什么是混叠?

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数据采集时，如果采样频率不满足采样定理，可能会导致采样后的信号存在混叠。那什么是混叠，混叠会造成什么样的误差？除了频率误差之外，还是否有其他误差？幅值正确吗？
本文主要内容包括：
1. 混叠定义；
2. 混叠实例；
3. 怎样最小化混叠；
4. 计算混叠后的频率；
5. 阶次混叠。

1. 混叠定义
当采样频率设置不合理时，即采样频率低于2倍的信号频率时，会导致原本的高频信号被采样成低频信号。如下图所示，红色信号是原始的高频信号，但是由于采样频率不满足采样定理的要求，导致实际采样点如图中蓝色实心点所示，将这些蓝色实际采样点连成曲线，可以明显地看出这是一个低频信号。在图示的时间长度内，原始红色信号有18个周期，但采样后的蓝色信号只有2个周期。也就是采样后的信号频率成分为原始信号频率成分的1/9，这就是所谓的混叠：高频混叠成低频了。

对连续信号进行等时间采样时，如果采样频率不满足采样定理，采样后的信号频率就会发生混叠，即高于奈奎斯特频率（采样频率的一半）的频率成分将被重构成低于奈奎斯特频率的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，也就是高频信号被混叠成了低频信号。

2. 混叠实例
倘若对一个正弦信号进行采样，如果采样频率等于信号频率，那么采样的时间间隔等于信号周期，因而，信号的每个周期只能采集到一个数据，如下面左图所示，将这样采样数据点连成线条，得到的线条将是一条直线，因而，对应的频率成分为0Hz。

如果采样频率为这个正弦信号的频率成分的2倍，因而，采样的时间间隔为信号周期的一半，因此，信号每个周期内的采样点数为2，也就是每个周期采集两个数据点，如上面右图所示。将这些采样点连成线条，得到的信号形状为三角波，虽然信号的频率成分没有失信，但是很难保证信号的幅值不失真。因为这两个采样点很难位于正弦信号的波峰与波谷处。也就是说，在很大程度上，采样后的信号的幅值是失真的。

通常情况下，若采样频率小于2倍的信号频率，即fs<2*fa，那么，采样后的信号将存在混叠。如下面左图所示，由于信号中存在超出奈奎斯特频率的信号存在，采样后的信号，将会使超过奈奎斯特频率成分之上的频率关于奈奎斯特频率镜像到奈奎斯特频率以下的可观测区域，如下面右图所示。

在这给出一个扫频的混叠实例。扫频信号为100-600Hz，采样频率为1000Hz，因而可观测到500Hz以内的信号成分。因此，对100-500Hz以内的信号进行采样，频率是没有问题的，但是对于超出500Hz以上的频率成分，从下面动态图中的频谱可以看出这部分信号最后混叠成了400-500Hz。

用于演示混叠现象的最经典例子之一是所谓的“车轮效应”。在影片里当马车越走越快时，马车车轮似乎越走越慢，然后甚至朝反方向运转。刚开始轮辐逆时针运转，然后逐渐变慢并开始顺时针运转。

与车轮效应相同的是转动的吊扇，小时候都见过家中的吊扇，当转速越来越快时，出现的现象是先顺时针旋转，然后静止，然后逆时针旋转。这是因为人眼在看物体时，人眼也有一定的采样速率。当人眼的采样速率跟不上越来越快的转速时，就会出现混叠现象。静止不动时的转速对应的频率就是人眼的采样速率。

人眼在观看转动的吊扇时，对于倒转现象是因为高速旋转的叶片转速非常快，在短时间内从0度顺时针旋转到330度时（假设的情况），人眼观察到的似乎是从360度逆时针旋转到330度，因此，看起来像是在倒转。

