吴文俊院士于2017年5月7日去世，如何评价他的数学贡献？

以下是中国科学院数学与系统科学研究院讣告。

有关回应 · 2021-5-14 20:43:30

伟大的数学家的成果一定是影响深远的，跨越时代与学科。
代数拓扑
系数上同调中，Wu class通过Steenrod square能用来计算Stiefel-Whitney (SW) class, 是后者的refinement, 在obstruction theory里非常重要；大家对它在高维拓扑中应该并不陌生。
这里主要说说Wu class在数论和低维拓扑中的作用：1995年Vladimir Turaev的学生Deloup用它做了自1912年以来对多变量二次高斯和（二次互反律）最重要的一次推广。

1. 最早欧拉和勒让德猜想的二次互反律叙述如下：

考虑两个对偶的算术方程
和
，
和
为奇质数，我们想知道它们各自解的个数有什么关系。对于任意整数
和奇质数
，定义勒让德符号：

那么两个方程解个数的关系为
这个定理最容易的证明应该是用一个关于二次高斯和的等式，叫做Landsberg-Schaar relation:

其中
为偶数。如果令
为1，则退化为modulo
的二次高斯和，平方以后用一下费马小定理就能证明二次互反律了，当然高斯1801年的证明并未用此方法。
Landsberg-Schaar本身可用泊松求和与复分析证明。

2. 后来在19世纪中期Landsberg-Schaar被柯西，狄利克雷和克罗内克小幅度推广：

其中
和
是非零整数，有理数
使得
为偶数。

3. 1912年德国的Krazer推广为多变量 [1]。

为
的整数对称矩阵，
为其秩，那么存在一个行列式不为零的整数矩阵
和unimodular矩阵
，使得
.

为非零整数，如果
或者整数矩阵
的所有对角元为偶数，那么：

其中
为
的signature.
此式将
中
与
之一替换为一个二次型，而且对应于
的情况。

4. 到了1997年，图卢兹的Deloup首次定义了在lattice上的integral Wu class并证明了一个更广义的二次互反律（
以及
的情况），将
和
两者都用二次型替换 [2]。

这个Wu class其实是受到代拓里传统Wu class的
系数启发而定义的，具体如下：
对于一个lattice
和非退化二次形式
, 它是唯一的class
，使得对于所有
，有
.
它也叫作二次形式的characteristic element；只是在代拓中
变成了上同调群，而
变成了intersection pairing，由cup product的fiber integration定义。
那既然都有"mod 2"，为什么不叫做SW class呢？原因是
可以给出
的quadratic refinement [3]，就如同传统Wu class被lift到整系数上同调上，能给出整系数上同调上intersection pairing的quadratic refinement [9]；而被Bockstein同态lift到整系数上同调上的integral SW class却没有这个性质。
Deloup用Wu class给出的二次互反律为工具，将Turaev在modular category中定义的3流形不变量
(
为定向3流形，
是有限阿贝尔群，
是二次型）推广到
-流形。

5. 一年后Turaev（发表时间却比Deloup早= =）又定义了一个在
与lattice张量积上的rational Wu class, 把
推广到任意有理数 [4]。至此二次互反律与二次高斯和在数学上目前看来就基本被做死了。

6. 2005年Deloup和Turaev合写过一个note [5]，通过他们俩之前的结果，改进了1992年Lisa Jeffrey在研究mapping torus和Lens space上Chern-Simons的半经典近似时得到的一个与Krazer等式强度相当（稍弱）的对二次互反律的推广 [6]。

[5]中没有什么新结果，主要证明了Jeffrey等式是Turaev等式的一个特例，因为也相当于只替换了一个二次型。Jeffrey等式自92年来一直被当做重要工具用于研究定义在torus bundle, 高亏格mapping torus上的Chern-Simons及其Witten's asymptotic expansion猜想 [7].

个人认为这是Wu class在数论，量子不变量和低维拓扑中的一个漂亮应用。
另外在弦论中，传统Wu class可描述与M5-brane worldvolume对偶的7维Chern-Simons上的spin structure，首次被Witten指出 [8]，后来被数学家Hopkins和I. Singer严格化 [9]。
近来在凝聚态领域关于SPT phase的研究中用group cohomology class对物态进行分类，并加入了一些规范群G-equivariant结构，所以也会用到Wu class和Wu formula, 可以参见文小刚 [10] 和Kapustin [11] 的文章，后者的附录中有简洁的数学review.

