯定不会翻的，尽量是全白的。然后你需要按板块来做错题！每个板块都留多点空。比如说将1.三角函数小题 2.三角函数大题3.向量小题4解析几何小题5解析几何大题6.立体几何小题7立体几何大题8.导数小题9.导数大题这样分出来比如 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-19309d55888d35f463b3b5b5e5401bbe.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-9be67db94aa8224e19279c1a4b802a3d.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-a6fa428a85236f50fbfc52e972c6536f.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-30fe45049eaef50a2b5b2114178efc22.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-e04e551f16683e4834fb12aa28a0b818.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-07c061421d9f8234f487726471a4e57d.jpg 就像这样子，在题目的关键信息处（比如关键条件（也就是你做题遗漏的）的时候用其他颜色的笔划出来，）便于你下一次复习的时候翻看，解析不要抄答案，自己来做，这个过程极其重要，就是一次订正的过程，用不同的笔将所需要的关键点写在大的框架的旁边，公式啊转化的方法啊。比如说分解因式的过程，这些在答案上是没有的，一般的答案非常劣质！！！绝对不要抄答案上去，自己看完懂了，在做到错题本上，详细的写出每一步，一般劣质答案都会把过程略掉很多，一些关键点都省去，所需要计算的过程也没有，非常劣质，跳跃性很大。上课一定要认真听，比如将好的题目记录下来，简化计算的过程，计算的小技巧啊什么的！（简化计算极其重要，因为我们是普通人，如果你想考个好分数，将简化计算剩下来的时间用在其他方面不是更好吗？）要孰能生巧，还有公式定义！！公式是解题的基础，你要非常非常的熟练，这是个基本功，如果你这都不会，更别谈学好数学了，比如三角函数！定义也非常重要，一些小题就是定义衍生出来的！还有每道题目的方法也要归纳！比如说三角函数吧 1.辅助角公式 2.极化恒等式（向量里用的多） 3.诱导公式 4.二倍角公式 5.正余弦定理 6.有时候也会涉及到函数要设个未知量（一般是起枢纽的那个未知的东西，联系比较大的）这类题型比较少 7.掺和了基本不等式要求取值范围的题目 8.简化计算的办法，（不会走上繁杂计算的歧路） 9.各种方法融汇贯通，但最基础的是公式看起来很难吧，涉及了这么多，这15分不好拿需要很多的训练和归纳所以时间很赶，除了做作业，还要做错题，强烈建议弄个记录作业过程的，几月几号星期几干了什么，做完的打个√，这样错题来不及做，弄到周末补起来！不要拖，时间是很紧迫的，也可以复习复习错题.这个方法真的很不错，因为高三作业多的时候，会来不及做，如果不记录那个作业，可能会忘了做！把学习看成平常心，虽然很累，但是要提升也是没办法的。再讲个向量小题的方法吧，这个需要归纳比如说1.向量法 2.坐标法 3乘法公式 4.设基底 5.极化恒等式等等一个4分的小题都这么艰难如果想学好的话 3分之一的时间都要花在数学上还有很多真的这些都要很熟练，到后期熟练的时候简直小菜一碟还有做解析的时候，示意图也要画！ 3.还有个更重要的事一定要说，到高二下学期的时候一轮复习开始了，一定要好好听课，基本是重新来一遍，还会发一本书（每个学校都会订按板块来的），这个一定要好好做，因为这些是基础，不要单纯的订正就完事了，要抄到错题本上，详细地做好每个解析。这基本是第二次生命，要把握好，不要拖！！很多的 4.你现在是高一吧数学书上的题目也要做！因为高考有时候会涉及到书上的。 5.加油还有什么的可以私信我回复
2019-6-1

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第一次回答，我现在是准高三，也就是19届考生，高一的时候我数学也经常不及格，明明很认真的听课，但成绩就是上不去，之后分文理科换了数学老师，现在可以120+， 1要对数学有兴趣，这样你才喜欢听她的课，我就很喜欢我们的数学老师，她是一个很可爱的人，和我关系也很好，上她的课我都会很开心，很积极的配合 2做一个笔记+错题本，所有不会的或者做错了的题都要往上记，记完整的过程，如果有哪个步骤不会一定要去及时问老师，老师一定会很开心的回答你，一定要把每道题都弄懂，不求做题多，都要懂，老师讲的时候明白了，晚上还要看一遍错题本，把不懂的地方标记出来明天问老师，老师解答后，你要再看一遍整个解题思路，等到晚上再看一遍，看了四五遍怎么也会有印象的附我的笔记+错题本 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-3486fd296c78d6b1259e5891533bb8c9.jpg 这一年用了三个本，里面记得例题过程都写的很详细 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-864602b6892c15fe23205a537258cb95.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-9305274c87bbfee21a5ba4bcf94ee5b7.jpg 做题时不会的可以找你的错题本，如果本上没有就等着明天老师讲，讲完了再整理到错题本上，积少成多，做的多了考试就会了这是我的经验希望能帮到你回复
2019-6-1

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谢邀！推荐你关注我的公众号和我的几篇关于数学思维的和高考复习的文章。《如何行之有效地复习高考数学》、《如何成为立体几何的学霸》、《如何成为解析几何学霸》、《如何成为排列组合学霸：适合高考数学及GMAT考生》回复
2019-6-1

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我姐姐第一次高考的时候，数学较差，具体分数不知，三位数以下，理科生，拉分很厉害。运气不错，平时400多分的成绩，高考500多，上了重本线。复读，最后数学130+，估分140+，最后时间改错一道正确答案。我晚她一年高考，问她经验，非常详细的问，你数学平时怎么预习啊，一套卷子先做套卷还是分板块做，诸如此类。她说，她就一套题一套题做啊，准备个错题本，考试之前看一看。也没什么了不起的嘛。高考之后，我突然发现，那些叫我如何去分配试题的方法一点都不重要。从前的我太执着于这些表象，反而忽略了最重要的东西。就一套题一套题的做啊。不会的慢慢弄懂，模糊的慢慢清晰。就像一位朋友曾给我留言，如果碰壁，就用力把它碰穿。加油。回复

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高中数学高一基本没学还可以补救吗？

 2019-6-1   匿名的用户  4443  5

2019-6-1

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所以为什么高一不学呢？劝一句，趁着平时有空和假期，好好从头到尾翻一下老师发的卷子和书本。有条件的话，尽量勾搭一个好脾气会讲题的学霸。实在弄不明白老师讲的就问他。希望能有一个好成绩回复
2019-6-1

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高数我也用一星期不回来了，要相信自己啊啊啊! 回复
2019-6-1

