突然看到朋友圈分享，因为之前做过S&P 100 INDEX OPTIONS (OEX)的定价研究，大晚上闲着没事儿自告奋勇答一下，数学不好所以还是侧重应用之类的。。。可能会跑偏，各位见谅。
Black-Scholes (BS) model的数学推导之前的各位大神已经说得很详细了，由于推导太长我就不贴图了 有兴趣的留言信箱我可以发你我之前financial math的教材关于BS的推导等等。
这里提一下BS model 的 assumption:
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这是non-modified BS model的 assumption， 从里面可以看出来对distribution的assumption （Brownian motion，lognormal distribution) 是一个导致BS model 出现估值不准的最主要的问题，这也是为什么后面出现了诸如jump diffusion 等等extended model。
No dividends 的 assumption在后来的modified version中有调整 所以不是什么问题。
sigma在现实生活中的选取同样决定了估值的准确性，由于volatility smile的出现， historical volatility是严重失准的，那么现在普遍都用implied volatility， 这个implied又是建立在model上面逆向计算出来的，所以不同的options，implied volatility的计算是不一样的，这个需要针对不同的options做区分 比如SPX的implied volatility可以用VIX来替代，计算方法CBOE网站上面有。当然是approximately。
由于BS model不能capture early exercising feature of American style option, 所以BS最好是用来pricing European style options, 或者用来pricing American style option who is never optimal to early exercise, 什么样的American option不会被early exercise呢， 举个例子：the All Ordinaries (AO) Share Price Index (SPI) options on futures，这是因为他的margin requirement 以及non-dividend paying 两项决定的.
下面扯扯Binomial Tree (BT) model。他的推导是建立在no riskless arbitrage opportunities,跟BS model一样。同样，数学推导这里不写了，有兴趣留言邮箱我发你。这里提一下BT model和BS model的关系，当Binomial tree model中steps approach to infinite 的时候， 算出来的结果约等于Black-scholes model的结果。由于Binomial Tree model能有capture early exercising feature, 所以更适合来pricing有这样特点的American Style options,比如S&P 100 INDEX OPTIONS (OEX)。下面贴一个BT model的VBA code：- Function AmericanCall(s, x, rf, sigma, t, n) deltat = t / n up = Exp(sigma * Sqr(deltat)) down = Exp(-sigma * Sqr(deltat)) R = Exp(rf * deltat) p = (R - down) / (R * (up - down)) q = 1 / R - p Dim OptionReturnEnd() As Double Dim OptionReturnMiddle() As Double ReDim OptionReturnEnd(n + 1) For State = 0 To n OptionReturnEnd(State) = Application.Max(s * _ up ^ State * down ^ (n - State) - x, 0) Next State For Index = n - 1 To 0 Step -1 ReDim OptionReturnMiddle(Index) For State = 0 To Index OptionReturnMiddle(State) = Application.Max(s * _ up ^ State * down ^ (Index - State) - x, _ q * OptionReturnEnd(State) + _ p * OptionReturnEnd(State + 1)) Next State ReDim OptionReturnEnd(Index) For State = 0 To Index OptionReturnEnd(State) = OptionReturnMiddle(State) Next State Next Index AmericanCall = OptionReturnMiddle(0)End Function
接下来就是Monte Carlo Simulation, 其实simulation无非就是根据historical data然后drag一个distribution出来模拟，前提是你要对distribution做assumption，又来了，又是distribution的assumption。其实不是说assumption不好，而且option这种东西非常flexible， 如果硬要assume distribution的话，个人认为不是非常适合。
这三个BS， BT， MONTE CARLO相对常常说起，那么下面我额外提一下，由于feasibility的问题 虽然这仨模型有种种问题，但是还是常常被trader使用的，因为快，因为简单，不需要测很多东西。
下面扯扯闲话，现在还有很多用non-parametric的流派，比如我导师之前用的artificial neural network (ANN), 准是准，尤其在data availability非常丰富的情况下（比如deep in the money, deep out of the money), 但是这种non-parametric模型建起来非常复杂，有很多因子需要根据sample data来决定，而且threshold也是个问题，所以并没有流传非常广泛。
看模型是否在option pricing 方面useful, 可以通过“delta" hedging 来检验这个model在hedging方面的profitability。
暂时想到这么多，水平有限，欢迎各种拍砖各种砸场各种口水....
顺便看我大半夜写得这么辛苦....给个赞呗 T-T.... |
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