PS: 祝吴老先生一路走好！
Refereces:
[1] A. Krazer, Zur Theorie der mehrfachen Gausche Summen, H. Weber Festschrift, Leipzig (1912), s. 181
[2] F. Deloup, Linking form, Reciprocity for Gauss sums and invariants of 3-manifolds, Trans. Amer. Math. Soc., 351 (1999), pp. 1859-1918
[3] characteristic element of a bilinear form in nLab
[4] Turaev, V. (1998). Reciprocity for Gauss sums on finite abelian groups. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 124 (2), 205-214.
[5] F. Deloup, V. Turaev, On Reciprocity. arXiv:math/0512050 [math.AC].
[6] Jeffrey, Lisa C. Chern-Simons-Witten invariants of lens spaces and torus bundles, and the semiclassical approximation. Comm. Math. Phys. 147 (1992), no. 3, 563--604.
[7] Andersen, J. E., Jorgensen, S. F., On the Witten–Reshetikhin–Turaev invariants of torus bundles. J. Knot Theory Ramifications 24 (2015), no.11, 1550055, 48pp.
[8] E. Wittem, Five-Brane Effective Action in M-Theory, J. Geom. Phys. 22 (1997), 103-133, arXiv: hep-th/9610234.
[9] Hopkins, M.J.; Singer, I.M. Quadratic functions in geometry, topology, and M-theory. J. Differential Geom. 70 (2005), no. 3, 329--452.
[10] Wen, Xiao-Gang. Construction of bosonic symmetry-protectedtrivial states and their topological invariants via G x SO(
) nonlinear. Phys. Rev. B 91, 205101 (May 2015).
[11] A. Kapustin and R. Thorngren, Fermionic SPT phases in higher dimensions and bosonization. ArXiv e-prints (2017), arXiv:1701.08264 [cond-mat.str-el]

有关回应 · 2021-5-14 20:43:31

吴文俊是40年代那批最牛的拓扑学家之一，但可惜他的学术生涯中止于50年代初回国。
我只熟悉他在拓扑学方面的两项工作。
1.证明了4n维球面上没有近复结构。
2.证明了吴公式，重要的推论包括Stiefel-Whitney类的同伦不变性。
(第一版的答案把这条写错了TAT)
这两项工作对50年代拓扑的发展都是相当重要的。
不过老实说，就对拓扑学的贡献来看，他比Chern,Whitney,Thom,Milnor,Pontryagin,Serre这些同一时代的大师还是差了一些的。

有关回应 · 2021-5-14 20:43:32

就说一句：Automated Reasoning领域开创性人物之一（更早的华人有Wang Hao），97年获得自动推理(Automated Reasoning) 最高奖Herbrand Award。
----------------
补充

自动推理是单独的领域，与自动定理证明、人工智能、形式化方法、符号计算、数理逻辑等均有交集。
虽然应用在几何定理证明，个人认为吴方法以及后面的数学机械化研究主要偏计算代数/符号计算（类似Grbner基），也在中国科学院数学机械化重点实验室得到了传承（而不是ZJZ ）

有关回应 · 2021-5-14 20:43:33

谢邀 @夏铭辰 @李老实。
得知吴老逝世，唏嘘是难免的。如果说有哪个中国人的名字会出现在大部分的代数拓扑的教科书上的话，吴文俊毫无疑问是第一个。
以下是从Wikipedia上抄来的Wu class和Wu formula.其中
是Stiefel-Whitney class，被用Hassler Whitney的姓氏的首字母命名。
Wu Class
如果M是一个n维流形，则Wu class
满足

其中
,
是fundamental class in
.
这里不中英夹杂感觉怎么说都很别扭。
翻译一下：Wu class实际上是Steenrod operation的几何实现。有兴趣的同学可以思考一下，存在性并不是那么一目了然的。
Wu formula：

基本上所有的关于Stiefel-Whitney class的Steenrod square的计算都完全是靠这个公式的。
http://www.mmrc.iss.ac.cn/~wtwu/lunwen.html 吴老的文章。可以看出，吴老的早期的主要兴趣是用示性类研究流型的嵌入问题。但是作为代数拓扑专业的学生，我表示我从来没听说过有个东西叫示嵌类，尽管这个词被反复地提及。但是也不见吴老的哪个学生出来总结以下吴老的学术生平。引起我注意的一条是
Inoubliables sourenirs de Rene Thom, Reue thom (1922-2002), 139-141, 2005
应该是Rene Thom的纪念文集。数学界的惯例是，纪念文集邀请的作者一般是被纪念者的亲密朋友和合作者，吴老早年工作的地位可见一斑。
毫无疑问，吴老在回国之前所做的工作是世界第一流的，如果能一直做下去，说不准现在想学习代数拓扑的学生就不必非要到国外去了。
众所周知的政治原因就不说了。然而，80年代以后，中国的代数拓扑和微分拓扑没发展起来，作为领袖人物，我私心以为，吴老也是有责任的。
这并不是说我不认可吴老的贡献。也只有领军人物才能担当得起这样的责任吧。

Ref: Peter May "A concise course in algebraic topology".
Stiefel-Whitney class http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/wu.pdf

有关回应 · 2021-5-14 20:43:34

我刚听到这个消息的时候灰常震惊和悲痛，真人工智能先驱吴先生经常在网上被无脑黑。
特别专业的成就我不懂，可以看 @中科院之声的首届国家最高科技奖得主吴文俊院士逝世享年98岁 - 社区专栏，但他的贡献我们是可以来体验一下的。
想试试吴方法或者自动推理的可以试试Geometry-Expert:Java Geometry Expert

可惜迟了，我本想为吴先生+1s，RIP（社区管理员君请收下留情，谢谢，我是正经的）

吴文俊院士于2017年5月7日去世，如何评价他的数学贡献？

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