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高三党的凝视… 我高一上学期发誓不会被数学拉分，当时学得特别狠…是全班数学最好的几个吧…女生里数学好的就一两个 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-0be40f59e1264a14dbedea365c8f94a7.jpg 再然后就玩手机玩上瘾了…从高一下学期到高二下学期都没怎么学认真学的时间也就差不多一个月然后我高二下学期的期中考试考了68… 我是那种要强的人…全班倒数的数学多难看啊… https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-d9410168ecfb3e52ffbd969d86374bcd.jpg 然后我就去补习… 我们学校是每周高一高二只放一天，高三只放半天的就在这样的努力下… 我上了差不多十几二十节课现在高三的话，最高考过130，最低也不低于80… 一句话说完，你才高一，来得及回复
2019-6-1

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分人，资质好的，一个月能带回来，资质不好的，神仙难救。回复
2019-6-1

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谢邀！关于如何学好高中理科，推荐我的文章：李泽宇数学老师：为什么我的数学成绩无法提高1同时，欢迎关注我的专栏：教高中数学的投行交易员回复

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关于数学竞赛不等式，说说你所知道的？

 2019-6-1   匿名的用户  5713  5

我是指有没有一些你们所知道的一些学习竞赛不等式的一些方法和技巧

2019-6-1

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琴生不等式权方和不等式赫尔德不等式闵可夫斯基不等式伯努利不等式舒尔不等式切比雪夫不等式马尔可夫不等式契比雪夫不等式卡尔松不等式外森比克不等式克拉克森不等式 yu不等式施瓦尔兹不等式卡尔松不等式 erdos不等式 Milosevic不等式等周不等式芬斯拉不等式嵌入不等式杨氏不等式车贝契夫不等式马尔可夫不等式典范类不等式佩多不等式四边形不等式肖刚不等式 Arakelov不等式卡拉玛特不等式外森比克不等式宫冈-丘不等式 Gronwall不等式（以上由猥琐的我引自百度百科）回复
2019-6-1

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珠峰不等式还有特别想说的我们老师的石长伟不等式…… 他不玩社区吧( `)* https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-b7893c6bf08d320519d1dc2abab0661a.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-543e0b7e9c5c57d73c1ed88f196ba13e.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-5ba1966ad2d97fbc76712b1270cac58f.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-5ba1966ad2d97fbc76712b1270cac58f.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-22923c2e40e611ee653fc96b1bf24a8c.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-f2a96a07130a9a4a044ef38bbbc3ecc1.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-2861542afc926c36b4769426fab3c6fd.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-7d91276730d7945f926b26dea123f344.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-22c02399364876631b3d61d4c47497d6.jpg ……其实已经超越了高考的范畴了你可以关注他的微信公众号[石长伟数学] 里面有他原创的贴近高考的题和解法祝题主的成绩越来越好( `)* 回复
2019-6-1

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娃的初学，总结一下 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-af4e89063fae67e1ca2c233a1be2e4fc.jpg 回复
2019-6-1

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买本有关竞赛的不等式书不就行了至于技巧贴几道不等式试题吧，都是不等式高手给出的证明。齐次化 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-4e45e618b306457b0973f1ee9cf710ac.jpg 均值不等式的应用 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-23514a433cbefe74efd3adfec41b86ec.jpg 权方和不等式 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-249a5484d700e3fcca1be6dce1a6407f.jpg 根据指数运用基本不等式放缩 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-ef4038b0651098ed15362645a4baa566.jpg 反证法 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-dbdc4c31da732b73de95deb35ff7b441.jpg 回复
2019-6-1

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不等式学得并不算好…来强答一发。二试出的不等式涉及到的知识点不会很多。一般情况下熟练掌握均值不等式，柯西不等式，切比雪夫不等式，排序不等式（注意：会用和熟练掌握是两码事！），心里有调整、磨光变换的意识（但如果卡住尽量不要硬算硬调整，极易陷入死胡同消耗大量时间），有齐次化、标准化（注：标准化就是所谓“不妨设x+y+z=某个常数”，要求分式上下每项齐次）的意识，会一点求导的小伎俩（不强求），略懂一点琴生、赫尔德（权方和）、伯努利或是幂平均之类，就绰绰有余了。均值不等式…略过了好吧。一般都是根据取等条件拆项，没什么好说的。此外，一定要熟练掌握柯西求反技术（可以理解为通过拆项手段改变不等式方向）。排序不等式嘛…没什么好强调的。一般不是主要放缩手段（极度容易放过头），但常常负责一些善后收尾工作。如果完全不会那基本上所有的不等式处理起来都会有困难。而柯西不等式可以说是二试不等式放缩的核心。如何利用柯西不等式通分，如何利用一定的代数变形改变柯西不等式使用后不等号的方向（主要手段：把原来直接用柯西不等式方向反掉的每项拆成两项差，对负号后的内容进行柯西不等式。或者把原来会放过头的每项进行一些代数变形然后利用柯西不等式通分，使得分母变成定值），都是必须会熟练运用的。近来比较流行三元对称不等式。如果对于柯西不等式的功底不自信，去科普一下舒尔不等式和米尔黑德定理。三元对称不等式总可以通过暴力通分，再利用以上两项知识一点点消项解决（当然也有题目会设置些针对此方法的已知条件，典型条件为x、y、z的n次方和为常数）。仅在时间宽裕的情况下考虑使用，否则可能得不偿失。大致觉得自己已经熟练掌握以上内容，可以尝试一个问题。 x、y、z均为正实数。x^5+y^5+z^5=3。求证x^4/y^3+y^4/z^3+z^4/x^3≥3。能够在短时间解决掉，我个人看来二试中档难度的不等式已经很难对你造成阻碍了。二试压轴/CMO中档的不等式…我个人水平有限不敢妄答。感觉上涉及到的高级手段也就主要多了三角换元和n维向量换元，再就是闵科夫斯基不等式。对于一些特殊的题目类型有特殊的处理手段（eg.带绝对值的不等式，或者结合数列知识的不等式）。对于赫尔德、琴生、幂平均、伯努利之类的要求也更高。我自己也玩不转。将来如果能杀进上海省队再来补吧hhh【强立死亡＆挖坑不填flag】以下内容更新于2018/4/1：补一些经验之谈。通常调整、磨光变换在四元不等式中有奇效，在取等条件奇奇怪怪的三元不等式（譬如限定某两项相等第三项是0之类）中也有奇效。齐次化可以有效利用形如x+y+z=某个常数的条件。如果能够把一个轮换式配成齐次，可以说这样的条件就已经完全利用上了，不必再对此进行别的代换也不需要配常数改变次数了。能够一定程度上减少思维难度。而标准化是齐次化的逆向操作。一般都伴随着局部法，着眼于把根号下/分式线下的对称式开出来以简化式子。优点是可以把式子变得很好看，缺点是次数又变得不齐了。可以一定程度上减少计算难度。二者各有优劣，诸君请自行取舍。不等式放缩时常伴随着诸如“放过头”的问题。一般情况下的常见进阶不等式（我勉强玩得转的不等式）放缩尺度如下：求二阶导琴生#爆算流#＝推恒等（如爆展式子、代数代换、pqr法#爆算流#、SOS法#爆算流#、柯西求反等）＜舒尔配次#爆算流#（一个大坑，需要背一些结论且通常需要大量计算，但放缩精度极高）＜切比雪夫＜幂平均＜柯西＜赫尔德＜排序不等式＜直接把一项扔掉如果放过头了，往前退一步或可寻得生机。最后一个看起来很垃圾，但在已知条件齐次对称但待证结论齐次齐系数不对称的情况下有奇效。最后，在知识掌握得差不多的情况下，提升证不等式水平主要靠提升推恒等式水平。越是难题，这一能力就越重要，因为它的精度最高。用我教练的话来说，“困难的不等式有两种解法，一种是基本不等式，一种是基本功不等式。” 推荐一本参考书。《不等式的秘密》，【越南】范建熊。这是一本教你用有限的知识解决尽可能多的不等式的书。柯西求反、切比雪夫联合技术这两章强烈好评。高继扬当年也做过哦w 进了省队再来更新哦√ 未完待续。回复

