继上一次更文特殊函数专场还是在去年国庆这篇推文特殊函数专场之贝塞尔函数，八一想了想还是再来一篇特殊函数精讲超几何函数，虽然我也不知道这玩意的实际意义在哪，就给它取名好玩的特殊函数，它可以用来搞积，也可以用来玩代数，同时在数理方程的应用是不可或缺的。
本文我重点讲解了高斯超几何函数，针对广义超几何函数也做了相关补充，当大家认真看完这篇推文后，你会对超几何函数有更深的理解及其应用。八一先引出高斯超几何函数定义引出，后来也讲到这只是超几何方程的一个特解，同时引出另一个特解，并指出勒让德方程其实是超几何方程的一个特例，用x=(1-t)/2变换，与勒让德方程对比就可以发现它们之间的关系，同时因为它而引出更多特殊函数与高斯超几何函数的密切关系。
然后就是它们的相关性质，看它们的导数关系以及发现较简单的递推关系，再然后给出了它与贝塔函数、椭圆积分、切比雪夫函数与贝塞尔函数之间的关系，并发现其中两个特例分别是第一类完全椭圆积分和第二类完全椭圆积分。其次超几何函数可表示一些初等函数和特殊函数，我列举了四个普遍大家用到，并给出第一类合流超几何函数和第二类合流超几何函数极限表示。
针对于积分表示，这是同学们比较关心的一点，因为用来搞积，就很玩了，我们要从超几何方程的积分分解与巴恩斯(Barnes)积分来表示，关于这点知识的详细补充，同学们可参考王竹溪的《特殊函数概论》。
最后就是关于广义超几何函数的研究，如果大家想深入研究它的话，八一推荐几篇相关文献：
Handbook of mathematical functions with formulas,graphs and mathematical tables
Special functions of quasicon formal theory
Handbook of Complex Analysis: Geometric Function Theory
Functional inequalities for hypergeometric functions and complete elliptic integrals
Hypergeometric functions and elliptic integrals
Some inequalities for the HerschPfluger distortion functions
Inequalities for compound mean iterations with logarithmic asymptotes
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