如何快速解决高中数学的立体几何题？

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:14

谢邀！很多同学觉得立体几何很难，看到题目往往无从下手。而很多老师也宣称要学好立体几何需要具备所谓的“良好的空间想象能力”。看起来似乎很有道理，其实经不起推敲。在我看来，这种归因，说难听些，很有误人子弟之嫌。
什么叫“良好的空间想象能力”，这本就是一个模糊的概念。用一个未界定清楚的概念去解释一种现象是极度不负责任的，这导致的后果就是很多学生潜意识会做出这样的推理：
1) 我的立体几何学不好 ->
2) 因为我没有良好的空间想象能力 ->
3) 良好的空间想象能力应该是天生的 ->
4) 因此我立体几何学不好是天生比别人在这方面“笨”->
5) 因此我再怎么努力也是徒劳的。
而很多老师地教不得法，让那些努力学习了的孩子仍旧取不得进步，于是，他们就更加相信上面的推理了，最终成为恶性循环。
在这里我想告诉这些努力了但没有收到效果的同学们一个好消息：不是你没有天分，而是你一直被错误地教导，你自己也在错误地归因，仅此而已。
事实上，你只要学好本质教育的三招中的第3招-盯住目标和第1招-翻译就可以解决高考难度的所有立体集合题目了。我用两道高考难度的例题带领大家学习下这两招，并说明如何灵活地运用他们。

我希望同学们在看我的分析前，先自己试着解答一下，看看你能否做出来，如果做出来了，看看能否一题多解。）
在我们开始分析之前，我们先来了解下本质教育数学第3招 – 盯住目标。事实上，任何解题的过程都是在已知（前提）和未知（结论）之间构建一个桥梁。我们把未知或者题目要证明的结论统称为目标(purpose)。解题的高手很清楚“有的放矢”这几个字，我们往往不仅仅从已知出发正向构建桥梁，而是反过来从目标出发，反向构建桥梁：

在这个不断更新目标的过程中，我们反复问自己：盯住目标 – 你能联想相关的定理，方法，定义吗？你能试着把目标和已知，前提结合吗？ 这就是不断地调用学习过的知识的过程。
这第三招这样看起来很抽象，我们通过例1来说明就会清楚多了：
例1的第一问的目标就是求证EF
面GMC，这是一个求证线面垂直的问题。
我们利用第三招，从目标出发，问自己：盯住目标 – 你能联想相关的定理，方法，定义吗？
事实上，整个立体几何第一章空间的直线和平面的绝大多数定理可以用下图来总结：

换句话说，要证明线面垂直，我们应该根据此图联想出以下几个定理：
（1）线线垂直->线面垂直：若直线若直线
与平面
内的两条相交直线垂直，那么
（2）线线平行->线面垂直：若直线
与平面
垂直，直线all

a
（3）面面垂直->线面垂直：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
而联想出这3个定理，其实也对应着3种不同的证明方法：

(还有别的解法吗？你能够联想不同的定理吗，你能够用另一种方法“翻译”这个问题吗？提示：空间向量)
回顾我的解题思路，用到了所谓的“空间想象力”了吗？完全没有！

通过例2，大家应该知道这些辅助线不是胡乱猜出来的，而是根据我们的第三招，有的放矢的找出来的！联想不同的定理，我们有不同的证明方法！我们用到了所谓的“空间想象力”了吗？还是没有。
这两题就是高考所能考察立体几何的难度，我们不仅能做，还能够用多种方法求解，这就是我们本质教育三招的妙处，而这3招正是数学哲学的一部分，是一流数学家解决问题的思维方式。学习这三招就和游泳类似，你在岸上看我如何游泳是永远学不会如何游泳的，你必须下水，哪怕呛一两口水也好，这样才能知行合一。
同时推荐我的另外两篇文章：
Zeyu(李泽宇)：为什么我的数学成绩无法提高
Zeyu(李泽宇)：如何学好高中数学 ——我的经历与启示

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:15

谢邀。
高中立体几何一般不会考太难得题，而且考点相对集中，所以刷题是有效的。
重点放在平行垂直关系上，一般情况下，利用平行垂直关系可以把各种问题转化为已知结论。
不少人说学习立体几何需要神秘的立体感，立体感好的学起来就可以事半功倍。我从高一学立体几何开始，到大学画法几何考满分结束，立体几何没有错过一道题。在别人眼中，我就是那个立体感超强的。但自己的底细自己知道，我根本没有什么天生的立体感，只是比别人先走一步而已。我五岁的时候，我叔给我画了一个斜二测画法的火柴盒，我当时感觉异常兴奋，一笔一笔照着画，刚开始连线的角度都掌握不了，大概画了十几个盒子，才掌握了几条线的角度，但是掌握不了比例，画出来的盒子胖瘦高矮完全失控。之后一段日子，只要有时间就会画几个盒子练手，前前后后大概画了有上百个，才慢慢掌握几条线的比例，画出来像一个火柴盒了，也可以画出自己想要的高矮胖瘦。小学三年级的时候，我们刚从学校毕业的美术老师，教我们画平行透视、成角透视，在画火柴盒的基础上，学这个就不算太难。等上高中学立体几何，一切就势如破竹了。
对于想学好立体几何的童鞋，我建议从头开始，把立体几何课本中的定理仔细推导一遍，努力把图形画的好看一些，多观察周围的空间结构，例如墙角、盒子、翻开的书什么的，思考怎样用平行垂直的线条把框架搭起来，逐渐积累自己的立体感觉。速效莫求，小利莫争，这是学习应该保持的心态。
希望这个回答能对你有所帮助。

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:16

这种问题有什么好问的...
直接选个看着顺眼的点建立空间直角坐标系，写各个点的坐标。求题目所问的平面的法向量，把所问直线也用向量表示出来，算就行了啊...
整个过程没有任何思维难度，多做几个熟练了自然就快了...
这种题一般是要秒杀的，为难题留时间。而且基础分一定不能丢。这个分还是很好拿的，不存在想不到这样的问题。熟能生巧。

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:17

看你是文理科咯
文科多做立体几何题，因为所谓立体感真的十分十分十分重要

热心的回应 · 2019-6-1 20:16:18

建系
还有记住老师总去做的辅助线类型，到时候再套用，那个能做出来就用哪个

如何快速解决高中数学的立体几何题？

5 个回复