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女生数学超级好是什么体验？

 2019-6-1   匿名的用户  7306  5

就是那种数学甩学霸男生几条街的女生

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有什么与数学名词有关的趣事?

 2019-6-1   匿名的用户  4959  5

可以是古怪中文翻译，也可以是一词多义造成的误会或者小段子，与数学有关，有趣即可。

2019-6-1

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https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-b90d648a7390b826b743bd53e914e5e6.jpg 回复
2019-6-1

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翻开GSM那本Tropical Geometry 看一下目录还以为这是在讲地理回复
2019-6-1

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家里某亲戚看到课本封面拓扑学三个大字以后问我为什么数学系要学占卜。回复
2019-6-1

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小时候，有人问我“理想”是什么？我会告诉他，理想是灯，指引前进的路。现在如果再有人问我这个问题，我会沉默一会儿，眺望远处的江流，从容不迫的告诉他，“设为的子环，若T中任意元素t，与R中任意元素a，有at∈T，且ta∈T，则称为环的理想”。回复
2019-6-1

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谢邀。在研究群作用动力系统时，有一类群的性质非常重要，就是可以被有限群逼近的群。为了给具有这种性质的群命名，Benjy Weiss从希伯来语中找来了一个词：sofic。这个词在希伯来语里是有限的意思。所以今天，sofic group指的是可以被有限逼近的无限群。但是问题来了，在以色列大家是用希伯来语讲课的，所以这个sofic group 怎么翻译成希伯来语就成了问题，因为它本来就是希伯来语，而且意思是有限群，而真正的sofic group不是有限群。Benjy为了这个问题也很苦恼，后来又造了一个新的词把sofic group翻译成希伯来语。回复

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高中数学学了总忘，该怎么办?

 2019-6-1   匿名的用户  4621  5

本人是一名高一学生，数学极差，学过便忘。复习都解决不了我的遗忘,上课也认真听了作业认真完成,该怎么办？ ...

2019-6-1

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本人去年刚刚高考完，高中数学一直不拔尖，现在学了一学期的高数突然领悟到，高中的时候学数学是由数学老师牵着带着我去学，我自己没有真正掌握用自己的思维去理解概念以及思考解题过程，所以总是学不好回复
2019-6-1

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谢邀，一个数学专业本科生的亲生经历。首先，教材很重要，复习的时候最好先系统连贯的把书看一遍，教材后面的小结一定要看，虽然高中老师不是按教材讲的，但是教材上一些知识点过渡的话，有可能让自己茅塞顿开。其次，做题的时候把题目归类(自我感觉很有用)。最后，老生常谈，经常看总结的题型，不管多熟的题目，第一遍不会的题目一般第二遍还是不会，数学学习是不可以间断的。几个不成熟的小建议…… 回复
2019-6-1

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先贴上我另一个回答的链接(*σ`)σ，评论区也很精彩，可以去看看高二学生想逆袭该怎么做？—————————— 都起来！让本学渣来讲讲如何一步步从厌恶数学到爱上数学！曾经，我也是一个数学烂成渣的人(当然目前也好不到哪去)，直到有一天我发现了一条神奇的路～～套路…… 我的数学老师总有两句话挂在嘴边: “这都是套路！” “出题人是善良的！” 不明白啥意思？等我一条一条说～高中阶段，还只是应试教育，更多的是强调解题技巧，并不像高等数学那样考验对知识的理解。不明白为啥？先知道咋用就行～至于为啥这样，有空再慢慢琢磨。你现在是高一，没做过高考的套卷也许还没有深刻体会，但是从中考也能略知一二。考试时候每道题考什么都是固定的，每种题型的解法也都大同小异。我高中的圆锥曲线简直就是一个悲剧，但是使用了慈爱的数学老师传授的套路，分能骗个一大半……所以还是那句话，不明白为什么就先不管他为什么，先知道怎么做，把分骗到手是当务之急。都是套路～啥？你问出题人会不会不按套路出牌？不不不，出题人都是善良的～(最后一道大题除外……)所以，看到别扭的题别慌，一慌脑子就容易乱。先闭上眼睛，长叹一口气，心中默念三遍“出题人都是善良的”。其实很多偏题怪题都是从常规类型题变过来的，换一种说法就不会了是很多大把刷题把思维刷僵硬了的学生(包括我)的通病……所以我一直主张，题要刷，但是不能死守套路不放(前提是时间够多，要是像我一样临近高考来不及了，能骗积分就别那么多事了)。题主还有大把时间，当务之急的两件事，一是先抓一些套路，把能拿的分拿了，然后就是刷题，通过题去理解知识点，把那些套路搞懂了为什么这样，数学就差不多学明白了。至于题主说学了总忘，我大概理解为记不住公式，不了解解题思路。首先你要知道，不管天才还是普通人，记公式只有两条路: 第一，理解它，把它转化为自己的语言。第二，把它当鬼画符死记下来。至于题主的情况，我个人认为你是看着公式就头疼，记也记不住，也理解不透。这种情况不瞒你讲……我也有……当年三角函数那堆公式真是要了我亲命了……但是……没有什么是不能解决的…… 首先，你是急于提高成绩，ok，理解的事咱们日后再说，先讲套路。公式其实不难记，同一个知识点公式越多越好记。首先，先把那堆乱七八糟的公式分类。拿三角函数说，你把它们中运算相类似的放一起，比如加减法放一起，乘除放一起等等……接下来，就到了找规律的时间了～这时候你会惊奇的发现……它们基本上长得都差不多，而且规律都很类似，甚至不同的运算之间都存在一定的规律(其实这是废话，因为公式就是这么推出来的)。你只要记住其中典型的几个，一类比，就能把整个章节的公式都记住了～然后就是多做题增加熟练度了。当你常规题型都能做到八九不离十了，就该抛开套路，去理解更深层次的数学原理了。如果你希望数学能学好，就要去理解这些公式是怎么来的，最好能自己推一推，你会理解得更加深入，也就不怕什么偏题怪题了。(以上这个过程同样适用于物理，化学，生物。尤其是物理。) 其实，数学是很美的，希望你能在这个过程里发现它的美(▽`) 剩下的，我都在另一个回答及其评论区讲过了。那个回答是我刚刚高考完写的，现在对于高中知识记得是真不多了，所以在这就不多说了，有问题可以评论区留言，我看到了一定会回。最后祝各位高考成功* (`)* https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-59ca58286e8bd0cd3b422f90e96e6fc2.jpg 回复
2019-6-1

