欧拉也思考过这个问题, 最后他发现这个无法用初等函数表达, 于是他规定 ![]()
, 现代的证明则一般采用刘伟尔定理.
不过杀鸡焉用牛刀, 这也用不到完全体的刘伟尔定理, 用一个特化情形就行了.
体会下这种思想:
考虑积分 ![]()
, 其中 ![]()
为多项式.
那它的积分是不是应该是 ![]()
的形式?
![]()
很容易验证的呀, 两边求导:
![]()
![]()
怎么着也非零吧, 消掉
![]()
如果 ![]()
是个有理函数, 那么我们也期望 ![]()
也是个有理函数
设 ![]()
, 其中 ![]()
为互质多项式函数, 代入得
![]()
整理下也就是
![]() 综上所述:
若 ![]()
是有理函数, ![]()
是多项式函数, 那么 ![]()
初等的充要条件就是:
存在互质多项式 ![]()
使得 ![]()
成立.
我们来考虑积分 ![]()
...
什么, 你问为什么不直接做题要考虑这个?
笨啊,变量替换啊
![]()
选取 ![]()
, 代入化简得
![]()
![]()
![]()
中 ![]()
叫重根或者重点, ![]()
叫重数或者重根数这个懂吧
因为 ![]()
为多项式, 所以在复数域中必有零点, 设零点 ![]()
, 其重数为 ![]()
由于 ![]()
为互质多项式, 所以 ![]()
的重数为 ![]()
若 ![]()
则 ![]()
既是 ![]()
的重根,重数显然 ![]()
且右边 ![]()
的重根重数为 ![]()
矛盾!
若 ![]()
,令 ![]()
好了,代入原式有
![]()
![]()
仍然同时是左右两边的重根, 左边重数 ![]()
,右边为 ![]()
..GG
还是矛盾!
好吧那么假设 ![]()
不是多项式而是常数 ![]()
于是有 ![]()
, 由上可知同样不行
重数还是矛盾!
于是综上所述 ![]()
非初等, 无法表示成初等函数....
那么就只能规定 ![]()
了啊...
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