如何解释包含所有集合的集合？

康托尔创立的集合论确实面临着这样的问题，但是在后来公理化的集合论里，问题得到了解决，或者说，问题本身被消灭了。
办法也很简单，引入这样一条公理：
对任意非空集合x，至少有一 y∈x使x∩y为空集
这条公理的主要作用是，禁止以自身为元素的集合出现。如果说远一点，就是禁止使用自指代命题。这样罗素悖论，即包含全体集合的集合是否存在的问题就被“解决”了。如果一个集合A包含全体集合，那么A∈A，对不起，不允许。


之所以采用这种方式规避了这一问题，本质上还是因为哥德尔不完备性定理。第一定理指出：
任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
即：悖论的存在不可避免。
在集合论里，罗素悖论就是不能证明为真也不能证明为否的命题。
而第二定理指出：
如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
也就是说，允许出现没有悖论的系统，但是必须用“不证自明”的公理来规范。
为了避免矛盾，只能引入公理，来把集合论公理化。
大概就是这样吧……

谢邀。
看到这个问题，忍不住多说了一些。


直观来说，这玩意应该是存在的，怎么看也没什么毛病啊，大家当初也觉得这东西怎么着也应该要存在啊。
然鹅，天不遂人愿。(□`)°
包含所有集合的集合是“不存在的”。
（注意这个不存在是打“”的）
血淋淋的现实面前，数学脆弱得像只毫无抵抗的小猫咪。

这东西其实直接指向了基础数学里的一个大坑，它曾经被认为动摇了数学的根基，目前数学界解决这个问题的方法就是回避掉这个问题。
这玩意儿带来的问题的另一个等价表述，曾经是康托尔的梦魇。这位集合论的创始人被它折磨到患上精神疾病，直到他郁郁而终，甚至直到现在，都没有一个完美的解决方案。



前面说的那些不是吓唬大家，这东西确实就是这么可怕的。
我先说一下这个问题的“答案”。
以现在主流的观点来看，
[h1]“全体集合”这个东西在集合论是不被承认的，我们不把它作为一个集合来看。如果把它视为一个集合，只会导致本质的矛盾。[/h1][h1]简单来说，你可以当做它不存在。[/h1]为什么这个东西这么可怕呢？且听我慢慢道来。


乛乛  温馨提示：如果对数学推导神马的不感兴趣，纯粹吃瓜群众看热闹的话，可以跳去part 4哦。那里我还有话说。
[h1]Part 1.矛盾在哪里[/h1]众所周知，

考虑任意一个集合A，
我们把A的全体子集构成的集合记作2^A，
可以用反证法证明一个结论：
2^A的基数严格大于A的基数。有的地方也管基数叫势，就是可数不可数，可列不可列那套东西。
换言之，不存在从A到2^A的一一映射。

证明过程如下图。

所以如果我们有一个包含所有集合的super大集合，我们把他记作M，
那么2^M的基数应该严格大于 M的。
但是因为M的定义，
要有2^MM这件事，
所以2^M的基数应该不大于 M的。


这下惨了，一个大于，一个不大于，只能说矛盾了。


[h1]Part 2.对矛盾束手无策[/h1]其实数学家们不是没遇到过这种矛盾。
在N多年以前，面对无穷大的时候就遇到过这种情况了。

对于任何一个数a，都有
a+1＞a
如果有一个数是无穷大，记作∞
它要比所有的数都要大
因为它是数，加一之后仍然是数
所以有∞+1＞∞
然鹅按定义应该有∞+1≤∞
这就矛盾了

解决这个矛盾很容易啊，只要把∞不作为一个数就行了。然后再给它建立一套新的运算和逻辑体系就十全十美了。
°。ヾ(*▽｀*)°。


[h1]但遗憾的是，同样的法子落到这个问题上就不行了。[/h1]

第一，集合这个东西，作为从存在性抽象过来的基本概念，它作用的广泛性和合法性是没法去怀疑的。
你如果直接说一个事物不是集合，那它能是什么玩意儿？那它应该不存在吧。



但是“全体集合”这个概念看起来太自然了，不禁让人希望它是存在的。但一个事物连集合都不是，他能以什么形式存在？根本无从下手。
每每想到这个问题，就感觉似乎造物主的目光从无穷远的云深不知处投了过来。那一脸嘲讽的表情冷漠地盯着我们，看我们被他塑造的世界弄得手足无措。

为什么我会有这个感觉呢？
这就要谈到我们的第二点了——
我们试图为这个概念建立一个新的体系的时候，遇到了更大的问题。
那就是更为大家熟知的罗素悖论。
[h1]Part 3.全体集合与罗素悖论[/h1]对集合论有了解的都知道，ZFC系统避开罗素悖论的法子，就是引进了正则公理，

正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。

这一公理，把集合的定义从古典定义的海纳百川，换成有选择的接受（排除掉了会出现悖论的情况）。为了严谨性做出的这点牺牲，造成的结果就是，直接把全体集合这个概念强行排除在了所有理论之外。这就是问题的根本所在。


话说回来，
罗素悖论有几个非常亲民的表述：

• 这句话是谎话
• 我只给那些不给自己理发的人理发
• 万能的上帝，能不能创造一块他推不动的石头。

严谨的表述呢，就是定义一个“集合”z
z=｛x|xx｝，那么z∈z和zz都是矛盾的。


你回去看第一部分图片里那段短短的证明，就会发现这两个矛盾的核心矛盾点如出一辙。
实际上这俩是同一个问题，这一点的说明就不严格阐述了，太占篇幅而且随便搜搜就有了。


其实这部分就是想说，如果你打算为“全体集合”建立一个新的体系。那你在这个体系里必须要接受罗素悖论这个既对又错的矛盾。
注意是接受而不是解决，你必须把他作为体系的一部分，还是本质的一部分。
这点在目前看来，实在是荒谬得不行。
所以这个问题，就一直被搁置着。
再加上哥德尔不完全定理这个丧心病狂的东西，堵死了基础数学里另外一条路。


所以我们都坦然地接受了这个现实。
都很自觉地向苍天认了输，直接把全体集合这个概念，用严谨的定义，强行排除在我们任何理论体系之外，不承认这个说法的合法性。

不承认就不承认呗，我看不见你，你不就不会给我带来麻烦了。

这时候还能咋办咧？
只能怨苍天变了心了。
（偷偷远程打call表白我谭晶女神）
[h1]Part 4.全体集合与万能的上帝[/h1]其实前面仨部分，基本把要说的都说完了。
但看到前面罗素悖论亲民表示的第三句话了吗？

万能的上帝，能不能创造一块他推不动的石头。

这句话是无神论者驳斥有神论的一个很有力的逻辑。


落到数学上，
这个矛盾和全体集合概念存在的矛盾完全是同一个东西。
驳斥了万能的神的同时，也驳斥了全体集合这个概念的存在性；也驳斥了我们以目前的眼光，去研究“所有事物”的可能性。
就是这个问题带来的本质矛盾，让大家都束手无策。


所以想到这些的时候，我时不时会动摇，会觉得科学的终极境界，也许真的属于一个所谓的神的领域，是我们无法踏足的。

也就是{x|x}。
首先需要证明它能否存在。

上帝永恒创世就是一个包括一切集合的大全集合，但上帝永恒创世就决定了这是一个永远处于未完成状态的包括一切集合的大全集合，而不是处于完成状态的包括一切集合的大全集合，也就有效消除了罗素悖论和康托悖论