本解析答案都为原创，和参考答案并不一致（甚至连使用的方法也不同），力求展现笔者完成这份试题时的思路流程。
试卷总体感受：
高等代数送分，解析几何和数学分析高中技巧非常重，高中竞赛选手有一定优势
解析几何试题
拿到本题的第一感受是，字真的多，一看就很难，笔者做题时是事先跳过最后再回来看的这道题。
仔细读此题后，想到优先考察平面上圆的情况，马上就想到了高考数学中圆锥曲线的题目，简单尝试就知道平面上轨迹是到两个球心的距离之和为常数的圆锥曲线，也就是椭圆。
所以本题实际上是一个高中基础题，简单计算即可知到两个球心距离之和为常数，从而是椭球面，两个球心是其焦点。注意椭球面一定是旋转的，所以不必强调旋转椭球面。
数学分析试题
本题是本卷唯一个非高中的数学分析题，这题反证思路非常明显。
反证：
这种题型摆明需要利用微分方程来构造函数，然后类似于比较定理解决，属于常用技巧，本题难点在于微分方程属于非常规求解类型，属于尝试性局部求解微分方程来强制构造不等式。这一技巧在笔者竞赛班中也讲到过。
观察前面的结构
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的系数有
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，而
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的系数为
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，所以应该会类似
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求导而来，要保证
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的系数，就修正为
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，求导为
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,从而有
左边导数的出现，让我们直接进行积分，于是有
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出现制造了困难，直接放大为
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，则得到一个漂亮的不等式
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这里再度出现了一个微分不等式。可以继续构造完成，我们注意到上述微分不等式是二阶的微分不等式，两边积分有
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,利用二重积分换序和分部积分法，即可得到
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则 自然有
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，这就变成了一阶微分方程，构造函数
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,求导即可知
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,从而
，矛盾！
高等代数
本题可能是全卷第二简单的送分题，思路相当直接，注意到著名的公式：
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,以及
从而
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,两边取共轭复数有：
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，(因为上述都是多项式)，这个问题也就证明完毕！
高等代数
本题也不算难，，注意读懂恒号二次型定义即可，不妨设
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是单位矩阵对应的实二次型（只需要做一个合同即可，显然两个线性空间V是同构的），这一思路在笔者竞赛班上也反复说到，一旦
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是单位矩阵对应的二次型，那么就可以计算特征值来直接判定正负定。把V换种写法：
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，设A的特征值为
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,从而问题等价于,
很明显，对于两个不同
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,
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是关于k的非完全平方且有两根的二次函数（或者有一根的一次函数），这两者不可能永远保持恒号，从而所有特征值必然相同。当所有特征值相同时，上述不等式只需要满足一个（从而无论如何都是同号的），也即此时必然为数量矩阵
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,从而
高中数学
本卷最难的两个大题本质上是高中数学的题目，第五题熟悉阶估计的朋友可能心态会好一些，但本质上做起来并没有什么区别。这题突破点也很简单，笔者竞赛班上考前头一天也提到过假设加强归纳的思路，并引用了公众号dreammath的一个题目，本题甚至不需要假设，因为证明的东西已经给出，从而只要归纳即可。要证：
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,如果直接假设
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，能证明
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，问题即结束，在考前头一天，我举出的例子需要自己去猜测这样的加强归纳，并非如此题一样直接
接下来就去分析这样的
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是否存在即可，要用归纳法证明，只能如此证明
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, 其中
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的有界性质，表明可以不妨设(也很明显只能这么做）
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，通过如此的转化，其实就是要找一个
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，使得如下不等式成立：
这样的
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可以从阶的角度估计出：分离出
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也就是
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，不除过去是因为
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的系数正负未知
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,由于
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,左边是趋于0的数，故只需要
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,其中
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是任意正实数
这样就知道对充分大的N这样的
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是存在的，接下来我们只需要保证初值就行了，
让
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,就完成了证明。本题最重要的是心态
高中数学
，这道题高中竞赛生的福利有木有有木有！
（1）是送分，不多说,
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显然凸函数
(2):
要证明不等式一看没思路，就先写出来
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,怎么满满的不等式感。。。。
注意到整体换元，简化为
这不就是高中的不等式么，形式还如简单，直接通分配方即可，注意到恒等式
结束
(3):有了上面的铺垫，我们自然的把问题转化为
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在
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下的值域。。
这不就是高中数学么。。。由于是连续函数，所以把连通集映成连通集，从而值域一定是一个区间。考率
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的情况，得到
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，再考虑边界的情况
让
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结果为
让
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结果为
注意到
所以上确界和最下确界之和应该为1,结合
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,自然可以猜想值域应该为
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,只需要证明1的确是下界即可，直接做差：
直接展开知
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,故
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严格成立，从而
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，故得到了最后的结果
总结：
本次数学竞赛a类非常淡化真正的分析代数技巧和方法，所涉及的知识也非常浅薄。反而变相考场了中学数学的功底，考场要同时解决六道题还是有一定难度，但解决四个大题应该是每个数学专业学子的基本功底，难度相比往届有所降低，和去年持平。
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