手机答题，公式没法排版╮( ω )╭
下面的内容有很多是我自己的理解，不一定严格，所以看看就好，不要深究，有什么理解错误的地方还请大神们指出╮( ω )╭
先说结论，根据条件严格程度排序，从弱到强依次为：
依分布收敛、依概率收敛、均方收敛和以概率1收敛
分别定义如下：
依分布收敛是n→∞时，分布累积函数Fn→F
依概率收敛是n→∞时，P(|Xn-X|≥ε)=0
以概率1收敛是n→∞时，P(Xn=X)=1
均方收敛是n→∞时，E((Xn-X)^2)=0
首先来看依分布收敛，根据定义可以发现，依分布收敛考察的是累积分布的收敛情况，而与定义在概率空间上的随机变量X没有关系，依分布收敛的随机变量序列Xn在概率空间上不一定收敛于X
与之相对的是依概率收敛，依概率收敛要考察的是定义在整个概率空间上的随机变量的收敛情况，根据测度论的观点有，当n→∞时，随机变量序列Xn不收敛于X的点的集合的测度为0，即依测度收敛于X
比依概率收敛更强的是以概率1收敛，根据定义有当n→∞时，几乎处处Xn=X，即随机变量Xn几乎处处收敛于X。同依概率收敛相比，依概率收敛只要求随机变量序列Xn不收敛于X的点足够少，而对随机变量序列本身是否收敛没有要求。依概率收敛强调的是随机变量在概率空间上的收敛情况，以概率1收敛强调的是Xn在概率空间上的几乎所有点收敛于X
再来看均方收敛，由马尔科夫不等式可以推出如下不等式
P(|Xn-X|≥a)≤(E(Xn-X))^2/a^2
可以得出均方收敛是依概率收敛的充分条件，而根据依概率收敛的定义可以推出
P((Xn-X)^2≥ε)=0
所以要想推出E((Xn-X)^2)=0还需要(Xn-X)^2是可积的，即∫(Xn-X)^2dx＜∞
形象的理解就是所有不收敛的点与X距离是有限的，这也是比依概率收敛严格的地方
但是，均方收敛和以概率1收敛并没有直接关系，两个收敛从不同的方面对依概率收敛更严格
为了形象的理解这些收敛之间的联系，下面就开始举栗子啦ヽ(‵)
考察随机变量序列
Xn=1-cos(2πnω) ω∈(0,1)
该序列累积分布函数收敛于均匀分布的累积分布函数，所以该随机变量序列依分布收敛于均匀分布，但是考察这个随机变量序列与均匀分布没有任何关系。
再看定义在(0,1)的随机变量序列
Xn=1 ω∈(i/2^k,(i+1)/2^k)
Xn=0 ω(i/2^k,(i+1)/2^k)
对于n∈N，有唯一的k,i使得n=2^k+i
显然n→∞时，(i/2^k,(i+1)/2^k)的测度为0，然而这个序列不存在n→∞的极限，所以这是依概率收敛而不是以概率1收敛的
最后再来看看这样一个随机变量序列
Xn=δ(n)
显然该函数只有当ω=n时不收敛，{n}的测度为0，即依概率收敛到X=0，但是有
E((Xn-X)^2)=E(Xn^2)=-d^2φ/dt^2|t=0
因为δ(n)的特征函数为φ=e^(int)，所以
E((Xn-X)^2)=n^2
所以该随机变量序列不是均方收敛的，如果令
Xn=δ(c),c∈N+
则还能证明该随机变量序列是以概率1收敛的，但仍然不是均方收敛的 |
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