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泻药不熟练所以忘，多做题数学是本能，不是文科那种东西我高三复习的时候把基础记在纸上，一张a4，全了剩下的是方法，方法是本能，做题练出来的至于基础，全高中也就那一张a4 另外，高一老师废话多像我们学校安排的都是非重点内容不用太担心比如集合符号，逻辑运算符号，充分不充分都是高一学的吧找张纸记一下你会忘的地方注意是纸随意一点，不必系统，记的一定是要用的，别记废话想想我高三才一张a4，我字还超大做题的时候忘了就看纸，不必刻意要求自己不看纸做题忘了啥发现纸上没有就补上去千万不要追求整齐记的目的是一个索引像我的话我可能不记得基础公式但他怎么用怎么衍生用的条件我都记得而这些靠的是做题安好回复
2019-6-1

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说明是你还没有真正把这知识点掌握，如果完全掌握是不会存在这样的；有的人理解性高，通过看书看概念能够完全掌握，一般人稍差一些，要通过做题锻炼；所以对一般人来说要不断做题巩固掌握，然后真正提升就不会啦回复

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如何评价吴文俊说21世纪九章算术数学思想必将凌驾于几何原本？

 2019-6-1   匿名的用户  5366  4

百度学术18页计算机的方式方法与九章算术相吻合，程序化算法。这种数学思想与方法是否起源于中国？也 ...

2019-6-1

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其实古希腊还是有归纳法证明的，比如证明相似三角形定理在仅考虑整数比的情况下的这个证明： https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-a791da1b20386ecd026a52a66ceb4159.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-9b7cf52bf554fa942a4a601c5b241171.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-2ddeddf258cfb9276a2b5b4087e969d7.jpg 回复
2019-6-1

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九章算术必须要凌驾于几何原本之上，九章算术博大精深的中国传统文化，几何原本是外来的西方文化，我们必须去其糟粕，然后吸收。强烈建议中小学数学课本中去除几何原本中出现的内容，方程函数也去掉xyz，改成甲乙丙。大学数学的内容也基本是是西方的产物，建议用九章算术替代，中国人买菜那用得到西方文化。回复
2019-6-1

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几何原本又不是孤立的，它是对已有学术成果的总结。几何原本牛，传承和发扬了几何原本的人更牛。从五条公理出发几乎推导出近代数学半壁江山，改一条再推导出非欧几何。中国人什么时候搞过这个？也许有人尝试过，但是谁瞧得起搞这个的人？思想这东西从来都是不缺的，缺的是理论和实现，更缺尊重思想的人。什么时候中国人搞出一个学派，领导新的科技革命之后，再说这话不迟。回复
2019-6-1

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这是自己在社区上的第一次长答，谨为抛砖引玉。吴文俊先生在1978年提出Wu's Method，用于初等几何定理的自动证明，从而开拓了一个全新领域。其中蕴含的机械化与归纳法（Induction）思想，被其认为是潜藏于中国古代数学之中，而区别于古希腊以《几何原本》为代表的演绎法（Deduction）思想。据此，先生以为中国古数学派的理念，与当代计算机科学的算法化和数学归纳法思想，有着比演绎法更为密切的联系，便是自然而然的结论。简单粗暴地说明，归纳法的思路是从特例出发，一般化为通用算法。而演绎法则是先行设定几条“显而易见”的公理，然后通过逻辑推演（诸如Modus Ponens，Modus Tollens等推演规则），推得一系列定理，再由这些定理和先前的公理出发，推出更多的定理。由此可见，归纳法比演绎法更清晰易懂，更容易掌握，更有规律可循，也是对于人类而言更为自然的认知方法。正因为如此，它并不是中国古代数学的专利。在古希腊数学中，也存在算法化的例子：著名的Eratosthenes筛法（Sieve of Eratosthenes，求得指定范围内的质数集合）和欧几里得算法（Euclidean Algorithm，求指定两正整数的最大公约数）。只不过由于古希腊人对数的认识比较初级，因此算法的正确性证明在今人看来，多为不必要的繁琐，且亦并未达到后世的严谨论证体系。与此相反，《几何原本》从根本上排除了归纳法，并且这一思想的影响几乎贯穿整个中世纪欧洲。直到1655年，法国数学家Pascal才在他的专著《Traité du triangle arithmétique》中系统使用了归纳法。近代数学的一大特点，便是数学归纳法的重新引入和广泛应用。不仅仅是证明。对于很多代数结构，其存在性的证明往往相对容易（譬如比较暴力的用Axoim of Choice或者Zorn's Lemma），但这种证明对于从零开始构建可能并无帮助。而这种构造方法，或者说是构造性证明，便是归纳法思想的用武之地。到了计算机科学大行其道后，数学归纳法的应用从数学研究中移植过来，变得无处不在。譬如程序设计中的递归（Recursion），其本质便是归纳法。举个简单的例子，用Haskell语言实现阶乘（Factorial）n!，程序如下（假定输入数字皆为自然数）： factorial :: Int -> Intfactorial 0 = 1factorial n = n * factorial (n - 1) 第一行为类型标记，此处不讨论。第二行为 0! = 1，即指定特例。第三行为 n! = n * (n-1)!，即为归纳步骤，给定输入数字n逐步缩小直至0。再举一例。用Coq来定义自然数集合，其程序定义如下： Inductive nat : Set := | 0 : nat | S : nat -> nat. 简单说明，“nat”为自然数类型的名称，定义了两类结构：0，即自然数“0”；S为一函数，表示给定自然数的下一个数。由此， 0，1，2，3，... ... 便可以写作 0，S(0)，S(S(0))，S(S(S(0)))，... ... 这样一个符号系统。如此定义自然数的方法，同样也是归纳法：0为指定特例，而S为归纳步骤。这种递归法的广泛应用，在函数式程序语言中更为明显，甚至还出现了基于归纳法的证明系统（Inductive Proof Assistant），例如Coq，Agda等，采用归纳法来验证程序的正确性，并由于上述的归纳证明与程序代码之间的相关性，可将证明抽出为可立即使用的程序代码，其正确性可以保证。而更加值得注意的是，这种归纳法的思想在计算机上的实现，比起演绎法更加高效，从而使得所谓的“人工智能”从这一视角成为可能——自动证明数学定理便是其中的一个应用。以上，便是我所理解的吴文俊先生此论的涵义。再说些题外话。归纳法虽然强大，但也无法一劳永逸的解决所有问题。譬如对于需要反证法来完成的命题，归纳法往往难以济事。所以，演绎法也不可能退出历史舞台。两者之间如何融合，或者从时下大热的统计学习中汲取精华，以便使得自动定理证明在演算能力与效率上有更大突破，庶几会是这一领域重新走向热门前所需要解决的根本性课题。回复

