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本文来源：瑞达期货
作者：张夕阳
PCP平价关系是最早被提出的经典的期权定价模型之一。因其限制条件较少和公式简洁等因素，该模型在场内外期权市场得以广泛运用。而且，通过平价关系，使得对期权相关知识学习与培训将变得更加易懂。然而，在目前国内相关研究与期权培训中，该平价关系大多仅局限于用于套利分析，尚未充分挖掘其价值。本文将以欧式期权平价关系为例，探讨如何利用该等式以增强对期权的理解与运用。
Put-Call Parity（简称，PCP）平价关系最早由Stoll（1969）提出，Merton（1973）将该模型扩展至美式期权。Stoll通过对场外期权市场（OTC）研究发现，在套利机制顺畅前提下，看涨期权、看跌期权及现货价格三者复杂的关系可通过简单的等式表示出来，称之PCP平价关系（式）。PCP平价关系除了要求市场充分有效保证套利顺畅外，几乎无需其他假设条件。因此，模型实用性得以增强。而且，该模型所有变量均可由市场中观察或反推出来，规避了关于B-S期权定价模型对未知的市场波动进行估计的问题，有效地降低模型的风险。基于以上两点优势，PCP得以广泛运用。而且，以PCP来解释期权相关理论知识将变得更加容易理解。
一、PCP平价关系的推导
有趣的是，近40年学者基本上延续stoll的由资产组合案例来推导一般性等式的方法，本文尝试以一般性数学等式来推导。由数学恒等式可知，
Max{0, S – K} - Max{ K–S, 0} + K = S 将等式移项可得
Max{0, S – K} + K = S + Max {0, K–S} ①
期权，赋予买方未来有权利按照预先约定的执行价格在有效期内购买或出售某种标的资产的合约。按照期权定义，欧式期权在到期日（T），若标的资产价格（S）高于期权执行价（K），则看涨期权价值（C）就为标的物的价格与期权执行价之差，C=S-K。若标的资产价格（S）低于期权执行价（K）时，买方选择不执行，此时看涨期权没有价值，即C=0。可见，欧式看涨期权在到期日的价值为：C=Max{(S–K),0}。相应的，具有相同到期日，同一标的和同一执行价的欧式看跌期权(P)在到期日的价值为P= Max{0,(K–S)}。将欧式看涨期权在到期日的价值、看跌期权在到期日的价值代入恒等式①可得：
C + K = P + S ②
将等式②折现为当前的价值分别为c，Ke^[(-r)*(T-t)]和p，s，即为
c + Ke^[(-r)*(T-t)]= p + s （T-t 为期权到期剩余区间）③
以上等式③，即为看涨-看跌平价关系式。当资产存在收益（I）时，该平价关系为：
c + Ke^[(-r)*(T-t)]+I = p + s ④
因美式期权具有到期前提前行权的权利，莫顿（Merton）将平价关系扩展至美式期权，在美式期权下平价关系为：
s-k ≤ c–p ≤s - Ke^[(-r)*(T-t)] ⑤
实际上，以上仅就期权买方角度来演绎PCP平价关系式，以期权卖方来演绎，结果一样。
二、 PCP平价关系与期权价格的影响因素
对于期权初学者而言，理解期权价格的影响因素较易于混淆，但用PCP来推导就迎刃而解。如以上等式④可知，影响期权价格的因素由执行价K、无风险利率r、剩余期限T-t、资产收益I、标的s五项因素组成。此外，看涨c与看跌p之间亦相互影响，该影响因素主要由未知的不可观测波动率驱动的。
而且，用PCP更易于看出各因素与期权价格变动的方向关系。如等式④，当其他因素确定时，执行价K与看涨期权c之间为负相关，执行价越高则相应的看涨期权价值越低；反之，越高。而执行价K与等式右边的看跌期权p为正相关，即执行价越高则相应的看跌期权价格越高；反之，越低。此外，未知的波动率将引起等式双边看涨期权c和看跌期权p同方向变动。同理，亦易于推导其他因素与期权价格变动关系。
图表1：PCP平价关系与欧式期权价格的影响因素
平价关系因子
看涨期权
看跌期权
执行价K
负相关（-）
正相关（+）
无风险利率r
负相关（-）
正相关（+）
剩余期限T-t
负相关（-）
正相关（+）
资产收益I
正相关（+）
负相关（-）
标的s
正相关（+）
负相关（-）
未知的波动率
正相关（+）
正相关（+）
看涨期权c或看跌期权p最终结果由等式其他项综合决定。
三、PCP平价关系与期权风险指标关系
同样，用PCP推导各因素对期权价格影响程度也就变得简单。当其他条件不变，一项影响因素变动对期权造成影响程度，称之为期权价格敏感度，或风险指标关系，或为希腊字母（GREEKS）。如，风险指标Delta（△），为标的资产价格变动1单位，期权价格变变动多少。在数学上，对s求偏导，![]()
分别表示为△_c，△_p。
对等式③的s求偏导可得，c + Ke-r(T-t) = p + s ![]()
△_c=△_p + 1。同理，可推导出其他风险指标。此外，通过以上影响因素还可推导出风险指标的基本特征。
图表2：PCP平价关系与期权风险指标关系
风险指标
看涨期权
看跌期权
关系
基本特征
Delta
△_c
△_p
△_c=△_p + 1
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