一、波动率曲面 波动率曲面，是由隐含波动率构成的
1、为什么要了解曲面 曲面是客观存在的，由买卖双方的供求导致。研究曲面的本质，就是在研究和利用T价表的供求关系。可以看作，买卖双方基于各自对标的资产的预期做的投票，它是个情绪化的产物，是种羊群效应。
2、术语与图解 整个T价表的隐含波动率，构成波动率曲面Implied Volatility Surface。同日期的隐含波动率，或同价格不同日期的隐含波动率，构成波动率微笑曲线Implied Volatility Smile或者波动率倾斜Implied Volatility Skew
波动率微笑曲线与波动率倾斜图解
3、隐含波动率的变化 随着到期日的临近，虚值OTM期权，进入平值ATM的几率越小，但是一旦能进入ATM它的增值潜力越大，它的表现越来越趋近于一张彩票。
对于OTM卖方来看，由于权利金Premium能赚的额度很少，他们宁可不卖也不会把“彩票”给卖便宜了，因为一旦进入ATM，他们承受的损失远远大于他们收到的权利金，自然要求更高的利益“补偿”
对于OTM买方来看，损失很有限，增值潜力翻了几百几千倍，但是中奖率比彩票高多了，这“彩票”贵了几元，几十元，对于博彩的人来说，不是那么的“敏感”。
因此随着到期日的临近，越是OTM的期权合约，隐含波动率越高。
4、波动率微笑曲线Implied Volatility Smile 价外OTM期权的波动率高于价内ATM的。那么高的程度如何描述呢？
相对理想的情况是，离标的价格一样远的认购和认沽合约，他们的波动率水平大体相同，隐含波动率大体对称，就像一张嘴在微笑一样，我们因此称之为，波动率微笑曲线Implied Volatility Smile。这是一种比较理想的状态。
所以需要再强调一遍，执行价离标的价格距离一样远的虚值认购和认沽期权，未必有一样的隐含波动率（有就是微笑曲线）
5、波动率倾斜Implied Volatility Skew 更多情况下，隐含波动率表现得明显倾斜于一边，故名波动率倾斜Implied Volatility Skew。这是因为认购与认沽两侧供求关系的不同造成的。
通常来说，股票期权，会有更多购买者为了保护标的资产的突然下跌，因此认沽的波动率大于认购的波动率，OTM Put> ATM>OTM Call。我们称之为反向倾斜Reverse Skew, 或者叫向下倾斜Downside Skew
商品期货期权，更多购买者为了保护标的价格暴涨，因此认购的波动率大于认沽的波动率，OTM Call> ATM>OTM Put。我们称之为正向倾斜Normal Skew, 或者叫向上倾斜Upside Skew
二、隐波与标的资产的关系1、隐波与标的波动率范围 隐波是一种年化的百分比率，统计学意义上，相当于标的资产的一个方差（68%的统计学概率）
假如，IQT的股价为2.35，9月份合约的隐波平均在16%，9月份还要22天到期
那么期权市场买卖9月份的隐波的人的整体投票认为，IQT的股价在9月份的波动范围为，围绕2.35做上下2.35*16%*sqrt(22/365)=-0.0923的波动，即人们一致认为9月份的股价波动范围有68%的可能性在2.2577到2.4423之间。
2、如何巧用技术指标 首先，我们知道了隐波是人们对于标的的预期而来，那么人们如何对标的产生各类预期的呢？行业调研，读研报，专家分析？当然不是，记住之前的话，曲面是种羊群效应，你要割羊群的韭菜，你只需要知道羊会怎么想就行了。在我国，羊群无非就是博方向，看K线图。各种群里的大师喊单，解释的玄乎其玄的原理，归根到底还是K线。这是羊群的认知，可以被我们当前所合理应用的。
其次，技术指标体系已经发展得相当成熟，我们可以拿来主义。但我们要知道，我们拿它来用什么？所有的技术指标，本质都只是一种统计公式，既然是统计学公式，那么本质上是在一定条件下，有一定的可能性发生的描述性公式。羊群拿它来预测方向，满仓，加杠杆。我们拿它来监控羊群行为，通过期权的概率优势，来套利。通常来说，根据监控高波动率和低波动率情况的指标，可以做如下划分。
3、波动率的高低测量办法 既然提到了波动率高低，那么如何鉴定和测量呢？
这就要引出两个重要概念：隐含波动率级别Implied Volatility Rank(简称IV Rank)和隐含波动率百分位数Implied Volatility Percentile(简称IV Percentile)。
IV Rank比较IV Percentile公式更加简单, IV Percentile比IV Rank更加平滑。这俩者没有孰优孰劣，但是使用一定要一致。
我们一方面使用期权波动率隐波的IV指标，再结合研究标的的技术指标来Double Check，帮助我们判断市场的T价各波动率水平和套利机会。
3.1 IV Rank 当前波动率占52周的波动率高低的百分比
