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在美式期权的定价研究中，二叉树模型、模特卡罗模型和有限差分模型扮演着重要的角色。直至今日，大多数定价模型的也不过是在这三种经典模型上的变形和推广。之前我们介绍过二叉树模型的定价方法，今天我们来介绍模特卡罗模型（Monte Carlo Model）。 模特卡罗方法 假设我们需要计算一个不规则图形的面积S(a)，一般的方法是用解析法或积分法计算，但显然，这个计算的难度是和图形的不规则程度成正比的。运用模特卡罗方法我们可以这样做（有兴趣的同志们可以回家试试）： 1）引入一个容易计算面积的正方形S(b)； 2）在不规则图形S(a)和正方形上均匀的撒大小差不多的豆子； 3）数两个图形上的豆子数量N(a)和N(b)； 4）不规则图形的面积可以估计为： S(a) = [ S(b) * N(a) ]÷N(b) 容易理解，这个计算的准确性和豆子撒的密度有关，豆子越密，得到估计值越接近不规则图形的真实面积。 以上就是模特卡罗方法解决问题的思路：在计算某些较为复杂的随机变量的数值特征的时候，将问题转化为计算相对简单的随机变量，并通过计算这些相对简单的随机变量得到我们想得到的结果。通俗的讲，模特卡罗方法类似武 侠小说里的“小无相功”，模特卡罗方法是内功，用来放大使用其他“武功”的威力。 接下来的例子有助于更好理解模特卡罗模型：如何生成一组服从指数分布的随机变量。虽然我们知道指数分布的密度函数: 直接生成服从指数分布的统计量仍然是困难的。 （下面内容涉及基础数学知识不再赘述，对细节感兴趣的读者可以私下联系） 引入函数: 其中U是[0,1]上的均匀分布。数学基础知识告诉我们，服从指数分布，注意到上面的式子，服从均匀分布的随机变量是容易得到的，因此我们就将这个难题转化为： 这样，我们就通过均匀分布生成了指数分布。事实上，这也是计算机生成大部分随机变量的方法。 美式期权定价的模特卡罗模型 在美式期权的蒙特卡洛模型中，我们仍然假设股价的波动服从几何布朗运动，由于美式期权的理论价格与未来现金流的现值有关，所以不能直接应用布朗运动的性质求期末的期权价格。因此，我们把行权期限分成n1个小段，股价在每个小段上都服从几何布朗运动，因此可以依次计算每个节点的股票价格，进一步得到每个节点的美式期权的理论价格，最终计算得到这条样本路径上的期权理论价格。重复上面的步骤n2次就得到了n2个样本，平均得到的n2个理论价格就得到了模特卡罗模型的理论价格。模特卡罗模型思路清晰，操作简单灵活，这些特点是它在期权定价模型中占有重要地位的主要原因。 有得必有失，相对于之前讨论的二叉树模型，模特卡罗模型无法得到一个确定的结果，即便在n1和n2一样的情况下，计算得到的结果也是略有差异的。另外，为了得到更加精确的结果，对计算的样本数量也有较高的要求，这对计算机的计算速度提出了更高的要求。不过，在计算机日新月异的今天，模特卡罗模型灵活简单的特点越发突出，也更加为人所接受。 | 
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