如何计算利率的波动率？

我们老师上课讲过计算股价收益率的波动率，就是对前后两期价格之比取对数算出对数收益率，然后求标准差就好了。我想问一下在求利率的波动率时候还需要用前后两期利率之比再求对数吗？我觉得利率本来就是收益率啊，直接对原本利率的值求标准差不就是利率的波动率了吗？

热心的回应 · 2019-6-29 01:29:06

这个问题看似简单，实际上牵涉到的知识和模型的要点很多。
首先，与作为单一标量的股价不同，利率因为存在期限结构因而更为复杂，并且在一般情况下，利率也不是一种可以直接交易的金融产品，平时市场上常见的利率产品如债券，互换等等其实都是利率的衍生品。
利率波动率的定义，取决于怎样的定义才能准确的刻画利率和利率波动的市场行为。最简单的定义当然是利率值的绝对波动，称为normal vol或者bp vol （假设已经通过合适的测度变换将drift term去除，后文的表达式将仅含有diffusion term):

实践证明，在利率不太低的环境下，normal vol是一个合适的度量。其所隐含的利率分布类似于正态分布。当然，这一分布在低利率下是存在问题的(自然也有其优点，考虑到近几年负利率的常态化）。因此在利率较低时自然人们倾向于另一种波动率的度量，也就是lognormal vol或者percentage vol:

这里隐含的利率的分布是对数正态分布。
在利率市场中，人们往往关心波动率随着标的量(这里为利率)的变化，也就是
, 称为波动率的 backbone。根据波动率的性质，又可以将backbone分解为ATM backbone和skew backbone，分别刻画ATM vol以及vol skew随标的量的变化。
Backbone 的存在和建模，对于资产的动态对冲(dynamic hedging)非常重要。特别的，由于backbone的存在，导致期权价格对于标的的一阶导数也就是Delta发生了“泄露”，其一部分贡献被Vega通过backbone 占去：

其中
为标准模型（如BS）给出的期权价格。
对于lognormal backbone, 其隐含波动率（ATM/skew）不随标的量的变化而改变，其backbone对于spot是一条水平直线。
对于normal vol, 隐含波动率（ATM/skew）随着标的量的增加而递增，其backbone为一条上升的曲线。
大多数情况下，模型需要同时考虑两种“成分”：

当
和
时模型分别退化为normal 和lognormal vol.
更一般的情况，可以用CEV模型刻画利率的变化：

当我们用另外一个随机过程去刻画vol of vol
( 同时考虑其与
的相关性)时，就得到了著名的SABR模型。

热心的回应 · 2019-6-29 01:29:07

Good question.
The reason you would take the difference of log of price for equity is that the fundamental assumption for equity price evolving process is 'Geometric Brownian Motion'. Not the same for interest rate. (when variable x follows GBM, its log follows BM)
For interest rate (instant forward rate is the focus of modeling here), empirically, (as a commonly accepted assumption among the practitioners) the properties of its evolving process is characterized as:

When approaching/ around 0%, interest rate tends to follow a GBM process
When far from 0% or when 0% is not a benchmark anymore ( as in the case of Japan and Europe), interest rate tends to follow a Brownian Motion process.

As a result, the most simplistic model would be to assume it follows a * GBM + b * BM
where a and b are weights for respective process and is a function of the itself. This translates into some statistical differential functions. But this is not the only way to model it.
In trading, people use both terminologies at the same time, while specifying if the quote was 'black vol' (which is calculated using log diff) or 'normal vol' (which is calculated using difference). They are not inter-changeable but could be converted pretty easily given a curve and model parameters.
Hope it helps.

热心的回应 · 2019-6-29 01:29:08

在 @Steven Li 回答的基础上，黑猫想谈一点这些模型之间内部的关联和结构。
利率的波动率是什么取决于讨论的”利率“是什么，而”利率“是所选参照物，产品和模型
1.对于瞬时短期率r_t，他的波动率是构建利率产品时的一个中间产物，构建方法取决于你所选的框架。因为它是一个中间产物，一般除非专门假设一个模型然后去校准，否则即不会看到它也不会用到它。
2.对于远期率f(t, T), 他的波动率在HJM框架下是r_t的复合产物之一。但是对于其他产品而言（债券，cap/floor， swaption），它也是一个中间产物。所以除非专门用模型然后去校准，也是既不会看到它也不会用到它。
3.对于Libor（一种特定形式的远期率），是有对应衍生品，甚至是可以视为单独的Underlying的。因此即可以根据underlying的历史数据去估计他的波动率，也可以用它对应的vanilla产品caplet（一般是多期形式cap）去校准（一般采用的是后者，因为Libor虽然可以视作underlying，有报价，但是一般不会被单独交易，其衍生品cap/floor反而广泛流通）。当然如果走了前两个率的步骤，也可以在特定框架下（LMM）去构建出他的波动率，但是实际意义远不如直接从underlying和其衍生品估计出来的有意义。
这里不继续提swap，因为swap rate不作为一般意义上的利率处理
当明确了讨论的是哪个率，估计波动率的目的是什么，以及所选用的框架后，可以参照 @Steven Li 的回答。
最后如果要回答题主的问题，上面这几个率都不是直接计算出来的，而是根据这些选好的东西然后用对应产品校准出来的。这就牵扯到太多了，选用的dynamic，对应的产品，calibration目标函数的设置以及优化……就不是一个简单的问题了

热心的回应 · 2019-6-29 01:29:09

波动率的含义取决于所选的模型，简单的看，对价格去log return,对收益率取diff，去掉unit root以后就可以建模了.
具体的话模型选取取决于产品和目的，风控和前台用的模型不一样，swaption和callable bond的模型不一样。
参考下面9种short rate model,既有dr(t)，也有d ln r(t).
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Short-rate_model

热心的回应 · 2019-6-29 01:29:10

可以参考

“Step 1: Calculate yield change ratios as follows: YCR t = r t / r t-1 The yield change ratios are typically daily ratios (i.e., today’s yield or interest rate divided by yesterday’s) that are annualized later at a later step in the process.

Step 2: Convert yield change ratios into a continuously compounded return (Xt) as follows:

X t = ln YCRt

Step 3: Calculate the average of continuously compounded returns (X t) for the time period.
Step 4: Sum the squared the differences between the individual continuously compounded rates of return and the average calculated in step 3.

= Σ(X t – X average)2

Step 5: Divide the sum of squared differences by the number of time periods minus 1.

= step 4 value / (n-1)
In the context of statistics, this value represents the yield variance

Step 6: Take the square root of step 5 to arrive at a periodic (commonly daily) standard deviation (σ daily) for the bond’s yield. This value represents the percentage of the yield’s daily standard deviation and not the actual basis point standard deviation.
Step 7: Annualize daily percentage standard deviation.

σ annual = σ daily × √num. of trading days per year

The annual standard deviation of a bond’s yield is equal to the daily standard deviation multiplied by the square root of the number of trading days in a year.
The convention is 250 trading days per year.
This value reflects the percentage standard deviation of the yield, not the basis points standard deviation.
Step 8: Compute the basis points the standard deviation of the bond’s yield.

σ yield = Yield * σ annual
This value will reflect the standard deviation in terms of basis points around the current yield of the bond. ”
How to Calculate Interest Rate Volatility? - Finance Train

如何计算利率的波动率？

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