期权交易随笔

　　封面图是2008年1月2日韩国财政部长权五奎在韩国交易所新年开市庆典上给牛带花环（比xiaogang赶牛更带画面感吧，天朝其实可以考虑效仿……）。2008年股民等来的不是慢牛，而是疯熊，韩国股市在2008年9-11月发生的一切对Variance Swap的交易产生了深远的影响。
　　（本文原创：伽玛交易员
　　微信号：gammatrader）
　　（本章前半部分公式略多，不喜欢公式或者已经知道variance swap基本结构的可以直接往后翻到市场部分。）
　　我们在第一章提到了，一个delta hedged vanilla option的realized pnl实际上是一个对$gamma的积分

　　对于vanilla option来说，$gamma是一个随股价和时间而变动的东西，所以realized pnl是路径依赖的，虽然realized pnl和realized vol有关，但是我们没有获得一个只和realized vol相关的payoff。很多市场参与者希望有一个纯粹的赌realized vol的工具，90年代诞生的variance swap就是一个产品。

　　其中AF(Annualization Factor)在大部分合同中都是252。
　　我们从上述公式中可以看到，该产品的payoff只和(future) realized vol（更准确地说是realized variance）有关，其他都是常量。这是一个非常纯粹的产品。实际上我们从上面的delta hedged option realized pnl就能看出，该公式里包含的是daily realized vol的平方，也就是daily realized variance，daily realized vol从不单独出现。回忆期权定价公式中，我们看到和implied vol相关的项其实永远都是variance (implied vol^2 * T)，所以从数学直觉上来说variance swap是vanilla option的一个自然延伸。另一方面来说，为了实现gamma hedging pnl只和realized vol有关，我们实际上需要一个constant $gamma，如果$gamma和股价、时间都无关了，我们就获得了一个variance swap，如果我们能交易任何strike K上的vanilla option，通过适当调整权重，我们就能获得一个constant $gamma profile，这个权重实际上是1/K^2。
　　这个公式的严格证明是来自于Peter Carr和Dilip Madan在1998年发的一篇paper，在Black-Scholes世界里任何一个二阶可导的欧式产品，都可以用一连串欧式期权来复制。具体到variance swap上面，我们需要一系列OTM call和OTM put，每个期权的权重和它的strike的平方成反比，就能完美复制variance swap了。具体数学证明可以看参考资料的79-83页。
　　Variance swap的定价和复制的前提假设其实是非常弱的，它只需要股票是一个diffusion process（没有jump）。因为欧式期权就能完美复制variance swap，volatility具体的模型对于定价是没有作用的（因为任何一个volatility模型中都是假设欧式期权价格已知，模型需要能重新还原市场的欧式期权价格）。
　　Variance swap是笔者最喜欢的交易工具之一，因为它是一个最纯粹的赌volatility/variance的产品，它在数学上具有一系列优美而良好的性质：
　　（为了防止混淆，请牢记在variance swap payoff中，fair strike和variance notional是常量，future realized vol是变量）
　　A) 根据variance swap的定义，对于(future) realized vol这个变量求一阶导我们可以得到variance swap的vega

　　B) Variance swap的价格使用了所有strike的vanilla option，所以它实际上是综合了整个volatility smile的信息，该价格和skew/kurtosis的关系根据不同的model有略微不同的结论，一般来说skew越高/kurtosis越高，variance swap的价格和ATM vol比越贵。
　　因为只要知道了欧式期权的价格，我们就能算出variance swap fair strike，在BBG期权定价页面OVME中，我们可以对有场内期权的任何一个标的物定价。但是在实际定价中，因为大多数时候场内期权strike不够多，特别是两侧远离ATM的tail交易量很小或者没有交易，或者是根本没有报价，所以OVME页面给出的variance价格一般不准的，往往是偏低。另外在用jump的模型中，variance swap的价格会比vanilla option replication portfolio的价格贵，所以在实际交易中，即使我们能交易大部分strike（比如SPX），交易的价格可能也是高于经典模型的价格的。

