期权策略(十)

Butterfly Spread中文叫做蝴蝶式价差期权，简称碟式策略。在2019年以后的CFA三级考试中，关于Butterfly spread的知识点已经被删除，但是碟式策略在实务中算是一种比较实用和常见的策略，所以仍然单独写一篇关于碟式策略的介绍，如果有兴趣可以当作额外的学习参考，也不排除之后又重新回到CFA考试中。
Butterfly spread 策略有Long和Short两个方向，且都可以使用call或put来实现。
Long Butterfly Spread

Long butterfly spread with calls = Long Call( X_L ) + 2 * Short Call( X_M ) +Long Call( X_H )
Long butterfly spread with puts = Long Put( X_L ) + 2 * Short Put( X_M ) + Long Put( X_H )
很显然，long的是低价和高价，short的是中间价，所以可以简记为：Long两端，short中间。如果进一步拆开来看，long( X_L ) +short( X_M )+short( X_M )+long( X_H )，实际上就是之前文章已经讲解过的，Bull spread + Bear spread。
使用Long butterfly spread的原因就是预期价格不会有大的波动，从而获利；与之相对的，最大风险点在于价格出现了大幅波动；但是不管怎样，风险和收益都相对可控。
接下来，从图形上对butterfly spread进行简单的认识，

Long Butterfly Spread with Calls

Long Butterfly Spread with Puts

从上图中可以看到，不论是使用Call还是Put，最终的图形都很类似，由于图形上看上去像一只有翅膀的蝴蝶，所以形象的称之为蝴蝶策略。上图中，我们会发现翅膀左右高低都不样，其实是有意这么画的，因为发现网上搜到的图形大抵都是对称的，而对称形状也是比较特殊的。实际上，图形的状态取决于 X_M 的取值，如果满足 X_M=\frac{X_L+X_H}{2} ，这就意味着中间行权价处于最低行权价和最高行权价的正中间，行权价是等距选取的，这种情况就是标准的Butterfly Spread构建，网上基本搜到的也是这种标准形态。如果不是等距分布的行权价，这种一般叫做Skip Strike Butterfly Spread，翅膀也就高低不一样了，由于CFA并没有涉及相关内容，所以就不具体介绍Skip Strike Butterfly Spread的应用了。
下面，以使用看涨期权为例，分拆讲解标准Long butterfly spread的过程，
当价格在 X_L左侧，long call和short 两倍call的净期权费是一个常数，所以就是一条水平线，此时是左翅膀；
当超过 X_L 但是小于 X_M 时，低行权价的call已经开始处于实值状态，由于只有一份的call实值，所以是45度斜向上，此时是左腰；
当价格超过 X_M 但小于 X_H 时，中间的看涨期权此时已经进入实值状态，由于short了两份，所以其中一份与之前实值状态的call相抵消，剩下的short使得曲线45度向下，到这里就已经出现butterfly的尖头了；
最后当股价超过 X_H 的时候，最后这个call进入实值状态，这样所有的call进入实值状态，两个long与两个short互相抵消，于是又是一条水平线，到这一步右翅膀就完成了。
由于 X_M 处于正中间，且两侧腰都是45度，相当于左右两个等腰直角三角形，这样就很容易看出腰也是等长的，加上角度也都是一样，左右两边的翅膀也就处在同一水平线上，所以这样就使得butterfly spread是一个对称的形状。
如果上面的过程清楚了，进一步不难得出一下结论，
当 X_M 离 X_L 更近时，此时左侧水平翅膀要相对右侧更高，从左往右看，X_M 处多出来的那份short call跑了更远的距离才得到 X_H 处的对冲，从而右侧的亏损更大，所以更低；
当 X_M 离 X_H 更近时，此时右侧水平翅膀要相对左侧更高，从左往右看， X_M 处多出来的那份short call实现的距离变短了，因为很快被 X_H 处的long call对冲了，从而减少了右侧的亏损。这种情况在上图中已体现。
如果使用的是put，也是类似的原理去理解。
接下来开始讨论相关的计算，
Long Butterfly Spread with Calls

