让我们假设有一位客户有兴趣从一家交易商买看涨期权。可以作为交易中任意一方的交易商报了一个合理的卖价，然后客户买下了这个期权。我们知道期权的卖方是很危险的一方，因为当标的上涨时潜在的损失是无限的，因此交易商不会长期持有看涨的空头头寸。理想的方法是通过找到其他人来承担相反的头寸去释放风险，但大多数情况下交易商没有那么幸运。
另外一种方法是通过Put-call Parity（买卖权平价关系）来规避风险。卖出一个看涨期权的交易商需要买入一个看涨期权来对冲头寸。在平价公式c=p+S-X/〖(1+r)〗^T中，一个看涨期权多头等于一个看跌期权多头加上股票多头减去一个票面价值等于期权行权价且与期权到期日相同的零息债券。
因此，如果这个交易商买入相同行权价和到期日的看跌期权、买入股票并且卖出债券，就可以对冲掉他的头寸。与上文描述的买入一个相同的看涨期权不同的是，这种对冲方式较好因为它是静态的：随着时间推移，不需要对头寸进行调整。
Delta对冲策略
不幸的是，这两种交易通常都不能被采用。我们需要的期权可能不存在或者没有被合理定价。接下来这个最优的方法是，交易商用一个存在的并且定价合理的工具来delta对冲他们的头寸。作为看涨期权的空头，该交易商会需要另外一个工具来作为可以抵消的头寸，这个明显的抵消头寸就是一定数量的标的物多头头寸。而该多头头寸的大小跟期权的delta相关。
我们简单回忆下delta的定义：Delta=期权价格的变化量/标的价格的变化量。Delta表示相对于标的物价格的变化期权价格如何变化。准确地讲，我们应该在上面的公式用一个约等号，但是现在我们假设这个近似值是准确的。令∆S作为标的物的变化量,∆c作为期权价格的变化量，那么delta=∆c/∆S。Delta的数值通常在0与1之间。当期权到期且为实值期权时delta等于1，当虚值期权到期时delta等于0。大多数时间，delta会在0到1之间。因此，0.5通常作为delta的“平均值”，但需要注意，即使到期前实值期权的delta值也会高于0.5。
如何建立Delta对冲组合
现在，假设我们建立一个含有N_s个单位的标的物（用S表示）和N_c个单位的看涨期权（用c表示）的组合。那么这个组合的价值就是V=N_s S+N_c c，组合价值的变化是∆V=N_s ∆S+N_c ∆c；如果想要对冲这个组合，那么我们需要使V的变化量相对于S的变化量等于0。以上公式两边同时除以∆S，我们得到∆V/∆S=N_s ∆S/∆S+N_c ∆c/∆S=N_s+N_c ∆c/∆S，令这个等式等于0，并解出N_c/N_s，我们得到N_c/N_S =-1/(∆c/∆S)，即看涨期权与标的股票的数量比率是负的1比上delta。因此，如果交易商卖出一定数量的看涨期权，比如100张，他需要拥有100*Delta份的标的股票。
那么Delta对冲怎样实现呢？假设我们卖出200张看涨期权，delta等于0.5。那么我们需要持有200*0.5=100股的标的股票。假如股票下跌了一元，那么我们在标的物的头寸上就损失了100元。如果delta数值准确，那么期权应该下降0.5元。因此200张的期权总共会损失200*0.5=100元。由于我们是期权的空头，那么在期权价值上的损失实际上是盈利的。因此，期权上的盈利会弥补标的资产的亏损。如果交易商是期权的多头，那么则需要卖出标的股票。
Delta对冲的局限性
这个解释会让delta对冲看起来很简单：为每一份期权的空头（多头）持仓买入（卖出）delta份的标的股票来实现对冲。但是这其中有三个复杂的问题。第一个问题是，delta只是期权价格相对于标的价格变动的一个近似值。第二个问题是，如果其他因素变动，delta值也会改变，这两个因素分别是标的价格和时间。当标的价格变化时，delta值改变，从而影响对冲标的资产所需要的期权的数量。此外，delta也会随时间的变化而不断改变。尽管交易商可以建立一个delta对冲头寸，一旦标的价格或时间变化，这个头寸就不能被完全对冲了。第三个问题是，每个期权对应的标的物单位数量必须被四舍五入，这会导致在平衡两个相反头寸时的不精确。