　　C) 根据variance swap的定义我们知道这个产品的$gamma是恒定的，在第一章中我们有$gamma和$vega的关系，以及$theta和$gamma的关系

　　所以如果variance swap价格的term structure是完全平坦的话，vega随时间线性递减，而theta会保持恒定。
　　D) 如果根据realized vol来画variance swap的pnl，我们得到的是一个抛物线的形状，而不是线性的。我们需要牢记根据vega amount来计算pnl只在variance swap strike附近成立。一个面试中的常见问题是如果我们long X vega amount的variance swap，strike是 K，如果realized vol最后是0的话，我们的损失是多少？肯定不是X*K。
　　E) 我们可以把variance swap payoff公式重新写成以下形式

　　从这个公式里面我们可以把variance swap近似想象成一个daily resetting ATM straddle，所以在每天收盘的时候delta归0，但在日内我们是有delta的。这个很好理解，因为假设你long variance swap，日内如果暴涨5%，如果继续上涨，当天realized vol会加大，你当天的realized pnl会继续增加，但如果跌回到前一天的收盘价的话，就不赚钱了。同样是这个公式，我们也可以看出每过去一天我们就有一部分pnl被锁定，每天的pnl的权重都是一样的VN*AF/N，这个和C)里说的vega线性递减一致。
　　Variance swap的mtm PV是由两部分组成的：第一部分是已经过去的日子里面锁定的pnl，；第二部分是是对未来的variance求期望，这个期望和strike之差再乘以剩余的权重。具体公式请查询参考资料的15-16页。
　　F) 除了日内delta，variance swap是否具有其他的delta风险呢？直观上来说，如果股价的变动不会导致variance swap fair strike的变动的话，variance swap本身是没有delta的。这个其实就回到了第二章我们说的volatility surface dynamics了，股价涨跌是否会导致整个volatility by strike的变动。Jim Gatheral的一篇文章中提到，八年的数据回归显示SPX spot move导致的vol move比skew implied的平均高50%，也就是说，比如SPX 2000点的vol是20%，1950点的是24%，当SPX从2000点跌到1950时，1950点的vol变成了26%，而不是原先skew所说的24%。
　　下图是今年的SPX daily log move vs vix daily move的回归。我们暂时把VIX想成SPX 1month variance swap fair strike。横轴是今年每天SPX log move，纵轴是当天VIX的数值变化（不是log move）。我们可以看出，今年以来，SPX每动1%，VIX的水平要在反方向动1.24左右。

　　事实上variance swap fair strike和股价本身的负相关性在大部分市场都存在。但是这个相关系数和回归当中的beta不是一个稳定数值。比如对于SPX，过去20多年的相关系数在-45%~-95%之间。
　　如果对于券商在对冲variance swap的时候，因为这种关系他们需要进行delta对冲，比如上图中beta = 1.24，如果short spx 1month variance话，券商所需要持有的SPX空头头寸（这个delta叫做skew delta）就是