Expiration Value

Long call( X_L ) 到期时刻的价值为Max(0, S_T-X_L)，Short call( X_M ) 到期时刻的价值为- Max(0, S_T-X_M)，Long call( X_H )到期时刻的价值为 Max(0,S_T-X_H) 。
所以Butterfly spread的到期时价值为：
Max(0，S_T-X_L)-2\times Max(0，S_T-X_M)+Max(0,S_T-X_H) 。
Profit at Expiration

到期时的profit需要考虑付出的期权费 C_L 和 C_H 以及收到的期权费 C_M ，根据上面的式子有，
Max(0，S_T-X_L)-2\times Max(0，S_T-X_M)+Max(0,S_T-X_H)-C_L-C_H+2\times C_M 。
考虑最大收益的情况，
当 S_T=X_M 时，
Max \ Profit = S_T-X_L-C_L-C_H+2\times C_M=X_M-X_L-C_L-C_H+2\times C_M,
显然，最大收益会是一个固定的数；
最大损失发生在 S_T \leq X_L或 S_T\geq X_H 的时候，
Max \ Loss = -C_L+2\times C_M-C_H, \ \ S_T\leq X_L，
或者，
\begin{align*} Max\ Loss &= S_T-X_L-2\times (S_T-X_M)+S_T-X_H-C_L+2\times C_M-C_H \\ &=2X_M-X_L-X_H-C_L+2C_M-C_H, \ \ S_T\geq X_H \end{align*}
此时取决于 X_M 的位置，
如果X_M=\frac{X_L+X_H}{2}，最大损失为 -C_L+2C_M-C_H ，标准butterfly spread的情况；
如果 X_M>\frac{X_L+X_H}{2}, 最大损失为 -C_L+2C_M-C_H ;
如果 X_M<\frac{X_L+X_H}{2}，最大损失为 2X_M-X_L-X_H-C_L+2C_M-C_H 。
Breakeven Price

当 X_L<S <X_M 的时候，
S-X_L-C_L+2C_M-C_H=0 \Rightarrow S=X_L+C_L+C_H-2C_M,
当 X_M<S<X_H 的时候，
S-X_L-2(S-X_M)-C_L+2C_M-C_H=0 \Rightarrow S=2X_M-X_L-C_L-C_H+2C_M 。

Long Butterfly Spread with Puts

Expiration Value

Long put( X_L ) 到期时刻的价值为Max(0, X_L-S_T)，Short put( X_M ) 到期时刻的价值为- Max(0, X_M-S_T)，Long put( X_H )到期时刻的价值为 Max(0,X_H-S_T) 。
所以Butterfly spread的到期时价值为：
Max(0，X_L-S_T)-2\times Max(0，X_M-S_T)+Max(0, X_H-S_T) 。
Profit at Expiration

到期时的profit需要考虑付出的期权费 P_L 和 P_H 以及收到的期权费 P_M ，根据上面的式子有，
Max(0，X_L-S_T)-2\times Max(0，X_M-S_T)+Max(0,X_H-S_T)-P_L-P_H+2\times P_M 。
考虑最大收益的情况，
当 S_T=X_M 时，Max \ Profit = X_H-S_T-P_L-P_H+2P_M=X_H-X_M-P_L-P_H+2P_M,
最大损失发生在 S_T \leq X_L或 S_T\geq X_H 的时候，
Max \ Loss = -P_L+2\times P_M-P_H, \ \ S_T\geq X_H，
或者，
\begin{align*} Max\ Loss &= X_L-S_T-2\times (X_M-S_T)+X_H-S_T-P_L+2\times P_M-P_H \\ &=X_L+X_H-2X_M-P_L+2P_M-P_H, \ \ S_T\leq X_L \end{align*}
此时取决于 X_M 的位置，
如果X_M=\frac{X_L+X_H}{2}，最大损失为 -P_L+2P_M-P_H ，标准butterfly spread的情况；
如果 X_M>\frac{X_L+X_H}{2}, 最大损失为 X_L+X_H-2X_M-P_L+2P_M-P_H ;
如果 X_M<\frac{X_L+X_H}{2}，最大损失为 -P_L+2P_M-P_H 。
Breakeven Price