3. 怎样最小化混叠
既然信号可能存在混叠，怎样才能最小化混叠或者消除混叠呢？

初看起来，如果信号中没有高于奈奎斯特频率的频率成分，那么则不存在混叠。这要求采样频率极高，使得实际信号都位于奈奎斯特频率以下。但这不总是实用和可能，因为，您永远不知道真实信号的频率成分。另一个方面，虽然采样频率极高可以一定程度上避免混叠，但这样会导致出现大的数据文件，同时，最高采样频率受数据采集设备的限制。

另外，采样定理只保证了信号不被歪曲为低频信号，即使高的采样频率也不能保证不受高频信号的干扰，如果传感器输出的信号中含有比奈奎斯特频率还高的频率成分存在，ADC同样会以所选采样频率加以采样，使高于奈奎斯特频率的频率成分混入分析带宽之内。

故在采样前，应把高于奈奎斯特频率成分以上的频率滤掉，这就需要抗混叠滤波器，它是一个低通滤波器：低于奈奎斯特频率的频率通过，移除高于奈奎斯特频率的频率成分，这是理想的滤波器。

理想滤波器

实际滤波器

实际情况是任何滤波器都不是理想的滤波器，抗混叠滤波器也不例外。滤波器存在滤波陡度，在滤波截止频率（奈奎斯特频率）以上的一些区域还存在混叠的可能性，这个区域对应带宽的80%以上部分，也就是带宽的80%-100%区域。如下图所示，高于奈奎斯特频率以上的频率成分会关于奈奎斯特频率镜像到带宽的80%-100%区域，形成混叠，而带宽80%以内的区域，是无混叠的。

当然了，如果信号中没有高于奈奎斯特频率的成分存在，则整个带宽都不存在混叠。当信号还有高于奈奎斯特频率有成分存在时，按采样定理设置采样频率时，带宽的80%以上频带则存在混叠，如下图红框所示区域即遭受了频率混叠的影响。由于带宽以上还有信号存在，因此，这些频率关于带宽镜像到了带宽以内。

通过这一部分的分析可知，即使使用抗混叠滤波器，在带宽的80%以上的频率区间还可能存在混叠，如要整个频带都无混叠，则采样频率至少高于信号频率的2.5倍以上。

4. 计算混叠后的频率
若没有抗混叠滤波器存在，信号必然存在混叠，那么怎么求解混叠后的频率成分？在这介绍两种方法：一种称为镜像法，一种称为公式法。

镜像法
假设信号的频率fa大于采样频率fs，因此，采样后必然存在混叠。这时，信号频率将会关于离它最近的整数倍的奈奎斯特频率镜像，如果镜像后的频率位于观测的带宽以内，则是混叠后的频率。如果镜像后的频率还未位于观测的带宽以内，则会关于下一个整数倍的奈奎斯特频率镜像（往0Hz方向），直到镜像到带宽以内为止。
如下图所示，信号的频率fa首先关于3倍奈奎斯特频率镜像，但此时还不是带宽以内，所以，之前镜像后的频率又关于2倍奈奎斯特频率镜像，但还不是带宽以内，需要继续将关于2倍奈奎斯特频率镜像后的频率关于1倍奈奎斯特频率镜像，这时，频率终于位于观测的带宽以内，这就是混叠后的频率fd。

公式法
对于混叠现象，也可以从下面的数学公式得到混叠后的频率

K是个整数，取值从0开始，适当的取值应使得|fa-Kfs|最小。因而，可以将上式写成

比如考虑采样频率为500Hz，采集各种不同频率的信号，结果如下表所示，注意数字化后的频率重复出现。

实际频率faHz------最小K值---------混叠的频率fd Hz
180--------------0--------------------180
280-------------1-------------------220
380-------------1-------------------120
480-------------1-------------------20
580-------------1-------------------80
680--------------1-----------------180
780-------------2-----------------220
880-------------2----------------120
980--------------2---------------20

--------------我是空格符
5. 阶次混叠
除了频率混叠之外，还会存在阶次混叠。由于阶次可以在频域显示也可以在阶次域显示，因此，阶次混叠存在频域混叠和阶次域混叠两种情况。
在频域显示时，阶次是斜线，高于最大阶次以上的阶次成分会关于最大阶次线镜像到最大阶次以内，如下面左图所示。当在阶次域时，阶次垂直于横纵，此时阶次混叠类似于频率混叠，如下面右图所示。