　　但因为correlation和beta都不稳定，skew delta的对冲在实际交易中比较麻烦，需要交易员结合市场情绪和对市场走势的判断做出决定。skew delta对冲是用来缓解variance swap头寸每天的mtm pnl，variance swap日内delta对冲决定了该头寸最后的realized pnl。
　　从另一个方面来看，我们其实也可以用variance swap来赌市场的方向，使用variance swap的话有时候胜率还要比做股票本身或者用risk reversal高一些，因为在大部分时间variance的价格都是远高于realized vol的。
　　-----------我是猴子搬来的分割线----------
　　**********************************
　　公式暂时告一段落。我们来聊聊市场。Variance swap在90年代中期就出现了。最早是作为exotics来交易的，高盛在早期为variance swap的发展做出了大量贡献，参考Derman小组发的一系列经典文献。在2003年末，CBOE在高盛的建议下，把用了10年的VIX的定义从不同strike上的implied vol的简单平均变成了1 month variance swap fair strike（参考CBOE白皮书），并且在2004年初启动了VIX的期货和期权市场（VIX期货和SPX期货一样，几乎24小时交易），这使得variance swap市场的流动性大大增加，并且到后来成为了和vanilla option一样的flow products。目前股票、外汇和大宗商品均有variance swap市场。
　　VIX的定义是 1month constant maturity variance swap fair strike，但是VIX期货和期权产品并不是像variance swap结构一样以VIX^2为交易标的，而是以VIX自身为交易标的，所以在定价中需要做一些convexity adjustment。VIX产品的种类在美国极度丰富，除了常见的场内场外期货和期权，还有各种基于VIX的ETF。在08年之后VIX产品的流动性持续提高，现在每家券商都有专门的VIX交易团队，VIX也是很多美国volatility fund的核心交易品种。在欧洲（V2X）、日本（VNKY）、香港（VHSI）和韩国（VKOSPI）都有和VIX类似的指数，但是相关产品流动性很差，这个跟股指期权市场的成熟程度有关。以后有机会我们再来聊VIX。
　　Volatility swap是基于realized volatility的一个线性产品，在直观上很好理解，根据Jensen不等式，volatility swap fair strike不大于同样到期日variance swap fair strike。在实际交易中volatility swap流动性极差，因为无法进行static hedge，而且定价和对冲严重依赖模型和一些高阶参数的有效性，除了SPX之外其他指数很少交易volatility swap。在Bloomberg的DTCC数据页面SDR中，我们可以查到每天美资行交易的OTC option/variance swap/volatility swap。在下图中我们可以看到今年3月16日SPX variance swap的交易情况，目前DTCC在Bloomberg上的数据有点混乱，Notional一栏有些人填的是vega amount，有些人填的是variance amount，而Price一栏，有些人填的是fair variance strike，有些人填的vol。但如果点Vol Swap的话，可以看到除了SPX几乎没有其他指数的交易。

　　Variance swap是一种纯粹的vol play，基于该产品的主要交易策略有

　　赌 (implied) volatility变动，或者赌implied vs realized vol的差别(P-Q arbitrage)
　　Carry strategy，因为variance swap价格在绝大部分时间高于之后相应时期的realized vol，所以short variance swap是一种很流行的赚carry的策略
　　Tail risk hedge，正如前文所提到的SPX和VIX的负相关性，而且payoff非线性，不少equity/macro fund通过购买variance还保护自己的其他头寸
　　Relative value，通过交易不同pair的variance swap spread（买一个variance卖另一个variance），往往比直接赌volatility的Sharpe ratio更好
　　Term structure arbitrage，跟利率交易类似，在variance曲线上有很多forward variance mispricing的机会
　　Dispersion trading，一般是long single stock variance vs short index variance，后面的章节会提到
　　Convexity trade，因为variance swap的replication要用到所有的strike，而两侧远端极度OTM strike在市场中是没有交易的，如果通过交易variance swap vs vanilla option的话，可以达到交易convexity的目的

