1+2+4+8+16+32+64+128+256+...=-1 错在哪里？

假设 1+2+4+8+16+32+64+128+256+...=x
1+2+4+8+16+32+64+128+256+...
=1+2*(1+2+4+8+16+32+64+128+256+...)
也就是 x=1+2x，那么 x=-1
这明显是错的，因为正数相加怎么也不能等于负数，但是错在哪里呢？

有关回应 · 2021-5-23 19:35:25

大一学生来强答一下，顺便复习一下课上的内容
这个等式在通常度量的意义下确实是错的。先将式子用极限语言重新表述：

首先看一下这类求和成立的情形：

回顾分析学中序列极限的定义，

直接验证可以发现原来的求和不满足定义，从而它是错的。从这个定义来看，我们说的“等于2直观上就是这个求和在数轴上表示的点和2的距离呈现靠近的趋势，并且随着求和进行距离可以任意小，因此从直观也能发现，这个求和的点在一直朝数轴右侧跑，完全没有趋于-1的样子。
题主可能想询问像

这样的式子为什么在
的时候失效了，其原因是等式左边在
的时候无定义。但有没有一种合理的方式能定义形如
这样的无限和，同时又让等式成立呢？
答案是肯定的。但这需要我们修改“距离”这一定义，或者说，我们希望定义一个新的“绝对值”来让
对充分大的
成立，从而让上面这个求和收敛到某个点。下面我们来尝试构造这样的“绝对值”。
[h1]1.距离函数[/h1]在
上的一个非负值函数
，如果满足

（正定性）
（齐次性）
（三角不等式）

则称
为
上的一个norm。易验证通常的绝对值函数
满足这三条性质。
每有一个这样的norm，我们就可以定义一种距离。令
即可得到一个
和
的距离函数。可以验证，这样定义出来的
满足一下三条性质

（正定性）
（对称性）
（三角不等式）

此处由于一些原因只在
上定义，但原问题（可以）不涉及无理数，已经足够了。
[h1]2.Cauchy列[/h1]首先回到通常距离下的极限定义。上面说过，通常的序列极限从几何直观上看，是一串点一直呈现接近某个点的趋势，并且到该点的距离可以任意小。“趋于某个点”这种表述很容易让人不由地直观想象在数轴上的情形，为了构造非通常的度量，我们首先找一个极限存在的等价表述，使得整个表述不依赖于所趋于的那个点，也就是分析中出现过的Cauchy列。
先给出定义，序列
称为Cauchy列，如果

使得 ,
也就是说，任两个指标（下标）充分大的项的距离可以任意小。
序列中的点趋于某个点，那么到后面
很大的时候，任两个点的距离也应该很小。这是由三角不等式得出的，由于任取出的两点到该极限的距离都很小，这两点间的距离不会超过前面那两个距离之和。反之，如果
充分大时任两点的距离都能任意小，那么可以想象这些点在逐渐“收缩”到一起。因此，有极限序列均是Cauchy列，而Cauchy列都在某种意义下“收缩”到一个点。
以上的表述不太严谨，但大体思路没问题，此处及以下略去对这件事严格的数学证明（其实是我懒得写了）
[h1]3.构造“新的距离”[/h1]以上想法并不仅在常规定义的距离下成立。从上面的分析可以看出，这个想法的关键是三角不等式，因此只要定义了一个前面提到的距离函数（或者norm），并把上面定义中的绝对值替换成相应的
（如果有的话），距离替换成
，就同样可以定义序列的极限和Cauchy列的概念。
那么回到问题，为了让式子成立，我们首先思考怎样让式子左侧有意义，即我们所定义的距离要让这个求和有极限。那么首先，至少应该让
是一个Cauchy列。
从定义，我们需要选取一个"绝对值"（记为
），对任意小的
，让充分大的
和
（不妨假设
）有

这是一个很特殊的序列，求和时的每个单项都是2的幂次，并且容易注意到
是
的因子。随着
取值越来越大，这个因子的幂次（最小值）也会随之增大。既然如此，我们把其中的
取倒数，让这个“绝对值”成为
，就达到了任意小这一目的。
将其推广到一般的有理数。对任意有理数
（
为整数），我们总可以将分子分母中的2的幂次全部提取出来，变成
这样的形式，其中
为整数，
为奇数（证略）。定义
，容易验证满足正定性和齐次性。
对于两个有理数相加，设
，我们发现
。因此，若
，这个数中2的幂次不小于
，若
，其幂次会等于原来较小的那个幂次。根据这一事实，我们容易验证这个新绝对值满足