下图中，左图为60个PPR采集得到的信号，那么，能分析到的最大阶次为30阶次。信号的主要阶次为1，2，10，17阶次。右图为20个PPR采集得到的信号，那么，能分析的最大阶次为10阶次。此时，右图中的主要阶次为1，2，3，10阶次。右图中没有17阶次，多出来一个3阶次。这是由于采用20个PPR进行信号采集时，只能采集得到10阶次以内的信息，17阶次高于最大阶次，此时，17阶次将关于最大阶次线混叠成了3阶次（17阶次关于10阶次镜像成了3阶次），这是阶次混叠现象。

扩展阅读
1.什么是泄漏？
2.采样混叠和车轮效应
3.采样频率到底多高才不会使信号幅值明显失真？

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umnay · 2022-5-24 02:04:05

请问这里的RPM是取自哪里的概念？好像以前学信号和电子测量都没接触过……

ck666 · 2022-5-24 02:04:23

转速，来自转速传感器

qi4c4 · 2022-5-24 02:04:41

感谢⊙▽⊙

lg0iy · 2022-5-24 02:05:14

这几天刚学过数字信号处理对书本理解帮助挺大的

zqr72 · 2022-5-24 02:05:26

太感谢了，书本上几句话就带过，也不讲为什么，看都看不懂

vy27 · 2022-5-24 02:06:18

请教您一个问题，请问采样频率为信号频率的11倍左右还是发生了混叠现象，请问是什么原因？该如何解决？谢谢

n43qv · 2022-5-24 02:07:09

从采样定理上来这是不可能的是不是其他因素导致的呢

szstcok · 2022-5-24 02:07:57

这里有一个问题，看电扇的话，在自然光下还能观测到风扇倒转的情况么？因为我看到另一篇解答说，只有在交流电引导的灯光下才会出现这样的现象。（比如50hz*2的交流电）

wangkicker · 2022-5-24 02:08:47

这跟外界环境没有关系

k2a1ft · 2022-5-24 02:09:18

作者真的是牛逼，说的很通透。

a1rgk · 2022-5-24 02:09:45

请问【使超过奈奎斯特频率成分之上的频率关于奈奎斯特频率镜像到奈奎斯特频率以下的可观测区域】这个结论怎么得到的？看了半天没搞懂。。

xi0b · 2022-5-24 02:10:07

不懂抗混频滤波有什么用，如果低于奈奎斯特采样率采样，不用抗混频会出现混频失真，如果用了会造成高频失真，抗混频解决混频失真的方式是引入高频失真，感觉很鸡肋，甚至得不偿失

吴宇 · 2022-5-24 02:10:32

太厉害了，通俗易懂

fueasy · 2022-5-24 02:11:10

写的好！

arcv · 2022-5-24 02:12:04

请问，为什么会以镜像的形式混叠？

n072 · 2022-5-24 02:12:17

太感谢了，一看到时域采样图马上就明白了，书上只给个频域采样图，只看到两个图形叠一起，但是不知道为什么会叠一起，非常感谢！！

ozlbr · 2022-5-24 02:13:06

第三张图是否有误？图中好像是平移而不是镜像

irtdj · 2022-5-24 02:13:42

不太理解为什么高于奈奎斯特频率的信号会以镜像的方式混叠到奈奎斯特频率以下，有没有相关的参考资料和推导过程可以参考呢？

飞创 · 2022-5-24 02:13:55

看文章里的时域图呀。高频信号，你用低频率去采集，得到的新的时域曲线很明显是个低频信号嘛，这就叫混叠了。你以为采集的是低频信号，其实是个高频信号被混叠。

123ew · 2022-5-24 02:14:38

谢谢大佬，一下子就通透了[开心]

什么是混叠?

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