二叉树方法
金融期权的二叉树方法定价是一种常用于计算期权价格的方法。该方法利用二叉树模型对股票价格的未来走势进行模拟，通过计算期权在各种情况下的收益，得出期权的预期价值。其基本原理是将期权到期日之间的时间划分为若干个相等的时间段，在每个时间段内，假设股票价格只有上涨或下跌两种可能，然后利用二叉树的数据结构来表示所有可能的股票价格走势。
在二叉树中，每个节点代表一个特定时间点和股票价格，它有两个子节点，分别代表在下一时间段内股票价格上涨或下跌的情况。从期权到期日开始，逆推回去，根据期权的执行价格和股票价格的变化情况，计算每个节点的价值。最终，通过将所有叶子节点的价值加权平均得到期权的预期价值。
在计算期权价格时，需要考虑多个因素，如股票价格波动率、利率、股息等。通过调整这些因素，可以得到不同条件下的期权价格。二叉树方法定价是一种灵活且易于理解的方法，因此广泛应用于金融衍生品的定价和风险管理中。
数学模型
金融期权的二叉树方法定价可以使用数学公式表示。具体而言，期权价格可以通过以下公式计算：
C_0=\frac{1}{(1+r)^n} \sum_{i=0}^n\left(\begin{array}{c} n \\ i \end{array}\right) p^i(1-p)^{n-i} \max \left(S_0 u^i d^{n-i}-K, 0\right) \\
其中，C_0表示期权价格；S_0表示标的资产当前价格；K表示期权的执行价格；n表示二叉树的层数，即期权的剩余期限中的时间步数；r表示无风险利率；u和d分别表示标的资产价格在两个时间步长内上涨和下跌的倍数；p表示标的资产价格在一个时间步长内上涨的概率。
在二叉树模型中，每个节点的价值可以表示为：
C_{i, j}=\frac{1}{1+r}\left(p C_{i+1, j+1}+(1-p) C_{i+1, j}\right) \\
其中，C_{i,j}表示在第i层第j个节点的期权价值。
从二叉树的叶子节点开始逆推，计算每个节点的期权价值，直到根节点。最终，根节点的期权价值即为期权的理论价格。
一个简单的例子，说明金融期权的二叉树方法定价的计算过程。
假设有一个欧式看涨期权，其标的资产为股票A。假设当前股票A的价格为S_0=50，执行价格为K=55，无风险利率为r=0.05，期权剩余期限为1年，且股票A在一个时间步长内上涨的概率为p=0.6，上涨和下跌倍数分别为u=1.2和d=0.8。
首先，建立一个包含n+1个节点的二叉树，其中n表示期权的剩余期限中的时间步数。在本例中，n=1，因此需要建立包含两层的二叉树。在第一层中，股票A的价格可以上涨到S_0u=60或下跌到S_0d=40；在第二层中，股票A的价格可以上涨到S_0u^2=72或下跌到S_0ud=48，或上涨到S_0ud=48或下跌到S_0d^2=32。
其次，计算每个节点的期权价值。从二叉树的叶子节点开始逆推，根据期权的支付方式（看涨期权或看跌期权）和标的资产价格的变化情况，计算每个节点的期权价值。在本例中，假设为看涨期权，则对于每个节点，期权价值为该节点对应的标的资产价格和执行价格之差，如果为负数则取零。
第二层中的期权价值如下所示：
C_{2,1}=\max(72-55,0)=17
C_{2,2}=\max(48-55,0)=0
C_{2,3}=\max(48-55,0)=0
C_{2,4}=\max(32-55,0)=0
接下来，可以根据公式逐层逆推，计算出每个节点的期权价值。具体而言，在每个节点上，计算出期权的预期价值，即该节点的子节点期权价值的加权平均值，再用无风险利率进行贴现。在本例中，假设为欧式期权，因此在到期前不会被提前行权。最终，根节点的期权价值即为期权的预期价值，即为该看涨期权的价格。
第一层中的期权价值如下所示：
C_{1,1}=\frac{1}{1+0.05}\times(0.6\times17+0.4\times0)=9.714285714285714
C_{1,2}=\frac{1}{1+0.05}\times(0.6\times0+0.4\times 0=0
因此，根节点的期权价值为：
C_{0,0}=\frac{1}{1+0.05}\times(0.6\times 9.714285714285714 +0.4\times 0)=5.55
因此，在这个例子中，根据金融期权的二叉树方法定价，这个欧式看涨期权的价格为5.55。
不过由于二叉树方法是一种数值方法，它的计算精度和效率都取决于离散化的粒度。通常来说，增加离散化的粒度可以提高计算精度，但也会增加计算时间。我们调整写法，改写上述模型为：
设股票价格为S_0，期权执行价格为K，无风险利率为r，到期时间为T。为了构建二叉树结构，我们需要选择一个时间步长\Delta t，并将到期时间T划分成N个时间间隔，即T=N\Delta t。然后，我们可以计算出每个时间间隔内的股票价格的波动，假设波动率为\sigma，则：
u=e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}, d=e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}, \\
其中u表示股票价格上升的乘数，d表示股票价格下降的乘数。
接下来，我们可以利用上述公式构建二叉树结构。具体地，从初始时刻t=0开始，我们从上向下构建二叉树，每个节点表示在一个特定的时间点，股票价格的可能取值。对于第i个时间间隔，我们构建2^i个节点，其中第j个节点对应的股票价格为S_j = S_0u^{j}d^{i-j}。