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为什么数学物理计算机化学生物等等科目考试不能取消客观题全部改成没有标准答案的主观题？

 2019-6-1   匿名的用户  5527  5

主观题答案评分标准比较模糊模棱两可不是更能体现发散思维体现全面推进素质教育，真正体现教育改革吗？

2019-6-1

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因为自然科学这一类很多事情是自然决定的而不是人决定的它不像主观题每个人都有不同的答案就像牛顿三定律在宏观宇宙中任何地方都成立一样这个是确定的我们只能去发现它证明它而不能修改或者自己造一个而客观题存在的意义就在于检验做题的人是否有能力对一些想法或者结论进行正误判断这个判断的过程没有人要求你可能每个人都不一样但是得出的结果一定是一样的你得搞清楚一点考试的目的是检验你的判断和证明能力而不是你的创新能力创新和发散思维是在工作和你自己的思考中使用的过于在乎考试而不在乎发散是不对的囿于纸张是走不远的而过于在乎发散却不注重基础的可以用考试来检验的那些能力称之为好高骛远回复
2019-6-1

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这里我先要说一句话，三个字：友善度！！！！好了，回答问题。这绝对是“发散思维”“素质教育”在社区被黑的最惨的一次。创造性的东西，就让科研工作承担，全是主观开题啊。没能创造的时候，老老实实地做题写作业去，学科特点决定的。回复
2019-6-1

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1、累死老师。 2、累死学生，猜老师的心思好难。 3、累死评分标准制定人。这评分标准怎么制定？严格了和现在差不多，宽松了没法判分。 4、这些科目的题即使没有标准答案，通常也有几个最优答案，偏出范围的通通算不对。相对来说最灵活的是计算机，解法多一些，但一般来说pk时间复杂度，最优的就只有一种。编程大赛由于赛程较长，问题复杂度高，可以做出更多种解法。最后pk运行速度，谁快谁分高。基本符合你说的教育改革。据说能够拿到奖的通常都是计算机专业的硕士博士或者相关算法方向的工程师。他们之前也都是应试教育的杠把子。回复
2019-6-1

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谢邀。本回答仅代表个人观点。题主列举的科目都是理科。理科一般包括自然科学、应用科学和数理逻辑。理科和文科有显著区别。一般认为，文科主要靠记忆，理科主要靠理解。固然理科也有需要记忆的成分，但是记忆的量较少，而且是建立在理解层面上的记忆。我认为理科和文科还有一个区别是理科是真正的基于事实的科学，而文科更具备发散性，可以做更多的假设。简单分析文科的特点，政治在此不谈。历史是最具备发散性的，历史上的诸多事件都是一系列的因素导致的，例如某个君主的决策、天气状况对于某一方有利等，这些因素都可以成为分析的点，因此可以假设，如果某个因素发生改变，结果会如何。固然已经发生的事情不能改变，这样的问题也没有标准答案，完全是看如何分析相关因素。地理虽然属于文科，但是更像理科。地理本身都是基于事实的，无论是自然地理还是人文地理，虽然人文地理更偏向文科，但是也远不如历史具备发散性。再看理科，理科要求基于事实，所学内容都是基于目前已知的事实。既然是基于事实的，不可能考没有标准答案的题。理科对不同知识点的考查有不同要求，从低到高依次是知道、理解、掌握、应用，知道是初步认识和记忆，理解是简单分析和计算，掌握和应用则要求有深入认识和系统认识。即使是有标准答案的题，理科的难度已经高于文科，尤其是要求掌握和应用的知识点。如果要出没有标准答案的题，一方面是难度太高，对于老师讲课和学生学习都会造成很大的困难，另一方面是很难出这样的题，理科都是基于事实的科学，没有标准答案的题问什么，要求学生给出什么样的回答？不能为了素质教育而素质教育，如果素质教育的结果是比应试教育带给学生更重的负担，却又没有更多的提升，那么这样的素质教育是没有意义的。回复
2019-6-1

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之前看到另一个社区回答，是关于法国高考（哲学）的作文的。那种考试，就是你说的“发散思维”和“体现素质教育”做到极致的样子。这样的考试有什么特点呢？没有固定的评分标准，因为每个回答的角度都不一样。这种情况下，怎么评分呢？看心情。于是就有这样的情况，同一篇文章拿给不同的教授去评分，分数可以千差万别。从满分到不及格都会出现。能评上什么分数全靠运气。寒窗苦读十余年，考上大学靠抽签。这还能叫公平吗？？回复