上文介绍了如何建立一个delta对冲策略。我们知道，delta对冲的头寸不能长时间保持完全对冲状态，因为delta会随着标的和时间的变动而变动，因此交易商必须考虑这些因素的影响。那么我们就来了解一下标的价格和时间如何影响delta对冲。
标的价格对delta对冲的影响
首先我们看一下实际的期权价格是如何受标的影响的。假设有一个看涨期权，它的标的价格是1210，行权价格1200，无风险利率是2.75%，标的的波动率为20%，到期日120天，且标的不产生任何红利或现金流。把这些数值带入Black-Scholes-Merton模型得出期权的价格为65.88。在这个例子里，由公式算出的delta值为0.5826。
如果我们将标的价格1200和其他值不变带入BSM公式，就可以得到一个新的期权价格60.19（与之前的结果65.88相差并不大）。然而从表1中标的价格的变化我们可以看到两个趋势：1）标的价格偏离目前的价格越远，基于delta估算的近似值就越差；2）这个影响是非对称的。
具体来说，对于看涨期权，delta低估了标的价格增加的影响而高估了标的价格减小的影响。正是因为这个特性，delta对冲不会是完美的，标的价格变动得越大，对冲效果越差。此外，一旦标的价格变动，delta就会改变，就需要对头寸进行重新对冲或调整。表1中的最后一列我们用最新的标的价格来重新计算了delta值，因此交易商也需要根据这个新的delta值进行头寸调整。
时间对delta对冲的影响
下面我们来看一下时间对delta的影响。表2显示了当期权的到期日从120天减少到108天时，delta值和对冲1000份空头期权需要的标的数量的变化。一个重要的假设是保持标的价格不变，当然这在现实中不会发生，但是为了研究时间对于delta的影响，我们必须让标的价格保持不变。我们观察到在这12天内delta变化缓慢、需要的标的数量也逐渐变化。
另一个不太明显的现象是，当含小数点的标的数量向上舍入时，我们拥有的标的数量大于所需要的，这会在标的价格走低时产生负面的影响；而当向下舍入时，我们实际拥有的标的数量比需要的少，这会在标的价格走高时产生不利影响。
动态的delta对冲
标的价格变动和到期日变动的联合效应为delta对冲者带来了巨大的挑战。让我们建立一个delta对冲并且将它运行几日来观察。
还用上文中的例子：标的价格1210，期权价格65.88，delta值0.5826。假如有一个投资者向我们买入1000份看涨期权，我们需要买入足够量的标的去对冲这1000份的看涨期权空头。由于我们卖出了1000份期权，这个数字是固定的，我们需要每个看涨期权买0.5286股或者大约583股的股票。所有我们买583股去平衡这1000手看涨期权空头。这时组合的价值为：
583*1210-1000*65.88=639550
因此，想要开始进行这个delta对冲，我们需要投入639550元。为了确定这个对冲是否有效，我们需要观察这个价值在无风险利率上的增长。因为BSM模型使用的是连续复利利率，用无风险利率连续复利一天的公式为
exp( r^c/365)，其中r^c是连续复利的无风险利率。一天之后，组合价值就变成639550*exp(0.0275/365)=639598，这个值将作为我们的基准值。
现在，让我们前进一天，假设这时标的价格变为1215。我们需要一个新的看涨期权价格，而这个价格的到期日减少了一天且基于1215的标的价格。 市场会告诉我们期权的价格，但是我们没有这个有利条件去了解市场的价格。然而我们可以用一个近似的价格作为替代。通常会使用BSM模型。将标的价格1215和到期日119/365=0.3260带入BSM模型，我们可以算出期权的价值为68.55，而新的delta值为0.5966。此时组合的价值又变为：
583*1215-1000*68.55=639795
我们看到，当标的价格变动（1215-1210）/1210=0.4%且时间推移一天的情况下，组合价值与基准值相差不大，即639795-639598=197。尽管这个对冲不完美，但它仅偏离了0.03%。好高深 期待其他greek 的篇章~
身体健康~
| 
