有趣的期权希腊字母——Gamma

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期权业务部编辑号   2019-8-3 00:48   9566   0
有趣的期权希腊字母——Gamma



引言
在上一期“有趣的期权希腊字母”中介绍了期权希腊字母Delta——代表标的资产变动1个单位,期权价格变化的值。它是重要的期权方向性衡量指标,本期介绍另一个重要的方向性指标希腊字母Gamma.



概念解释
为了帮助大家理解我们先从简单的开始。对期权有所了解的朋友肯定都很熟悉下面这张图:




这是一张看涨期权的损益图,绿色线是期末到期时的情形,黑色线是当下持有期权的情形。从这张图可以看出,在未到期时持有一个看涨期权的损益表现是一条曲线,即假设我买了一个Delta =0.5 的豆粕看涨期权,当豆粕期货涨了1点时,持有的期权价格并不一定上涨0.5,而是可能高过0.5,这就是期权gamma引入了曲度概念所造成的。

下面这张图看的更清楚一点。


之前介绍过Delta可以看做S=K时曲线的斜率,当标的价格从K→S1,除了Delta带来的方向上的盈利之外,还有一部分盈利产生,这是期权盈亏表现为曲线所造成的,而这部分曲线的变化就是因为Gamma。

看到这大家想到了什么,这不等于说随着标的价格的上涨,期权价格是在加速上涨的么,所以Gamma是个好东西呀。


数学解析
如果说Delta是期权价值变化的速度,那Gamma就是期权价值变化的加速度。
再次回顾一下经典的期权定价模型布莱克—斯科尔斯—默顿模型(BSM model),其中期权价格变化的分解式:



说明:   
  •   △V代表期权价格的变化量

  • △S代表标的资产价格的变化
    例如:豆粕期权标的物豆粕期货价格变化;

  • Delta代表标的资产变动1个单位,期权价格变动了多少
    例如豆粕期货价格变化1个点,影响期权价格变化的值

  • Gamma代表标的资产方向上变化1个单位,Delta的变化的值

  • Vega代表期权的隐含波动率变化1个单位,期权价格变化的值

  • △t代表距离期权到期日时间的变化

  • Theta代表每过一天期权价格变化的值

  • “其他”代表了影响期权价值的其他因素,例如Vanna、Volga等,这些因素对场内期权价格的影响较小,可以暂时不用考虑


其中第二项就是Gamma如何影响期权价格变化的。如果不考虑波动率和时间等其它因素的变化,上式可以简化为:




这个公式看起来是不是很眼熟,如果大家还记得初中物理求变速物体位移的方程。



说明:
△S代表物体的位移,V0代表物体的初速度,t是时间,a是物体移动的加速度


所以Gamma就是类似于物理中的加速度,它是通过改变Delta的值去间接性的影响期权价格。

从数学上看,Gamma代表的是期权价格对于标的资产价格变动的二阶偏导数,一阶偏导数是Delta。用数学公式来表达:



注:D是Delta, V是期权的价格。

Gamma特性

买入期权的Gamma值都为正,卖出期权的Gamma都为负买入看涨期权时,当标的价格上涨时,所有行权价的看涨期权都会变的更价内,即Delta值是增大的,造成期权的权利金加速上涨(不考虑时间和波动率的影响),赚钱越来越快,所以Gamma都是正值。

当你卖出看涨期权时Delta是负值,当标的价格持续上涨时,因为Gamma的关系买期权的人会越赚越多,对应的卖期权的人亏损越来越大,即Delta会越来越负,所以卖出期权的Gamma是负值 。是天使也是魔鬼。


同行权价看涨和看跌期权Gamma值是相同的由于期权的平价关系(相同月份、行权价的看涨、看跌期权之差等于标的价格减去行权价的现值),同一月份相同行权价的看涨期权和看跌期权Delta的绝对值之和总是1。即如果看涨期权的Delta增加,看跌期权的Delta必然会等量减少,否则就会出现套利机会,所以它们的Gamma值是相等的。


平值期权的Gamma在各行权价中最大Gamma通过影响期权Delta来改变期权价格,Gamma越大代表Delta越不稳定,而平值期权正好处于可行权的临界点,介于可行权和不可行权之间,最不稳定,Gamma最大。对于深度实值和深度虚值期权来说,行情小幅度的变化对期权的行权概率影响不大,Delta变化小,所以Gamma较小。

越临近到期平值附近期权的Gamma会越来越大下图表示的就是当到期日等于90天、60天、30天和10天时,不同行权价的Gamma分布,可以看出越临近到期,平值期权附近的Gamma会上升,深度虚值、实值期权的Gamma会下降。

这是因为在到期时平值期权变为实值期权就有价值,变为虚值期权就无价值,期权的价值变化会很大,自然Gamma也就要越大。而深度实值、虚值期权的行权状态都基本确定了,Gamma的影响自然就比较小。





Gamma与期权中性策略
这一段比较复杂,这次先开个头。

在期权中性策略中,通常使用标的资产“复制”期权头寸去对冲掉组合的Delta,从而通过其他因素的暴露去赚取利润。

而线性金融工具像股票或期货的盈亏是没有“曲度”概念的,上涨1点就是赚1点,所以对于它们来说是没有Gamma属性的,因此在期权对冲组合中Gamma就是主要的赢利点或者风险点。

再回到经典公式:


假设买了一手豆粕看涨期权,并通过做空Delta的豆粕期货去对冲掉组合的Delta,同时我们假设波动率不变,其他因素不变,那么上式就转化成.



对买入期权来说,Theta都是负值,也就是说通过连续对冲,组合的盈亏取决于标的资产的实际波动率与每日时间价值的损耗。即在有对冲的前提下买入期权做多Gamma等于付出期权的时间价值去换取标的资产的实际波动,卖出期权并对冲做空Gamma等于承担期权的曲度风险(看错加速亏损),获取期权的时间价值。
在上式中省略了波动率的影响,因为根据BSM的假设,期权的波动率是一个常数,既然是常数就不会对组合有影响,可是真的可以省略么?之后介绍Vega的时候在详细分析。

期权业务部 沈卓飞 投资咨询号:Z0014628
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