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如何评价2018年江苏省高考数学？

 2019-6-1   匿名的用户  6020  5

难度与前几年的江苏高考比较，与其他省份的卷子比较如何？

2019-6-1

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2018江苏数学总体来说是简单的。首先肯定一点——压轴部分份量还是充足的，14和20都能起到不错的区分效果，但可惜的是这两题都有很明显的命题惯性——我们知道今年命题组长是薛，他曾经也是2015和2017的命题组长，于是我们发现今年第14题和去年第14题有许多类似的地方——都是原本简单的问题加上了点奇怪副产品就变得棘手了。回忆一下去年的第14题，一句话概括就是“我知道这种题你要画图我就偏偏不让你把图画出来”，原本简单的连续函数被掺入不连续的点于是就没法画图了，但解决方法也很简单，一句话概括就是“我知道你不想我画图而我偏偏要画图”，去年那题我们通过有理性分析发现那些不连续的几个点根本就不可能是方程的解，于是我们“抓大头”，用连续函数代替考察完全没问题，图一画答案就有了；那么今年的第十四题呢，你仔细瞅瞅不是一样的命题思路么，一句话概括就是“我知道你想写出通项公式我就偏偏不让你顺利写出来”，等差数列当中被插入等比数列，于是这Sn就不方便写了；那解决方法其实和去年一样啊（具体过程见图，除去说明的篇幅其实只有寥寥几行的运算步骤），就是“我知道你不想我写出Sn而我偏偏要写出Sn”，我们思考一下为什么很难把Sn表示出来，难点就在于我们不清楚等差数列里面混了多少等比数列啊，强行表示Sn需要分段进行，因此我们还是“抓大头”，先不考虑里面混有的等比数列，等差数列带入不等式可以得到大致的n，我们知道等差数列里面混有的等比数列还是少数，因此这里得出的临界点和我们最终答案差距肯定不大，那么我们利用估出来的这个临界点就能先确定在取到答案的值的时候这个数列里面有几项是等比数列的项，轻松发现混在等差数列里面的等比数列有5项，然后通项不就可以写出来了嘛！这题和去年第14提看上去风马牛不相及，但你仔细想想，思路不是出奇地相似，都是要善于抓住主要部分，去年的情况是抓住主要部分作图就能得出答案，今年的情况是抓住主要部分估算就能得出所要的通项，某种意义上来说这两题再数学思想上是同源的。当然，对于今年第14题我们还能得到一个启示——要学会分析困难点，分步解决问题，这题不就是这么解决的么？看到题发现写不出Sn，就要追问自己一句为什么写不出来？原因是里面混有等比数列，而最关键的是我不知道混进去多少项！那下一个目标自然而然就是考察在n取到正确答案是时候数列里面有几个等比数列的项，解决这个问题不就简单多了嘛，只需要抓住主要部分的等差数列估一下就能得出答案，再往后就是一马平川了。 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-056ee3155980cba8d3282703330f4f73.jpg 当然我们还发现第20题题型和2015年很像——都是等差和等比结合了考察，同时思路也很像——都是适当处理后函数化，对于离散的整标函数采取连续函数求导的方式研究其性质；要说今年的题有什么不同，就是题质量有上升，2015年求四阶导数的答案吓人呐。不过即便压轴部分难度不低，总体难度还是比较小的，原因是18、19两题和往年比起来都略显容易，第18题考法比较陈旧，思路基本上没什么障碍，如果熟悉直线和椭圆联立的运算结构，那么计算起来困难也不大，这和江苏卷解析几何的特色考法（注重点、曲线之间的关系，需要分析如何将几何关系合理化为方程求解，有时需要对联立/代入进行甄别和选择，2013、2014、2016、2017的解几都是这种特点）不一致，这样直白的考察方式江苏近年来仅2015出现，而今年这题的运算量也不及2015年的解几，因此第18题相对而言难度不大；至于第19题，可以说是近年来最容易的第19题，无非就是解简单的超越方程，最后一问对于零点定理的运用也是比较基础的方式。当然，题虽然不难，却也是好题，作为倒数第二题，在时间不富裕的情况下如何处理两个方程，理清楚题干的逻辑关系，是值得考察的点。至于附加题，亮点就是偶数年居然考空间向量了......附加压轴也不是很新，这种寻找递推关系的思路也不新鲜了。既然题不难，有些今年高考的同学就要忐忑了——简单说明改的严啊，江苏这几年均分都要保持在差不多的水平啊......这点我觉得大家不用担心，首先，有了2013、2016的前车之鉴，大家的整体规范水平是在上升的，阅卷组再怎么控分也不会瞎改的，控分的手段其实很有限，只能是对一些逻辑细节和规范进行考察（比如说有没有下结论，引入未知量有没有“设”，这些其实你交代了，就没有道理扣你的分；还有一种可能性是类似于2016年18题的对充分性的补充说明，今年的题似乎这方面体现不明显），因此没必要恐慌。至于如果分值分配像2016年那样，那也不要沮丧，最起码大家面对的还是一样的评分标准，是公平的。不过总的来说2018是值得庆祝的一届，今年的数学，在我看来算是步入正轨，往年的题都有一点“重两端，轻中间”的意思，中档题被严重压缩，那种基本上除了简单就是难的试卷是不容易把学生区分出来的。要说高考的一个重要的任务不就是决定大家的归宿么，各人根据自己的学习状况前往合适的地方，按理来说高考应该尽力准确反映这种配对，而不能扭曲它，而今年这种层次相对分明的试卷算是正面典型。当然，迫于政策改革临近和负反馈调节效应，难度还是小了点。回复
2019-6-1

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本人是江苏省无锡市一名应届考生，怎么说呢，作为全市最好高中的学生，我对自己一直不缺乏信心，高考的时候感觉今年的难度不高，于是做大题的时候格外小心，注意规范，但最后仍然比估分差了10分左右。与其说数学，难道各位江苏考生忘了今年最大的变数是语文吗，从一模开始我的成绩就一直很稳定，稳定在南大那个样子，但最后高考出分，我与南大的差距，正好是语文和平时的差距。后来发现，不止我一个。今年的严格批卷不止针对数学，还有语文，这一点文科生最有体会，估分觉得点差不多都答到了。但是批卷的那群人素质参差不齐，或许一部分人遇到了垃圾批卷。黄钟毁弃，瓦釜雷鸣。但结果已经在那，无法改变。年级里江苏省四校联考第一名今年复读。实在看不懂今年高考。拼了整整三年，换来这么一个结果，虽有不甘，但我不会放弃，我们江苏考生是最棒的。回复
2019-6-1