　　券商卖出variance时最大的风险是无法完美static hedge，所以出现尾部极端事件时，券商往往会short gamma。而买方交易的variance swap一般不是quanto的，所以在做backtesting时，需要把汇率对于最终的pnl影响考虑进去。
　　在谈论具体交易实例前我们先说说开篇提到的2008年在韩国市场发生的改变variance swap市场的事情。
　　在欧美市场上variance swap大范围的流行是2002年熊市之后开始的，因为高盛几篇极具影响力的notes的广泛流传，以及2004年后VIX产品的发展。在2006年时，发达国家股指variance swap的bid/ask在0.4~0.6个vol左右，个股在2个vol左右。
　　而同一时期在亚洲，韩国的结构化产品在2003年获得监管机构的批准而出现爆发性的增长，香港的结构化产品市场也随着05年A/H股牛市的启动而出现井喷，在亚洲的结构化产品中券商是long vega的，券商为了对冲vega头寸一般都会卖出一些vanilla option，一般比较理想的对冲方式是卖downside put（我们会在后面的一章中详细分析典型的亚洲结构化产品），但是在牛市中无论是trade vol还是trade direction的基金都不想买put，有些券商不得不自己留存大量的vega头寸。vol在牛市中持续下行，某券商在2006年曝出亚洲结构化衍生品交易台的大幅亏损应该就是因为vega头寸太大。为了解决这个问题，不少券商“创新性”的提出向对冲基金卖variance swap。Variance swap这一结构对冲基金很喜欢，买方使用variance swap来交易volatility非常简洁直接，也非常纯粹，同时不用自己来做delta hedging，而且券商为了对冲vega，卖出的不仅有股指的variance swap，也有大量的个股variance swap。当时不少券商给出的个股variance swap报价bid/ask只有1~2个vol，事后来看这几乎是疯狂的，因为亚洲市场的股票交易成本对于券商（做市商）来说也远远高过欧美，所以delta hedge的成本特别高，而且理论上要复制variance swap要用vanilla option bid/ask vol计算variance swap bid/ask，亚洲的个股期权在30% OTM之外是几乎没有交易的，所以用1~2vol的bid/ask显然远远低估了个股的尾部的理论bid/ask宽度。当时交易这些variance swap的买方主要是新加坡、香港和美国的几个对冲基金，其中以新加坡的那家头寸最大，事后估算该基金占据了当时券商和客户间60%以上的variance swap交易量。通过这些交易，上述的1、3、4、6、7策略都能实现。
　　市场上买方和卖方都赚钱的局面持续到了2008年年中。大部分亚洲股票市场有涨跌停的设计，其中以韩国（15%）和台湾（7%）最窄。我们之前提到券商需要对冲variance swap的日内delta：如果券商short variance swap，当天股票跌了，券商日内需要卖出该股票，防止股票进一步下跌，收盘的时候需要买回该股票，因为日内delta归零；而与此相反，当券商long variance swap时，如果日内股票跌了，日内需要买入该股票，收盘时卖出。如果股票日内或者收盘时封死在涨跌停上该怎么办？2008年8月，伴随BDI指数的下跌，韩国的造船股出现了第一次跌停潮。这时候卖方的交易员开始和法务部门研究一份以往从来不看的文件——ISDA 2002版主协议。
　　ISDA里面规定的特别含糊，大概的中文意思就是：如果出现交易中断（market/trading disruption），当天的不计入variance swap计算，用之后第一个没有交易中断日子的收盘价来计算variance swap的realized vol。
　　这个是什么意思呢？假设一个券商short variance swap，当天股票接近跌停时，如果你不卖出你的日内delta，当天收盘在跌停-15%，你的日内delta是不会消失的，它会带入第二个交易日，因为当天不算，等于是把当天和第二天合并成一个交易日，所以第二天开盘你还是long delta的，如果你不做日内对冲，而当天收盘假设跌5%的话，在realized vol计算中你不是分别有一个-15%和一个-5%的交易日，而是合并成为一个-20%跌幅的交易日，这个杀伤力对short variance的券商太大了。
　　自从发现这一点之后，再加上雷曼破产后市场暴跌，在韩国股票市场上磁吸效应急剧加强，因为当时大部分券商都short个股variance swap，同时大部分券商short gamma，因为囚徒困境，为了先于其他券商在封跌停前卖出日内delta，大量股票在市场开始下跌后很快封死跌停。10月份韩国两次出现一半以上成分股跌停，还有一次股指期货熔断（日内跌-10%）。
　　当时券商之间还出现了关于什么是交易中断的争议：一个股票日内跌停持续了几秒钟算不算交易中断？股票收盘时收在跌停但是全部卖单都被fill了，算不算交易中断？在指数上这一定义更加含糊，ISDA主协议的定义是如果当天股指期货正常交易，需要指数里权重总和20%或以上的股票出现交易中断（事实上的确有不少人是用一篮子个股来复制指数而不是直接交易股指期货，因为当时股指期货贴水太深了），当天指数才算交易中断。那么20%权重用当日的实时权重还是前一天收盘时的权重？如果同时有成分股涨停和跌停怎么办？不同券商在指数variance swap上的头寸不如个股一致，而某些交易日是否定义为market disruption会极大的影响最后variance swap payoff的计算，所以当时市场上为某些日子算不算指数交易中断吵的不可开交。
　　ISDA当时召开了多次电话会议，会议的结果在ISDA网页上发布了，大家有兴趣的话可以参考2008年10月~2009年3月股票衍生品小组的几篇声明。这个可能对未来A股启动variance swap市场有重大的参考价值。
　　2008年其实是variance swap大规模交易以来第一次的压力测试，在个股variance swap上面的巨大损失、各种管理的混乱、交易策略的失误（用short variance对冲结构化产品的vega是一个很差的策略）导致个股variance swap在08年之后的亚洲市场上几乎绝迹（在欧美市场上经过2010~2011年的风暴，个股variance swap也绝迹了）。这期间暴露出来的各种问题也让券商重新反思如何改进风险管理和交易策略。股指的variance swap还是有继续交易，但是流动性有明显的下降。
　　我们下面说三个variance swap的交易实例。
　　我们上面说的策略2)在参考资料中有一个实例，JPM测试一个在1990年~2006年期间持续卖出一个月SPX variance的策略，每次卖出的vega为AUM的0.5%。16年间策略累计回报超过640%，总体的指数看起来不错（JPM给出的年化回报有点问题，应该是13%左右）。