当 X_L<S <X_M 时，
-2\times(X_M-S)+X_H-S_T-P_L+2P_M-P_H=0 \Rightarrow S=2X_M-X_H+P_L+P_H-2P_M,
当 X_M<S<X_H 的时候，
X_H-S-P_L+2P_M-P_H=0 \Rightarrow S=X_H-P_L-P_H+2P_M 。
Short Butterfly Spread

Short butterfly spread with calls = Short Call( X_L ) + 2*Long Call( X_M )+Short Call( X_H ),
Short butterfly spread with puts = Short Put( X_L ) + 2*Long Put( X_M ) + Short Put( X_H )
与Long butterfly spread对比可以发现，short butterfly spread是Short两端，Long中间，也可以表述为：Bear spread+Bull spread。
Short butterfly spread主要原因是预期价格不会在 X_M 附近变动，而是处在两端，这样就可以获利；所以不难看出，风险也就是发生在价格就处在 X_M 附近。当然，Short butterfly spread策略的收益和风险也都是相对固定的。
根据构成原理，short butterfly spread的大致图形如下，

Short Butterfly Spread with Calls

Short Butterfly Spread with Puts

这次以使用看跌期权为例，分拆讲解标准Short butterfly spread的过程，
当价格在 X_H右侧时，short put和long 两倍put的净期权费是一个常数，所以就是一条水平线，此时是右翅膀；
当价格低于 X_H 但是大于 X_M 时，高行权价的put已经开始处于实值状态，由于只有一份short put实值，所以是45度斜向左下，此时是右腰；
当价格低于 X_M 但大于 X_L 时，中间的看跌期权此时已经进入实值状态，由于long了两份，所以其中一份与之前实值状态的short put相抵消，剩下的long使得曲线45度斜向左上，到这里就已经出现butterfly向下的尖头了；
最后当股价低于 X_L 的时候，最后的short put进入实值状态，这样所有的put进入了实值状态，两个long与两个short互相抵消，于是又是一条水平线，到这一步左翅膀就完成了。
由于 X_M 处于正中间，且两侧腰都是45度，相当于左右两个等腰直角三角形，这样就很容易看出腰也是等长的，加上角度也都是一样，左右两边的翅膀也就处在同一水平线上，所以这样就使得short butterfly spread是一个对称的形状。
如果上面的过程清楚了，进一步不难得出一下结论，
当 X_M 离 X_L 更近时，此时左侧水平翅膀要相对右侧更低，从右往左看， X_H 到 X_M 跑了更长的距离，这意味着损失更大，而 X_M 处多出来的那份long put到 X_L 的距离更短，这就减少了其获利空间，很快就被 X_L 处的short call对冲掉，因而左侧翅膀更低；
当 X_M 离 X_H 更近时，此时右侧水平翅膀要相对左侧更低，从右往左看， X_H 到 X_M 的距离短，意味着short put损失少，当到达 X_M 处时，多出的那份long put因为 X_M 与 X_L 距离变长，从而回血更多，这就使得 X_L 处的拐点变高，直到 X_L 处被最后一个short put对冲掉。这种情况如上图所示。
如果使用的是call，也是类似的原理去理解。
接下来开始讨论相关的计算，
Short Butterfly Spread with Calls

Expiration Value

Short call( X_L ) 到期时刻的价值为-Max(0, S_T-X_L)，Long call( X_M ) 到期时刻的价值为Max(0, S_T-X_M)，Short call( X_H )到期时刻的价值为 -Max(0,S_T-X_H) 。
所以Short butterfly spread的到期时价值为：
-Max(0，S_T-X_L)+2\times Max(0，S_T-X_M)-Max(0,S_T-X_H) 。
Profit at Expiration