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总体来说，不难。对某中下游高中理科实验班前十的我来说，可以说是比较平和的一张试卷了。虽然我考得很垃圾……但不能否认这张试卷绝没有网上吹嘘的江苏数学试卷的那种难度。填空题。 1-13找到思路基本可以很快搞定。14题稍有难度，我思考了一会儿就放弃了。但整套填空题一共就做了不到15分钟。 1-11大概不用说吧。 12题因为是圆所以注意观察图像，运用几何知识可以迅速解决。 13题用等面积法求出a与c的关系，再用柯西不等式瞬间可秒。至于没讲选修4-4……我们也没选4-4，但柯西不等式这种东西老师都会讲的吧？ 14题没做，就没什么可说的。解答题也比较平稳。15-17都很简单。18题解几只是计算的问题，个人认为没有任何技巧性的东西。 19题前两问极其简单，第三问稍微需要思考和计算。当然我没算完，不然成绩也不可能这么糟糕。 20题第二问起码可做小半——怎么着关系式也是可以列出来的。附加题，前三题基本可以说是贼容易了。本来答题卡发下来时我一看23题给了足足两列的空间，就觉得完了怕不是要算死在上面。结果出乎意料地顺利，连我觉得略麻烦的点在线上设λ求解都没有考。最后一题一如既往地是我的短板。只做了第一问。反正短时间内能做完的那类人，我估计我这种垃圾和他们也没什么竞争可言，也就没有深想。反正总体来说，江苏一直大吹的稳中求变确实体现得不错……至于其他的，那得等我拿到分数之后再决定态度了。回复
2019-6-1

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谢邀。作为一名已看到分数的2018届理科考生，我不得不说这试卷真是出乎意料的艹。我在重点中学读，平时的模卷难度完爆高考。这次高考数学的区分度不在难度而是死抠规范和你的正确率。正确率一年刷题刷下来也差不多了，那么带来的问题是规范。原因在于我不是不注重规范，但我的老师平时没有真正讲过规范，或者是他讲的规范不是完全和高考评分标准一致。死抠规范的突出表现是:突然死亡法。如图 https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-1d1511891cc9b9d9d19440d21042c657.jpg https://201905.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/zhihu/521637-652e1ea77cde5e3921449a0e3eaa5962.jpg 以及我们学校的老师批卷回来和我们说的一言难尽的评分。我是赞成数学要严格规范的。规范在数学中在很大程度上代表了你思维的严密性。很简单的例子: 问三角形中sinA=二分之一，求A的值。步骤:因为在三角形中sinA=二分之一， (或写A的范围是0到派) 所以A=…… (各种数学符号打不出来，偷懒见谅) 不写范围除了懒就是不知道范围，即使答案对了也可以认为你是蒙的。但不是死抠啊同志们！讲好的按点给分去了哪(益) 高考卷是起选拔作用的，考验的应是思维能力等等，规范适当即可。倒不如多点中档题中的难题，而不是大多数是送分题和送命题。做试卷的时候包括对完答案(看了过程)我都很自信自己起码170+。但最后差了近20分。原来我从没怀疑我能上南大，但结果就在那儿。我因为数学考差考出了高三一年的最低分结果还刚好是高考。有很多平时不咋地的同学都一鸣惊人。虽然高考已经过去了一个多月，但心里还是小失落。不管怎样，还是要祝我们好运。回复
2019-6-1

