径向基函数法求解Merton时变利率模型下的欧式看涨期权

摘要：研究了Merton时变利率模型下带有交易费的欧式期权定价问题，利用径向基函数法对其近似求解，借助于数值实验，探讨了无风险利率时变及波动率变化对期权价格的影响.实验结果表明，径向基函数法求解欧式看涨期权具有高精度、计算简单、易操作等优点.
关键词：欧式期权定价；交易费；时变利率；径向基函数法

0 引言
期权是一种重要的金融衍生工具，具有良好的规避风险的作用.1973年，Black、Scholes在五种假设的前提下建立了完整的期权定价模型[sup][1][/sup]，将人们引入了一个无风险中性世界，但这远远不能满足人们的需求.在实际交易中，投资者还需要考虑到红利、股息、交易费等的影响，因此，期权定价问题仍是金融数学领域的热点之一.
一方面，对于支付交易费的定价研究中Davis,Panas,Zariphopoulou等[sup][2][/sup]运用效用定价理论，讨论了连续时间有交易费时的欧式期权定价问题；Leland[sup][3][/sup]和Bensaid，Lesne，Pagès等[sup][4][/sup]考虑了离散情形下有交易费时的期权定价问题，其中Leland运用δ-hedging方法推导出满足类似于Black-Scholes方程的价格过程，其中的σ被调整为

另一方面，对于无风险利率不断变化的研究中，Merton[sup][5][/sup]在随机利率的假设下给出了零息票债券的定价公式；Kung和Lee[sup][6][/sup]给出了短期利率下的欧式期权的数学表达式；Cui和Mcleish[sup][7][/sup]利用变数技术给出了一种概率推导方法；Guo[sup][8][/sup]对Merton模型进行了扩展，反映了短期利率动态的亚扩散性质.

本文将采用径向基函数[sup][9-16][/sup]的方法求解时变利率模型下带有交易费的欧式期权定价问题，由实例可以看出，该方法具有计算量小、格式简单、格点配置灵活、精点较高等优势，逐渐在金融领域发展起来.
1 时变利率下带有交易费的欧式期权定价模型
定义利率r(t)是Merton模型下的短期利率，即
dr(t)=μ_rdt+σ_rdZ_r(t).
标的股票的价格S(t)满足下面的随机微分方程
dS(t)=μ_sS(t)dt+σ_sS(t)dZ_s(t).
这里μ_r，μ_s，σ_r，σ_s是常数，Z_r(t)和Z_s(t)是标准的维纳过程.
记P(r,t,T)是在到期T时支付1美元的零息票债券在t时的价格，由Kung和Lee得到无风险零息票债券，在时间t时支付1美元的价格公式为
这里τ=T-t.在本文的研究中，没有交易成本、保证金和税收以及红利支付.
设期权价格为V=V(S,r,t)，S为股票价格，K为敲定价格，根据无套利原理和Ito公式，得到Merton时变利率模型下的欧式看涨期权的定价公式[sup][17][/sup][sup][/sup]

               (1)
2 Merton时变利率模型下带有交易费的欧式看涨期权的数值求解
作变换                                     S=e^x，V(S,r,t)=U(x,r,t),                                              (2)
将(2)代入方程(1)中，得

      (3)
2.1 径向基函数格式
用N个径向基函数Φ_j近似未知函数U，即

                              (4)
其中，α_j是依赖于时间t的未知系数；N是分散的数据点的总个数.
取径向基函数
Φ_j(x,r)=[(x-x_j)²+(r-r_j)²+c²]²,
其中，参数c为形状参数，c值可以控制基函数的图形.
将(4)式代入(3)中，用N个x_i，r_i(i=1,2,3,…,N)的点代入，可得

(5)
由于径向基函数不依赖于时间，所以U对时间t的导数，U对x和r的一、二阶偏导数由下式给出：

                                 (6)

(7)

(8)

(9)

(10)
将(6)～(10)式代入方程(5)，并且用矩阵的形式表现出来，则为

      (11)
其中，α是由未知参数α_j组成的向量，L，L_x，L_xx，L_r，L_rr分别是

作为元素的N×N矩阵.
文献Powell[sup][18][/sup]证明了矩阵L是可逆的，方程(11)可改为

(12)
其中，M是N×N矩阵

         (13)
2.2 四级四阶龙格-库塔法格式
对于方程(12)，用四级四阶龙格-库塔法进行求解.
设U_n=Lα_n，其中U_n=[U(x₁,r₁,t_n),...,U(x_N,r_N,t_n)]^T，时间步长

则四阶龙格-库塔法求解公式为

   看涨期权的初始向量U₀由U₀=[U(x₁,r₁,T),…,U(x₁,r₁,T)]^T给出，初始向量为α₀=L^-1U₀,上述公式可以求出α_n，为了满足边界条件V(0,r,t)=Ke^-r(T-t)，需要在每一个t_n时刻，通过边界修正计算α_n，如下：

第一步：计算U_n=Lα_n；
第二步：对于i=1,2,…,N,修正第一个元素，即U_n(1)=Ke^-rn^Δt；
第三步：α_n=L^-1U_n.
3 数值实验及讨论
针对Merton模型下有交易费的欧式看涨期权，假设标的资产初始价格为
S=[20,30,40,50,60,70,80,90,100],K=100,r=0.05,σ_r=0.2,σ_s=0.3,T=0.5,t=0,μ_r=0.02,M=100.

图1 经典B-S模型解和Merton随机利率下的模型解

图2 无风险利率和波动率对Merton模型下的欧式看涨期权价格的影响

图1是经典的B-S模型与改进后无风险利率下的欧式期权的比较，从中可以看出利率对期权价格的影响.
图2为无风险利率时变下以及波动率变化对期权价格的影响，由此可知，随着无风险利率和波动率的增加，标的资产价格的波动幅度也就越大，那么期权的买权所有者能够获得的收益也就越大，所以期权的价值也就越高，因而它的价格相应地也就越大.
表1 数值解与精确解的比较

   表1是Merton时变利率模型下欧式看涨期权的精确解与径向基函数法数值解的比较，计算结果表明，本文的方法是十分有效的，能够较好地逼近精确解，其误差非常小，说明该方法具有较高的精度，并且计算简单，容易操作，可以作为欧式看涨期权一种较好的数值处理方法.

参考文献
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中图分类号：O241.8；F830.9
文章编号：1671-6132(2019)03-0018-04
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51675161);河南科技大学SRTP项目(2017159)
作者简介：郭磊(1993— )，山西运城人，在读硕士，主要从事金融数学、非线性数学物理问题研究．