IV Rank = ((Current IV - 52-Week IV Low)/ (52-WeekIV High- 52-Week IV Low))*100%
3.2 IV Percentile 交易周期内（通常选252或者365天），低于当前波动率的天数占所有交易天数的百分比。
IV Percentile = (# of Days Under Current IV/# of Trading Days) *100%
三、隐波的计算方法 有两种最基础的方法，牛顿-拉佛森方法Newton-Raphson method，和二分法Bisection Method。这两种方法的概念，网上都能查到，这里就直接网络截图，不赘述了。我们来讲讲如何应用到期权上和Python代码如何编写。
1、牛顿-拉弗森方法Newton-Raphsonmethod（代码见文章末尾，有两段） Newton-Raphson Method，迭代速度最快，但是有可能求不出解
在这个情况下，我们等于是在不断迭代期权的sigma即波动率，使得它等到无法迭代（即前后值差异几乎为0时）时停止。这里面用于迭代的公式f(x)就是期权价值公式，df(x)即期权定价公式关于sigma的导数，那么脚趾头想想也知道，这不就是vega嘛。那么我们把之前的代码按照这个格式塞进去就行了。我们来算算看(迭代次数50次，精度小数点后五位)
假如，IQT公司的股价为2.973，我们计算的合约为9月份（剩21天）的平值合约，即执行价为2950。当前无风险利率为4%，股利为0%，在T价表上，我们找到认购期权最新价为0.0543，认沽期权最新价为0.0400。我们快速得出：
9月2950认购：0.1326475570945834 即隐波约 13.26%
9月2950认沽： 0.18929809459574065 即隐波约 18.93%
2、二分法Bisection Method（代码见文章末尾，有两段） Bisection Method，速度最慢，但是肯定能求出解。不过可能需要重复步骤太多，超出计算机设定范围导致实际过程中无法求出解。
在这个公式里，我们依葫芦画瓢的办法，当然是在两个给定的sigma区间内二分求解。波动率再高几乎不可能是200%，或者波动率等于0%， 那么我们就给定个0.0000000001到2的范围之间求解。F(x)公式跟上面一样，但是细心的人一定会发现，少了个Vega的helper function，自然，我们这里面不涉及求导，自然就不用担心有求不出导（分母过小趋近于0）的问题了
还是上面Newton-RaphsonMethod用的例子，一模一样的参数输入，为了保护我们的计算机，依然是迭代次数50次，精度小数点后五位。我们得出如下结果。我们可以看出两种方法在最后几位小数略有差异。
9月2950认购： 0.1326293954649353 即隐波约 13.26%
9月2950认沽： 0.1893310555928345 即隐波约 18.93%
3、券商软件上的错误3.1 错误一：隐波计算错误 通常情况下，券商软件，为了照顾到所有人的计算机都能用，自然是寻求最快的办法（但不一定能求出解）。有得必有失，自然会造成很多显示错误。
比如国内券商软件公司，常常会发现这类错误，隐波等于某个很小很小的常数例如图上隐波等于0.01%。如果你熟悉我上面的代码了，你会立马反应过来，这个数是代码里对于求解不出来的时候，设定的一个缺省值。
一定要知道，这绝对绝对绝对不是这份合约便宜得一套糊涂，千万千万别犯傻！
3.2 错误二： vix计算错误 这种求解错误，经常发生在实值位置。由于这类错误很多，那么采用VIX方法来做波动率高低计算，自然也是错误多多了。网上可以搜到，国内所谓的VIX方法，是对合约的波动率们进行加权平均，经常把0.01%差异那么大的数字加权进去，无论这种加权再怎么完美，只要你的数学不是体育老师教的，你一定能知道这算出来的VIX指数有多么荒谬了吧
3.3 错误三：红利错误 因为50ETF分红过的合约已经不存在了，目前没有实图可以展示。不过等到下次分红后，感兴趣的可以试试看，策略组合里，用一份分红后的合约和一份没有分红的合约，或者两份分红的合约，组合个认购1权利：认购1义务，或者认沽1权利：认沽1义务，的价差组合。会发现软件显示，你的价差组合（盈亏有限的）在一个方向会无限涨，或者无限亏，跨的日期越多，越不符合常识。
我认为主要原因是券商们使用的BlackScholes公式是最原始的不包含分红q的公式，所以导致涉及分红后的合约计算错误频出。我的隐含波动率代码的HelperFunction里特意把涉及分红的BlackScholes代码双手奉上，我也衷心希望这个错误软件商们能尽早修复。
牛顿-拉弗森方法Newton-Raphsonmethod涉及的Python代码
import math
from scipy.integrate import quad