　　但是所有carry strategy都有一个尾部风险，如何有效的对冲这个尾部风险是关键。尾部风险的特征是发生频率低，所以观测点有限，我们很难知道尾部风险的具体分布是什么，如果我们持续使用JPM这个策略，在2008年会有将近60%的回撤！事实上有很多公司在2008年前发了基于这种简单卖出variance swap的策略的ETF，在2008年投资者蒙受了巨大损失。如果继续使用这种策略，2008年11月之后表现会恢复“正常”，但是去年8月~9月间又会有将近40%的回撤。许多2009年之后创新的short variance carry strategy都加入了一些控制尾部风险的filter，常见的有：只在variance或者realized vol低于某个水平或者moving average时卖出variance；判断市场方向是否有下跌的momentum，如果有就提前unwind；加入credit signal（因为08年危机由credit market引发，简单的backtesting会产生一些不错的但是overfitting的结果）等。
　　笔者个人比较喜欢用(forward starting) variance swap，也就是说交易variance swap term structure。因为和spot market一样，很多玩家参与vol/variance trading的时候只会看到outright vol level而忽视了曲线中间隐含的forward vol/variance是否合理。我们在第二章举过一个SPX的例子，那个例子用的vanilla option，严格说来vanilla option交易forward vol并不方便，最后的realized pnl也可能偏离预期。用forward starting variance swap是最干净的交易。
　　前文所说的variance swap都是从交易后的第二天立刻开始计算realized vol，但是和利率一样，我们可以交易forward variance，而且variance swap结构的有点使得这个非常容易实现。比如买入一个1month forward starting 2month varianceswap，就是买入一个月后开始计算的之后两个月（第二个月+第三个月）realized vol的variance swap，这个怎么实现呢？需要买入一个 3month variance swap，卖出其1/3 vega amount的1month variance swap就可以了。
　　下图是SPX 5yr5yr forward variance的变动，我们可以看到在2010年年中和2011年底有两个高点，这两个时间点附近都是非常好的卖出点位。这并不是来自于backward looking bias，请看后面的SPX 5yr realized vol和5yr outright variance的图。

