【轻松一刻-----泰勒公式居然能救命!!】
在俄国革命期间(1917年左右)，诺贝尔物理奖(1958)获得者伊戈尔·叶夫根耶维奇·塔姆外出找食物，在乡间被保安人员逮捕。保安人员怀疑他是反乌克兰的共产主义者，于是把他带回总部。头目问：你是做什么的？塔姆：我是一位数学家。头目心存怀疑，拿着枪，手指扣着扳机，对准他。手榴弹也在他的面前晃动。头目说：好吧，那么一个函数作泰勒展开到第 n 项之后，你就把误差项算出来。如果你算对了，就放你一条生路，否则就立刻枪毙。于是塔姆手指发抖，战战兢兢地慢慢计算，当他完成时，头目看过答案，挥手叫他赶快离开......
泰勒公式是很有用的，可以把一个函数化为幂函数的组合形式，降低了复杂度。可是凭什么可以这样啊，这式子也不是显然成立的，这个式子是怎么来的呢？不可能突然就这么一下子就出来了吧？什么？拉格朗日的推广？呃,好吧，这可以算一阶情形。可是二阶，三阶...又是怎么回事呢？类推也不是这么显然吧，所以泰勒公式是怎么来的，确实是一个需要解决的问题，不然那么一大串凭空长生，还让人记住，还一直要用，凭什么啊？我不服！！！
【插值】
现实生活中，我们不可避免的需要根据已知数据，来推测未知数据。很常见的情况是已知一些数据点，来找出数据分布的函数解析式，这就是"插值"问题。
插值问题的几个类型:
●如果知道的是一些离散的点+函数值，那么用拉格朗日插值可以得出拟合的多项式；
一个例子:
从此再也不用担心被小朋友的数字规律题难住了!
●如果知道的是某个点a，的f(a),f''(a),f''(a)....我也想知道这个函数到底是啥样，怎么办？
不是凉拌!
这时候该用泰勒公式!
●如果知道很多点的函数值，还知道导数值，怎么插？
同学抱歉,超纲了啊!
顺手说一句------这叫"埃尔米特插值"，
有兴趣的可以看看数值分析的教材,
在此就不进一步深入涉及了,
这里得抓住核心---只讨论泰勒!
【手把手开干】
核心问题:
我们一步一步来:
弄好了a点的情况后,
我们开始先导数领域进军,
先从一阶导数下手:
然后顺理成章进军2阶导数,
这里是关键了,
理解了这里就基本理解这个过程了:
更高阶的就不一一往下阐述了,
原理都是类似的,
都是不断迭代,
求k阶导后,
前面的阶数太低的直接被灭了,
后面阶数太高的还剩下x-a因子自取灭亡,
不多不少恰好剩下k阶导那项,
于是就能保证k阶导也相等.
都是这个思路...
同理下去,
就可以得到n阶时候的近似：
再简单列一下n阶那一项的历次求导情况:
至于近似表达式最后还有一项n+1次方的,是因为h(x)只是根据有限数据的估计，不可能完全精确，所以显然还要多一项,来确保不影响前n项的结果，为更精确的扩张留下空间，有了更多的新数据，就可以计算添加更高阶的项。最后那一坨也就是所说的泰勒余项，根据不同需求可写为多种不同形式，有佩亚诺余项，也有拉格朗日型余项，还有积分型余项...一般还是佩亚诺余项比较简单，直接一个小o的高阶无穷小就表达出来了.
所以说白了:
泰勒公式就是在a点的函数值以及各阶导数值都和原函数一样的多项式罢了，一模一样的复制了f在a的情况，
近似的再造了一个山寨版本的f(x)
【项目验收--看看实际效果嘛】
来看看泰勒展开在逼近e^x时候的效果图，挺生动形象的
(常数情形嘛，肯定是最弱的啦，用来垫底)
(1阶情形，也就0附近一点点可以，外面就差的太大了)
(比1好点)
(3的情况，比2好很多了，有木有)
(4的情况，很好很好)
(5的情形，已经基本搞定了e^x了)
(6，基本上就是e^x的图像了，泰勒公式真屌啊，居然这么精确)
(7的情形，如果是6的时候还有点偏差，7的时候，在这幅图的范围内，已经没有偏差了，二者融为一体，好和谐啊。。。)
当然因为只是在0附近展开的，所以在0附近的近似情况是最好的，随着x越来越偏移0，近似效果也会越来越差。一般来说需要谁的附近的近似值，就应该在谁的位置插值，这样效果才好。所以插值位置要对才行，才有效果
【往期精选】
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●年仅22岁的欧拉搞定了"n!"的插值
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