# 01-01 PDF normal distribution
def dN(x):
return math.exp(-0.5*x**2)/math.sqrt(2*math.pi)
# 01-02 CDF normal distribution
def N(d):
return quad(lambda x:dN(x),-20,d,limit=50)[0]
# 01-03 d1 function
def d1f(St,K,t,T,r,q,sigma):
d1 = (math.log(St/K)+(r-q+0.5*sigma**2)*(T-t))/(sigma*math.sqrt(T-t))
return d1
##### 02 BSM Model
# 02-01 BSM Call
def CallValue(St,K,t,T,r,q,sigma):
St: float
K: float
t: float
T: float
r: float
q: float
sigma: float
d1 = d1f(St,K,t,T,r,q,sigma)
d2 = d1-sigma*math.sqrt(T-t)
call_value = math.exp(-q*(T-t))*St*N(d1)-math.exp(-r*(T-t))*K*N(d2)
return call_value
# 02-01 BSM Put
def PutValue(St,K,t,T,r,q,sigma):
St: float
K: float
t: float
T: float
r: float
q: float
sigma: float
d1 = d1f(St,K,t,T,r,q,sigma)
d2 = d1-sigma*math.sqrt(T-t)
put_value = -math.exp(-q*(T-t))*St*N(-d1)+math.exp(-r*(T-t))*K*N(-d2)
return put_value
def Vega(St,K,t,T,r,q,sigma):
St: float
K: float
t: float
T: float
r: float
q: float
sigma: float
vega: float
d1 = d1f(St,K,t,T,r,q,sigma)
vega = math.exp(-q*(T-t))*St*dN(d1)*math.sqrt(T-t)
return vega
def calloptionIV(CallOptionSpot,St,K,t,T,r,q):
MAX_ITERATIONS = 50
PRECISION = 1.0e-5
sigma = 0.50
for i in range(MAX_ITERATIONS):
vega = Vega(St,K,t,T,r,q,sigma)
bscall= CallValue(St,K,t,T,r,q,sigma)
diff = CallOptionSpot-bscall
if (abs(diff) < PRECISION):
return sigma
if(vega==0):
sigma = sigma
else: sigma = sigma + diff/vega
return sigma
def putoptionIV(PutOptionSpot,St,K,t,T,r,q):
MAX_ITERATIONS = 50
PRECISION = 1.0e-5
sigma = 0.50
for i in range(MAX_ITERATIONS):
vega = Vega(St,K,t,T,r,q,sigma)
bsput= PutValue(St,K,t,T,r,q,sigma)
diff = PutOptionSpot - bsput
if (abs(diff) < PRECISION):
return sigma
if(vega==0):
sigma = sigma
else: sigma = sigma + diff/vega
return sigma
St = 2.973 # IQT公司的股价
K = 2.950 # 执行价
t = 0
T = 21/365 # 合约剩下21天
r = 0.04 # 无风险利率为4%
q = 0 # 股利为0%
CallOptionSpot = 0.0543 # 认购期权价格
PutOptionSpot = 0.0400 # 认沽期权价格
ImpliedVolatilityCall2950 = calloptionIV(CallOptionSpot, St, K, t, T, r, q)
ImpliedVolatilityPut2950 = putoptionIV(PutOptionSpot, St, K, t, T, r, q)