　　我们看到5yr outright variance在2008年危机最高潮的时刻不过是42，而上面两个5yr5yr的高点都接近于40。再看5yr realized vol，在2010年年中回头看2005~2010年的realized vol，也就26不到，即使我们假设2008年重临，再来半年大的波动，5yr realized vol也不可能接近40。但是为什么5yr5yr forward variance会高过于2008年的高点呢？这是因为在在美国有大量的保险公司需要买长期的index put，在08年之前券商可以卖给保险公司long dated index put，同时通过PCA分析，买入3~5年左右的的中期put来对冲。但是08年金融危机之后，因为监管的改变，券商无法作为对手方来short long dated vol，这导致长期的vol居高不下，而在短暂的恐慌过后，中短期的vol下降很快，所以导致5yr5yr出现这种机会。这类机会被称为liquidity constrained arbitrage。Short 5yr5yr需要持有多年来实现收益，而且中间会有mtm noise，所以一般的对冲基金做不了，能做的只有一些long-term sticky money，比如主权基金。
　　第二个term structure trade来自于去年的HSCEI。去年6月股灾期间，因为短端的vol剧烈抬升，HSCEI 3mth3mth forward variance反而有下行的趋势，跌到了26~27之间。

　　笔者的观点一直是联储在08年后第一次加息会对全球市场造成巨大震撼，在9月或者12月加息前后，市场一定会迎来一次大的波动，所以一直想找机会入手3mth3mth forward variance（或者更准确地说是Aug-Dec forward variance）。如果我们看2014年HSCEI implied/realized在金融危机后的绝对低点，会觉得在这个水平买有点亏。但是我们如果撇除这个时期，看其他时期的HSCEI 3mth outright variance的话，26~27这个水平并不算贵。而且variance要3个月后才开始计算，现在不会立刻开始锁定pnl，即使realized vol下来了，对我们也影响不大，我们的风险在于3个月以下的vol继续上行，或者整个市场恢复平静，整体vol水平剧烈下行回到2014年的低点。笔者当时的判断是联储第一次升息的时间越来越接近，即使A股救市成功，牛市继续，因为联储升息会导致全球volatility水平上升，也就是说我们会迎来6年以来第一次volatility regime shift。所以基于上述的判断笔者果断入市。

　　但是猜中了开头没猜中结尾，811央行宣布人民币贬值，之后全球股灾，8月24日晚上美股熔断，这个是大大超出了笔者的意料。而且当时有新的市场信息：因为券商之前一两年卖了大量的variance swap给欧洲的保险公司和对冲基金，股市暴跌后券商short skew导致市场出现恐慌性short cover，那一周HSCEI 3mth outright variance飙升到了50以上。这个trade退出的技巧看的是对市场情绪的把握，假设500k USD vega，27进入，50退出的话，获利将近18mio USD，中间最大回撤不超过1mio USD。实际过程中如果偏保守操作的，获利应该比这个小一些。
　　我们在后面几章会讲述4)和6)这两大类策略。
　　参考资料
　　如果在网上搜Variance Swap的资料，Derman在GS时期发的note以及JPM在05-06年的note是出现次数最多的。这其中JPM在2006年11月发的note是集大成者，综合了Derman 1999年在note、Bossu 2005年的note以及Gatheral Volatility Surface一书中的精华，并且配有详细的数值案例。这种手册型的量化研究报告在2008年之后已经很少见了，而且很多做卖方衍生品策略的都转行做structuring了。虽然里面错过了2008-2011年这段时间发生的一些极端案例，但是基本上覆盖了Variance Swap的方方面面，用起来的时候补上过去十年的市场数据就比较完整了。
　　Peter Allen et al, JPM European Equity Derivatives Investment Strategies No. 28: Variance Swap

　　http://quantlabs.net/academy/dow ... ariance%20Swaps.pdf