一段绳子，任意切n刀，切成n+1段绳子。问这些绳子能组成n+1边形的概率？

楼主算出来了n=2时，p=25%，p=3时，p=50%，n=4时，p约等于0.687。但是得不到一个关于n的函数

有关回应 · 2021-5-28 00:30:05

思路很简单：最长的一段不能超过绳子总长的一半。

我将给出2个证明，第一个证明是正常的思路，需要一点微积分，第二个证明不用任何高等数学，简洁易懂，但需要一点点技巧。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

证明1（仅用到简单的微积分）：

设绳子的长为1。

先将问题离散化，将绳子分成k段（
），每段长为Δx（
）。

设
为绳子无法组成n+1边形的概率。在这种情况下，设最长的一段为x，显然

下面计算最长的一段恰为x的概率。有两种情况：

假设最长的一段恰在两端

假设最长一段在左端，那么最左边的一刀（可以是n刀的任意1刀）必须切在某个固定的Δx内，剩下的n-1刀必须切在右边的 1-x 内。最长一段在右端同理。
故总概率为

假设最长的一段在中间

则最长一段的左右两刀的距离恰为x
左边那一刀可以选择的位置有
种，此时右边一刀位置固定，剩下的 n-2 刀必须在 1-x 内。
左右两刀在刀数的选择有
种
故总概率为

所以对于最长的一段恰为x的情况，绳子无法组成n+1边形的概率：

然后再化离散为连续

故

证毕！

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当天晚上我又想了一下这道题，根据答案的形式，突然又想到了一个绝妙的方法！
只需要高中的数学知识就可以证明。

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证明2（仅用高中数学）：

设绳子的长为1。

切n刀将绳子分成了n+1段，从左到右分别是：
满足：
,
如果这些绳子不能组成n+1边形，那么存在
，
易见，只能恰有一段不小于

假设
，易见此情况等价于所有的n刀都切在了右边
，故所求的概率为

设其中的某一组解为

假设
，设某一组解为
,容易发现，对于每一组解，都可以通过轮换的方式，和
的解建立一一映射的关系：

故，对于任意
，所求的概率均为
（答者注：严格地说，一一映射并不是集合大小相同的充分条件，反例有著名的整数和偶数一一映射，但在本题下，容易判断，集合大小相等是成立的。严格的证明需要证明雅各比行列式的值为1才行，这并不难但有点麻烦，从略）

综上，对于以上n+1种情况，这些绳子不能组成n+1边形的总概率
故

证毕！

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有关回应 · 2021-5-28 00:30:06

已经有正确答案了，我给个证明吧.
思路来源于n=2的情形，如下图

注：背景的虚线是空间坐标系的坐标轴，各字母的定义见下文.
对于高维的情况，原谅我只能不说人话了……
写在前面，我对问题的理解是全概率空间是在绳子上依次取n个点，也就是概率空间是
，上面的概率测度就是n维的体积.很容易证明这个概率空间和取n+1个和为1的非负数，也就是下文中的
，是等价的，因为只差一个线性映射，而体积这种东西在线性映射下是保持的.

首先代数化，记
.这个是全空间.
要使n+1个数能够组成n+1边形，只需要满足一个条件：
.
代入条件，也就是只需要满足：
.
因此符合条件的空间是
.
因此，我们要计算的概率不是别的，就是
.
为了方便，我们考虑
在
中的补集.
记
.
那么
在
中的补集就几乎是
.
显然，
.因此.
.
以下证明，
.
由对称性，只需计算
即可.
将
视为
的子集，
上的加法自然诱导
及其子集上的加法.
命题1.
和
都是
中的紧致凸集.
证明留作习题.
定义（凸集的顶点）对于
中紧致凸集
中的点
，称
为
的顶点，如果
蕴含
.
命题2.对于
中只有有限顶点的紧致的凸集，其中的点唯一对应于顶点的凸组合.
直观很显然，存在性需要紧性导出，好像要用到归纳法.唯一性根据顶点的定义导出.
命题3.
的顶点是
，共n+1个.
命题4.
的顶点是
，也是n+1个.
以上两个命题都可以直接观察得出，证明也不复杂，先猜出来，剩下的反证即可.

以下是关键结论！！
命题5.
可以通过关于点
，位似比为2的位似变换变到
.
先证明顶点可以位似变换，再利用命题2得到整个图形的位似变换.
既然是关键结论，这里仔细说一下吧.我们考虑把顶点
平移到原点，此时其他的顶点也要做相应的变化.
此时，
的顶点变为：

.
而
的顶点变为：

.

命题6.
.
这是命题5的直接结论.
综上，
.

有关回应 · 2021-5-28 00:30:07

考虑「组不成 n+1 边形」的概率.
首先把绳子视作一个有缺口的圆环：

因为组不成一个多边形，一定有一段绳子长度大于绳长的一半.
即切口和缺口的位置必须在虚线一侧，如下图：（B 为某个切口）

劣弧 A-B 间可能有 0,1,2,...,n 个切口（0 个切口即 A,B 重合），这一共是 n+1 种情况.
对于每种情况，所有切口位置均在弧 B-A-C 上的概率为
.
这样「组不成 n+1 边形」的概率就是
.
所以「组成 n+1 边形」的概率就是
.

===

推荐看 @Vichare Wang 的回答 http://www.zhihu.com/question/25408010/answer/30818853 ，他叙述的形式比我好。

有关回应 · 2021-5-28 00:30:08

我来给一个简洁一点的证明吧。第一名 @曾加的答案是正确的，但是我看了好几遍才看懂。。。 @简言的答案我认为是错误的。

首先要把这个题目等价成：
给一个圆环状的绳子，切n+1刀，每个切口都是均匀分布，问每一段都小于1/2圆周的概率。
因为第一刀不管切在哪里，都会把绳子切成一条，余下的部分显然等价。

然后我们求至少有一段大于1/2圆周的概率。我们用
表示最长的一段绳子大于1/2圆周，并且右端点恰好是第i刀这个事件。那
发生的概率是
。因为不管第i刀切在哪，余下的那些刀一定要落在这一刀往右的半个圆周内，并且反过来也成立。
然后我们知道
,
,……,
之间是互斥的，概率都是
，那总的概率就是
。

再反过来，题目的答案就是

有关回应 · 2021-5-28 00:30:09

只是想提一下一些概率分布上的联系（个人笔记用意）。
如果下刀的点服从联合均匀分布，那么各段绳子长度组成的向量将服从
的 Dirichlet 分布
（= simplex 上的均匀分布）。而
又来自于归一化后的 Gamma 分布
，所以由 Gamma 分布（这里是指数分布）的次序统计量理论上能得到 Dirichlet 分布向量中最大元素的分布。比如可以考虑变换

，其中
，此时 Jacobian 矩阵为

，得
。

一段绳子，任意切n刀，切成n+1段绳子。问这些绳子能组成n+1边形的概率？

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