print("9月2950认购：", ImpliedVolatilityCall2950, " 9月2950认沽：", ImpliedVolatilityPut2950)
二分法Bisection Method涉及的Python代码
import math
from scipy.integrate import quad
# 01-01 PDF normal distribution
def dN(x):
return math.exp(-0.5*x**2)/math.sqrt(2*math.pi)
# 01-02 CDF normal distribution
def N(d):
return quad(lambda x:dN(x),-20,d,limit=50)[0]
# 01-03 d1 function
def d1f(St,K,t,T,r,q,sigma):
d1 = (math.log(St/K)+(r-q+0.5*sigma**2)*(T-t))/(sigma*math.sqrt(T-t))
return d1
##### 02 BSM Model
# 02-01 BSM Call
def CallValue(St,K,t,T,r,q,sigma):
St: float
K: float
t: float
T: float
r: float
q: float
sigma: float
d1 = d1f(St,K,t,T,r,q,sigma)
d2 = d1-sigma*math.sqrt(T-t)
call_value = math.exp(-q*(T-t))*St*N(d1)-math.exp(-r*(T-t))*K*N(d2)
return call_value
# 02-01 BSM Put
def PutValue(St,K,t,T,r,q,sigma):
St: float
K: float
t: float
T: float
r: float
q: float
sigma: float
d1 = d1f(St,K,t,T,r,q,sigma)
d2 = d1-sigma*math.sqrt(T-t)
put_value = -math.exp(-q*(T-t))*St*N(-d1)+math.exp(-r*(T-t))*K*N(-d2)
return put_value
def ivbiseccall(C0, St, K, t, T, r, q):
MAX_ITERATIONS = 50
PRECISION = 1.0e-5
sigmah = 2
sigmal = 1.0e-9
for i in range(MAX_ITERATIONS):
sigma = 0.5*(sigmal+sigmah)
call = CallValue(St, K, t, T, r, q, sigma)
if abs(call - C0) < PRECISION:
return sigma
elif call-C0 < 0:
sigmal = sigma
else:
sigmah = sigma
def ivbisecput(P0, St, K, t, T, r, q):
MAX_ITERATIONS = 50
PRECISION = 1.0e-5
sigmah = 2
sigmal = 1.0e-9
for i in range(MAX_ITERATIONS):
sigma = 0.5*(sigmal+sigmah)
put = PutValue(St, K, t, T, r, q, sigma)
if abs(put - P0) < PRECISION:
return sigma
elif put-P0 < 0:
sigmal = sigma
else:
sigmah = sigma
St = 2.973 # IQT公司的股价
K = 2.950 # 执行价
t = 0
T = 21/365 # 合约剩下21天
r = 0.04 # 无风险利率为4%
q = 0 # 股利为0%
CallOptionSpot = 0.0543 # 认购期权价格
PutOptionSpot = 0.0400 # 认沽期权价格
ImpliedVolatilityCall2950 = ivbiseccall(CallOptionSpot, St, K, t, T, r, q)
ImpliedVolatilityPut2950 = ivbisecput(PutOptionSpot, St, K, t, T, r, q)
print("9月2950认购：", ImpliedVolatilityCall2950, " 9月2950认沽：", ImpliedVolatilityPut2950)
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