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总体来说题型与往常略有变化，送分题送到位。但是大题稍微比较新颖，难度中等偏上，没有一些模考难，但是有一种让大多数人不适应的感觉，所以感觉考得特别好的人不多。但是阅卷尺度真是…… 笔者就读苏南一老牌重点中学，学校每年也有三四个北清，复交正常年份10个左右，不是很强但在本县市还是第一和大市范围内前五的学校。今年考完后，班里估分基本在170左右，少数人160几或180左右。（我们班是理科重点班级，大家水平都很好）但是出分数以后，全班平均全卷157，达到170分的人很少，我记得大概四五个，没有180+的。笔者自己平时数学不错，200分从来不下170，估分175，最后157。试卷上错了一个填空，解几最后一步算错，最后一道数列最后一问卡住，其他答案对下来没有问题。最后这个结果让我难以接受，我只能去了同济，和交大提前批差了几分，卡在南大同济线边缘。高考年级排名大于一二三模加起来。本来我觉得我的水平复交差不多。班里哀鸿遍野。一个答案对下来错得很少，大概180左右的同学最后只有146去了南理工（如果他180就有北清），一个拿了清华降分的最后只有144去了中南，还有很多原本和我水平相近的同学在160上下。兄弟学校苏锡常镇一模四大市第二名竟然只有369分，刚够苏大和兰大。本来我们班的水平考几个复交一把南大不是问题，现在除了第一北大，还有一个早早录取的清华，只有一个交大，复旦科大没人，浙大一个，南大五六个，同济三四个。考试前我们报名南大和同济自招的同学被别人笑话，说我们的水平裸考绰绰有余，再说南大同济算不上特别好的学校，自招没意思。最后我和另两个报南大自招的同学被自招救命，还有几个数学被扣得太惨，有一个拿了东南降分的最后只能去了苏大，这时候原本自信没报自招，现在被害得没有好学校读的同学反而羡慕我们。我心里不是滋味，因为以我们班的水平原本能考南大同济这个分数人很多，想不到现在竟然会被班里同学羡慕。言归正传说说批卷。我们数学老师也很早告诉过我们，批卷主要是南师大的师范研究生，因为语数英阅卷点就在南师大，而且考虑到应届高三老师必须尽量回避批卷，而高一高二老师很多不愿放下手头的班级去辛苦地批卷，而且老师阅卷的补贴不高。所以参加阅卷的中学老师少，研究生多，而且研究生是按题目份数拿钱，这就造成了研究生批卷草菅人命的基本原因。我们班几个学科的老师提起他们去批卷时候看见的研究生作风时候都显得愤愤不平。笔者的数学老师是本地名师，执掌重点中学尖子班近20年，连续十年在教高三，他还是人大代表，在数学老师中威信颇高，连学校领导和数学教研员也让他三分。他自己因为连续多年教高三，所以这些年他去批卷并不多。但是他的印象是研究生批卷不负责但倒霉的主要是两类人。一是字丑让人难以辨认，或者没心情看，各科批卷都赋予批卷老师将字丑难辨的解答直接给低分甚至零分处理本题的权利，这点还能理解。另一种易倒霉的人是答题不规范，主要是跳步骤，逻辑不规范，表述不规范等等。所以教我们班的时候，他重点强调了各种题型的答题规范，我们班同学在这方面也做得不错。高考当天老师自曝他穿了红内裤，说要图个好运，然后鼓励我们说我们水平很高，注意按训练那样的规范答题就好，然后关照几个字略丑的同学。所以我们原本以为过程扣分只发生在那些差生身上，距离我们比较遥远，即使扣也不会损失太多。但我们错了，这次过程分扣得特别古怪。笔者书法十级，美观工整在年级里排名前十。我有轻微强迫症，从来没有跳步骤的习惯。最后过程分却损失惨重。考虑到前三道大题一般是过程分屠宰场，我为了书写规范牺牲了部分啃难题的时间磨在上面，所以最后几步没有做完。那个立几证明平行六面体我写了，三角我是一步一步算的套公式也没跳过，应用题解设列表求导下结论写答句一个不漏，附加的空间向量建系说明远点正方向单位长度，不能建左手系我也注意了，答句我也写了，附加最后一题第二问我是采用递推数列，通过递推求到最后结果，我答案对了，得到递推关系的那步我用中文写了五六行交待了得出这个递推的原因（我们老师说这种情况可以用中文说明，比如今年苏锡常镇一模附加压轴）。最后附加竟然只有29分，附加题前两道送分题我也做对了，不能理解这一切。我想了一下可能是标准答案要求数归先猜后证，但是另一个和我相同做法的同学最后得了39分，比较正常，但是他前卷不正常。让我真正质疑批卷公平性的，是有一些同学的分数竟然在过程分批卷中被送分了。答案对下来错得比我多多的人有的考了160几甚至更高，其中还有字丑的我都不屑看的。一个初中同学发挥不错压线交大来嘲笑我，听说我附加惨剧后他说他最后一题第一问都错了还有33分，他们班最极端的人写了个解字下面扒拉两三行还都是错的最后35分。根据抽屉原理，他们两个肯定这道题走了运。校长说，先批的和后批的尺度相差很大。他听圈子里的人说法是先批的一半人平均分过高，100+，但是江苏高考数学有稳定平均分的规矩，据他们领导说法已经上升到办人民满意的教育的政治高度。所以后批的一半同学就遭殃了。假设平衡的尺度是把全省平均分批到96但大家相对公平，如果一半的人被尺度多给5分，后一半的人就被尺度少给5分，这样就产生了10分的分差。但是个体会倒霉到极点。而且尖子生倒霉明显居多，因为批卷是压高捧低的，批卷人也有算盘，因为一评二评三评的存在，大家默契给出中庸的分数，不容易让一评二评分差太大以至于落入三评，特别专家组把关的三评可能对一些高分解答产生疑虑，所以老师为了避免麻烦不愿给出满分或者接近满分的分数，这就是对尖子生的不公平。事实证明，我们这样的学校这样的班级，在这种批卷摧残下，领先优势明显缩小。传说研究生批卷像打游戏，我们政治老师说她看见的情况真是这样。她去批高考政治小论文，边上研究生几秒钟两三百字一篇过掉凭感觉给个分数。她一天认认真真批两三百份眼睛酸，边上研究生轻轻松松一天批上千份。我们以前的数学老师也说他见过的最快的是一天三千份，五毛一道大题日赚1500。他们和老师不一样，按份数拿钱的情况下批得慢批得认真负责除非他傻。也正因如此，在理科出现各种标准答案以外的正确解法时，规定是可以申报阅卷组审核，但是你就不能批下一份，因为不知道这是谁的，只能停在原地等专家组的人来你的电脑前复核。所以这样的批卷错杀了很多考场上想出新奇巧妙解法的尖子生。如果说高数和竞赛知识不能用，那么很多变形的课内解法还是遭殃。我在平时作业中产生过一些巧妙解法，老师善意地提醒我不要用到考试中，可能会被错杀。他自己说当年他看到一个人做椭圆用了非常巧妙的解法想给满分，叫专家组来复核等了半个小时，但是他想不能埋没了这个孩子。像他这样认真负责又有经验的老师好几年才轮到一回批卷，在我们这样中高级骨干教师占大多数的学校，每年调去批卷的老师也只有小几个，大概每个学科一两个，甚至没有。省教育考试院看重的是研究生的学历，他们的速度，但他们的速度是建立在金钱奖励制度上的畸形速度。他们的研究生学历也并不起作用，教师这个职业绝对是经验胜过学历，名校师范生毕业五六年教不过不好意思提起自己学历的老教师的情况在基层教学一线比比皆是。那些研究生没有大量的批作业批模考经验，不了解中学里的实际教学，经验相当匮乏。我不知道有什么理由相信研究生。一个陕西的同学高考考完以后到江苏找我玩，他说陕西几年前意识到这个问题，逐步减少了研究生批卷，到今年几乎全是一线老师和县区市各级教研人员负责批卷。这就回到一个最根本的问题，高考批卷到底是公平重要还是效率重要?从高考前几天开始，在我的家乡社会各界，多个政府部门配合教育局和学校工作，警车开道接送，卫生局安监局蹲点学校食堂，持械特警守卫考点学校……可以说今天各方面的条件比刚刚恢复高考的年代有了很大改善，早已不是需要优先考虑效率的年代。但他们的努力没有聚焦到最关键的批卷上。场地不够不可能，南京几十所高校很多还是211，借个机房批卷不行吗？可是语数英只用南师大。借调老师不行吗?把给研究生的钱给他们做奖金补贴他们不行吗?高一高二的日常教学不会比事关我们高三学生一生的更紧要吧?如果怕高三老师心慈手软，计算机技术可以保证调来的老师不批到他本地的卷子，匹配的时候条形码中有几位地区代号。一切的一切都可以总结出，江苏的阅卷还是注重效率而不是公平。江苏高考数学难度全国闻名，零八方案的弊病现在也清清楚楚，但是把埋没人才的罪过扔给零八方案是不客观的，经过十年摸索，学校老师早已习惯了这种导向下的教学。理化不算分对男生可能不公平，但我们可以弥补双语上的劣势。对于试卷的难度我不想说太多，总之一半送分一半送命的评论没错，但出什么题题目难度是不是恰当都不是我们考生过多关心的，大家依然是公平竞争的。但是采用如此的阅卷标准，看似强调规范实则八股的做法加上研究生的草菅人命的批卷，这才造成了很多尖子生的埋没，所以高考改革者总举出一大堆例子证明零八方案埋没人才，却没有关注批卷是不是科学严谨公平，这有肉食者鄙的嫌疑。批卷才是江苏高考改革的首要改革目标。最后我想对江苏学弟学妹说几句。如果你们遭遇不公也没有用，但是还是要苦练本领掌握最好的能力。能力可以让你不至于被黑太惨，像我们班那两个起码还有个211，985。比考什么学校重要的是能力，他们可以偷走你们的梦想，但是偷不走我们的能力。学校只是你刚毕业时的敲门砖，社会竞争终究是能力的比拼。如果你是少数被送了分的幸运儿，请你正确认识自己的能力，珍惜幸运给你的机会，在大学努力学习提高能力，不要被周围人甩开。最后祝大家来年数学顺利，希望悲剧不再重演。回复