其中第一个不等式称为强三角不等式，它比一般的三角不等式更强。因而我们证明了确实是
上的一个norm，从而就让上面的
成为了一个Cauchy列。
事实上至此已经足够解决问题了。我们在这个新距离下重新叙述极限的定义

直接验证可以发现

取
即满足条件。故有
。
至此，问题解决。
看上去这个距离的定义有些突兀，而且很反直觉，好像除了刻意让这个式子成立以外没什么作用。
上面给出的norm其实是p-adic理论中的p进范数，当素数p取2时的情形。将2改为一般的素数p，模仿上面的构造，可以得到p-adic norm
。同时，将p替换成
，其就成为了通常的绝对值。
其实上面还有一些细节没有讨论，比如这样定义距离后，
的极限是否唯一？一般的Cauchy列是否一定有极限？
即使在通常的绝对值下，有理数序列的极限也可以是无理数，比如按
的小数位数展开的序列

这个序列的极限不在
中。
类似地，在上面定义的p-adic norm
下，可以验证
定义的序列
是Cauchy列，但在
中没有极限。
但类比实数域的构造（用Cauchy列的等价类），我们利用这个norm可以将有理数域
扩充为一个新的完备域
，使每一个Cauchy列在里面都有唯一极限。这个过程称为p进完备化。此外，有
。
强三角不等式给它带来了很多一般的数域不具备的奇妙性质，例如上面任意一个三角形均为等腰三角形（任意三点间的三个距离一定有两个相等）。这些性质使它在数学的许多分支都有了大量应用，自然衍生出了p进分析、p进拓扑等内容。
从名字也能看出，它也和p进制表示有关联，如果有时间我或许会写篇相关文章详细讨论一下。
最后，原问题这个疑问也是我在高中时的疑问，现在也算是给以前的自己一个解答。

有关回应 · 2021-5-23 19:35:26

是对是错，取决于你写1+2+4+8+16+32+64+128+256+...的意义是什么，以及你怎样定义“无穷个数相加”这件事。

如果你将1+2+4+8+16+32+64+128+256+...定义为部分和数列：S_n = 1+2+...+2^n 在n趋于无穷大时的极限，并且使用的是实数空间常用的拓扑，那么这个极限不存在（不趋向于任何的给定实数），所以等式不成立。如果你使用的是超实数（加入无穷大进行单点紧化）的拓扑，那么极限是无穷大，不是-1。

如果你将1+2+4+8+16+32+64+128+256+...看作是一个p-进数（其中p=2）：1+2+4+8+16+32+64+128+256+...+2^n在n趋于无穷大时候的极限，那么对于p-进数的某个常用拓扑，极限存在，1+2+4+8+16+32+64+128+256+...+2^n趋向于...1111_2，也就是-1.

如果你将1+2+4+8+16+32+64+128+256+...定义成是f(x) = 1+2x+4x^2+...+(2x)^n+...在x=1时候的值，并且在x不等于1/2的时候，将1+2x+4x^2+...+(2x)^n+...定义为1/(1-2x)，那么1+2+4+8+16+32+64+128+256+...=-1也是成立的

有关回应 · 2021-5-23 19:35:27

也就是x=1+2x，那么x=-1

x不仅仅可以等于-1，还可以是无穷大。

有关回应 · 2021-5-23 19:35:28

我认为你是对的。
在你目前所学的级数求和定义中，这个级数不收敛，所以你后面的计算都不对。
但是在更一般的级数求和定义中，这个计算是对的。

另一个例子参见http://www.zhihu.com/question/19952889/answer/13460786
你的例子比上面这个例子更夸张，用Abel求和定义和Cesaro求和定义仍然发散。
不过，通过解析延拓，仍有可以用在你的例子上的级数求和定义，见下面的维基页面。
http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_4_%2B_8_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7
更严谨的写法，是写成几何级数，然后拓展到发散区间。这都是后话。

我个人鼓励这种超出教材的尝试，因为数学不会因为没有定义而停步。
这样尝试有助于理解数学怎样拓展自己，并且可以深入理解定义。
如果没有这种尝试，就没有虚数了。

有关回应 · 2021-5-23 19:35:29

没错啊，溢出了而已
（狗头

1+2+4+8+16+32+64+128+256+...=-1 错在哪里？

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