现在我们需要使用递归方法计算期权的现值。从最后一个时间间隔N开始，每个节点的期权价值都可以通过以下公式计算：
V_N\left(S_j\right)=\max \left(K-S_j, 0\right) \\
其中\max(x,y)表示x和y中的最大值。对于更早的时间间隔i，节点j的期权价值可以通过以下公式计算：
V_i\left(S_j\right)=e^{-r \Delta t}\left(p V_{i+1}\left(S_j u\right)+(1-p) V_{i+1}\left(S_j d\right)\right) \\
其中p=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d}表示上涨的概率，(1-p)表示下跌的概率。这个公式表明，节点j的期权价值是在下一个时间间隔中，其上涨和下跌两个子节点的期权价值的加权平均，其中权重是它们各自的概率，并且乘以贴现因子e^{-r\Delta t}。
最后，二叉树的根节点V_0(S_0)就是期权的现值。如果我们知道期权的类型是看涨或看跌，则可以根据期权的类型和执行价格，计算出每个节点的期权价值，并计算出根节点的期权价值。
波动率的计算
上面第二个模型使用了波动率，这里介绍波动率的相关概念。
波动率是金融市场中一个重要的概念，它用于衡量资产价格的波动程度。在金融期权的定价中，波动率通常是通过历史数据进行计算的。
一种常见的计算波动率的方法是通过历史股价数据计算股价收益率的标准差来估算波动率。具体地，假设我们有N个时间点的股票价格数据S_1,S_2,...,S_N，则该时间段内的股票收益率为：
r_t=\frac{S_t-S_{t-1}}{S_{t-1}} \\
其中t表示时间点。然后，我们可以计算这些收益率的标准差，作为波动率的估计值：
\sigma=\sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{t=1}^N\left(r_t-\bar{r}\right)^2} \\
其中\bar{r}表示收益率的平均值。这个方法称为历史波动率方法。
另一种计算波动率的方法是通过隐含波动率来估计。隐含波动率是一种从市场价格反推出来的波动率，是指可以使得市场上期权的市场价格与使用该波动率作为参数的期权定价模型计算得到的价格相一致的波动率。这个方法称为隐含波动率方法，通常用于期权交易中。
在金融期权定价的二叉树模型中，我们可以通过指定波动率来计算期权价格。如果我们不知道准确的波动率，可以通过历史波动率等方法来估计。但需要注意的是，波动率估计的准确性对期权价格的计算结果有很大影响。
Python实现
import numpy as np
from scipy.stats import norm
def binomial_tree_price(S, X, r, T, sigma, n, option='call'):
"""用二叉树方法计算欧式看涨或看跌期权的价格"""
deltaT = T / n # 每个时间步长的长度
u = np.exp(sigma * np.sqrt(deltaT)) # 上涨因子
d = 1 / u # 下跌因子
p = (np.exp(r * deltaT) - d) / (u - d) # 上涨概率
disc = np.exp(-r * deltaT) # 贴现因子
# 构建二叉树
stock_tree = np.zeros((n + 1, n + 1))
for i in range(n + 1):
for j in range(i + 1):
stock_tree[j, i] = S * (u ** (i - j)) * (d ** j)
option_tree = np.zeros((n + 1, n + 1))
# 计算到期时的期权价值
if option == 'call':
option_tree[:, n] = np.maximum(stock_tree[:, n] - X, 0)
else:
option_tree[:, n] = np.maximum(X - stock_tree[:, n], 0)
# 递归计算每个节点的期权价值
for i in range(n - 1, -1, -1):
for j in range(i + 1):
option_tree[j, i] = disc * (p * option_tree[j, i + 1] +
(1 - p) * option_tree[j + 1, i + 1])
if option == 'call':
option_tree[j, i] = np.maximum(option_tree[j, i],
stock_tree[j, i] - X)
else:
option_tree[j, i] = np.maximum(option_tree[j, i],
X - stock_tree[j, i])
# 返回期权价格
return option_tree[0, 0]
# 测试
S = 50
X = 55
r = 0.05
T = 1
sigma = 0.3
n = 2
option_type = 'call'
price = binomial_tree_price(S, X, r, T, sigma, n, option_type)
print('期权价格：', price)
期权价格： 5.2256196581539065 |
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