R语言时间序列TAR阈值自回归模型示例详解

为了方便起见，这些模型通常简称为TAR模型。这些模型捕获了线性时间序列模型无法捕获的行为，例如周期，幅度相关的频率和跳跃现象。Tong和Lim（1980）使用阈值模型表明，该模型能够发现黑子数据出现的不对称周期性行为。

一阶TAR模型的示例：

σ是噪声标准偏差，Yt-1是阈值变量，r是阈值参数， {et}是具有零均值和单位方差的iid随机变量序列。

每个线性子模型都称为一个机制。上面是两个机制的模型。

考虑以下简单的一阶TAR模型：

#低机制参数
 
i1 = 0.3
p1 = 0.5
s1 = 1
 
#高机制参数
 
i2 = -0.2
p2 = -1.8
s2 = 1
 
thresh = -1
delay = 1
 
#模拟数据
y=sim(n=100,Phi1=c(i1,p1),Phi2=c(i2,p2),p=1,d=delay,sigma1=s1,thd=thresh,sigma2=s2)$y
 
#绘制数据
 
plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t',ylab=expression(Y[t])
abline(thresh,0,col="red")

TAR模型框架是原始TAR模型的修改版本。它是通过抑制噪声项和截距并将阈值设置为0来获得的：

框架的稳定性以及某些规律性条件意味着TAR的平稳性。稳定性可以理解为，对于任何初始值Y1，框架都是有界过程。

在[164]中：

#使用不同的起点检查稳定性
startvals = c(-2, -1.1,-0.5, 0.8, 1.2, 3.4)
 
count = 1
for (s in startvals) {
 ysk[1
  } else {
   ysk[i] = -1.8*ysk[i-1]
  }
 
 count = count + 1
}
 
#绘制不同实现
matplot(t(x),type="l"
abline(0,0)

Chan和Tong（1985）证明，如果满足以下条件，则一阶TAR模型是平稳的

一般的两机制模型写为：

在这种情况下，稳定性更加复杂。然而，Chan and Tong（1985）证明，如果

模型估计

一种方法以及此处讨论的方法是条件最小二乘（CLS）方法。

为简单起见，除了假设p1 = p2 = p，1≤d≤p，还假设σ1=σ2=σ。然后可以将TAR模型方便地写为

如果Yt-d> r，则I（Yt-d> r）= 1，否则为0。CLS最小化条件残差平方和：

在这种情况下，可以根据是否Yt-d≤r将数据分为两部分，然后执行OLS估计每个线性子模型的参数。

如果r未知。

在r值范围内进行搜索，该值必须在时间序列的最小值和最大值之间，以确保该序列实际上超过阈值。然后从搜索中排除最高和最低10％的值

在此受限频带内，针对不同的r = yt值估算TAR模型。选择r的值，使对应的回归模型的残差平方和最小。

#找到分位数
lq = quantile(y,0.10)
uq = quantile(y,0.90)
 
#绘制数据
plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t'abline(lq,0,col="blue")
abline(uq,0,col="blue")

#模型估计数
 
sum( (lq <= y ) & (y <= uq) )

80

如果d未知。

令d取值为1,2,3，...，p。为每个d的潜在值估算TAR模型，然后选择残差平方和最小的模型。

Chan（1993）已证明，CLS方法是一致的。

最小AIC（MAIC）方法

由于在实践中这两种情况的AR阶数是未知的，因此需要一种允许对它们进行估计的方法。对于TAR模型，对于固定的r和d，AIC变为

然后，通过最小化AIC对象来估计参数，以便在某个时间间隔内搜索阈值参数，以使任何方案都有足够的数据进行估计。

d	AIC	R	1	2
1	2285	22.7	6	9
2	2248	41.0	9	9
3	2226	31.5	7	9
4	2251	47.8	8	7
5	2296	84.8	9	3
6	2291	19.8	8	9
7	2272	43.9	9	9
8	2244	48.5	9	2
9	2221	47.5	9	3

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