到期时的profit需要考虑付出的期权费 C_L 和 C_H 以及收到的期权费 C_M ，根据上面的式子有，
-Max(0，S_T-X_L)+2\times Max(0，S_T-X_M)-Max(0,S_T-X_H)+C_L+C_H-2\times C_M。
考虑最大损失的情况，
当 S_T=X_M 时，
Max \ Loss = -(S_T-X_L)+C_L+C_H-2\times C_M=X_L-X_M+C_L+C_H-2\times C_M。
最大收益发生在 S_T \leq X_L或 S_T\geq X_H 的时候，
Max \ Profit = C_L-2\times C_M+C_H, \ \ S_T\leq X_L，
或者，
\begin{align*} Max\ Profit &= -(S_T-X_L)+2\times (S_T-X_M)-(S_T-X_H)+C_L-2\times C_M+C_H \\ &=X_L+X_H-2X_M+C_L-2C_M+C_H, \ \ S_T\geq X_H \end{align*}
此时取决于 X_M 的位置，
如果X_M=\frac{X_L+X_H}{2}，最大收益为 C_L-2C_M+C_H ;
如果 X_M>\frac{X_L+X_H}{2}, 最大收益为 C_L-2C_M+C_H ;
如果 X_M<\frac{X_L+X_H}{2}，最大收益为 X_L+X_H-2X_M+C_L-2C_M+C_H 。
Breakeven Price

当 X_L<S <X_M 的时候，
-(S-X_L)+C_L-2C_M+C_H=0 \Rightarrow S=X_L+C_L+C_H-2C_M,
当 X_M<S<X_H 的时候，
-(S-X_L)+2(S-X_M)+C_L-2C_M+C_H=0 \Rightarrow S=2X_M-X_L-C_L-C_H+2C_M。

Short Butterfly Spread with Puts

Expiration Value

Short put( X_L ) 到期时刻的价值为-Max(0, X_L-S_T)，Long put( X_M ) 到期时刻的价值为Max(0, X_M-S_T)，Short put( X_H )到期时刻的价值为- Max(0,X_H-S_T) 。
所以Short butterfly spread的到期时价值为：
-Max(0，X_L-S_T)+2\times Max(0，X_M-S_T)-Max(0, X_H-S_T) 。
Profit at Expiration

到期时的profit需要考虑付出的期权费 P_L 和 P_H 以及收到的期权费 P_M ，根据上面的式子有，
-Max(0，X_L-S_T)+2\times Max(0，X_M-S_T)-Max(0,X_H-S_T)+P_L+P_H-2\times P_M 。
考虑最大损失的情况，
当 S_T=X_M 时，Max \ Loss = -(X_H-S_T)+P_L+P_H-2P_M=X_M-X_H+P_L+P_H-2P_M。
最大收益发生在 S_T \leq X_L或 S_T\geq X_H 的时候，
Max \ Profit = P_L-2\times P_M+P_H, \ \ S_T\geq X_H
或者，
\begin{align*} Max\ Profit &= -(X_L-S_T)+2\times (X_M-S_T)-(X_H-S_T)+P_L-2\times P_M+P_H \\ &=2X_M-X_L-X_H+P_L-2P_M+P_H, \ \ S_T\leq X_L \end{align*}
此时取决于 X_M 的位置，
如果X_M=\frac{X_L+X_H}{2}，最大收益为 P_L-2P_M+P_H;
如果 X_M>\frac{X_L+X_H}{2}，最大收益为 2X_M-X_L-X_H+P_L-2P_M+P_H;
如果 X_M<\frac{X_L+X_H}{2}，最大收益为 P_L-2P_M+P_H 。
Breakeven Price

当 X_L<S <X_M 时，
2\times(X_M-S)-(X_H-S_T)+P_L-2P_M+P_H=0 \Rightarrow S=2X_M-X_H+P_L+P_H-2P_M,
当 X_M<S<X_H 的时候，
-(X_H-S)+P_L-2P_M+P_H=0 \Rightarrow S=X_H-P_L-P_H+2P_M。
以后便是butterfly spread的全部内容，篇幅较长，如有错误的地方，欢迎指正。