标的价格为负数时，期权如何定价？

今年以来，全球金融市场发生了巨大的变化。5月WTI原油期货价格甚至跌为负数，大家在震惊的同时，也开始思考若标的资产价格变为负数时，期权应该如何定价？南华场外衍生品部在服务实体企业的同时也需要对一些学术性的知识进行科普。其实早在1900年，法国金融学家Louis Bachelier就考虑到了这个问题，其发表了第一篇关于期权定价的学位论文“Theorie de la Speculation”(投机交易理论)，它被公认为是现代金融学的里程碑。LouisBachelier在论文中首次提出用随机游走思想给出股票价格运行的随机模型。具体如下：

S是目标资产价格，K是执行价格，T是以年计算的期权期限，是目标资产价格的波动度，N（.）是累积正态分布函数，n（.）是标准正态函数。我们知道上述的推导过程中存在一些假设，在这些假设下做逻辑推理，只要在推理的过程中不出错，就能得到该项结果。在布朗运动的世界里也是有假设存在的，其能互相推导，也不可能互相反证。承认这些假设就变成我们进入这布朗运动世界必须接受的观点。这里我们简单的对布朗运动 {W(t),t>=0} 做一个观察，其中小t 是时间的变量，而它建立在四个假设下1. W(t)是一个独立增量过程2. W(s+t)-X(s) 是一个期望值为零，标准偏差为 t 的正态分布3. W(t) 是关于小t 连续涵数4. W(0)=0具体分析：
第一个假设的涵义就是，该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一其他时间区间上变化的概率。这件事情的理解也就是，如果你把观测时间区间分开来，每个时间区间发生的事情都是相互不影响的。第二个假设是根据爱因斯坦1905年提出的理论，微粒的这种运动是由于受到大量随机的相互独立的分子碰撞后的结果。微粒在时段（s,t]上的位移可以看作是许多微小位移的代数和W(t)-W(s）服从正态分布。第三个假设是在位移的时候是连续性的，不会有跳跃的情况发生。第四个假设是为了方便观察。当然该 Bachelier 的模型中还是有缺点存在的，如果用单纯的布朗运动来描述资产变动，会存在资产价格为负的可能性，这个结果被当时的专家学者所诟病。然而天道好轮回，苍天饶过谁。上天给了Bachelier一个翻盘的机会，芝加哥商品交易所在今年4月8日公告了一份关于结算价调整计划的文件，声称“对于任何月份的WTI原油期货，当它的结算价低于8美元/桶时，WTI期货期权的结算价计算模型将从原来的模型切换到Bachelier模型”。此外，WTI2005原油合约于2020年4月20日的结算价为-37.63美元/桶。假设价格波动率取30%，期限为1个月的看涨期权和看跌期权的价格如图1和图2所示。

图1

图2

总之，从上面的图形可以看出，即便用Bachelier公式对期权进行定价，期权的价格也不会出现负值。且用Bachelier模型计算出的期权价格，在一般参数下，也没有像Black-Scholes 模型所带来的时间价值大，在Bachelier公式模型的时间价值可能为0。期权时间价值是指期权购买者为购买期权而支付的权利金超过内在价值的部分，因此在Bachelier模型下的风险溢酬是一个有待商榷的问题。任何事物都需要用一分为二的观点来看待，当下无效的模型公式在特定的情况下说不定会大放溢彩。

（本文内容仅供参考，据此入市风险自担）

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