微笑曲线
到期日一般为 1 个月的期权，交易日大概是 20 天，通过 20 天历史波动率可知，20 天历史波动率同隐含波动率一样也是变化的。在计算 20 天历史波动率时计入该 期间的数据不断在变化，利用该数据求得的波动率必然也会随着数据的变化而变化。
当然，在市场波动较小时期权波动率的变化也较小，反复急涨、急跌的市场历史波动率也会较大。
理解波动率微笑现象要从期权平价中理解隐含波动率的特征开始。期权平价可以用下面公式两种方式表达。
![]()
在上面两个公式中，CM,PM 分别为认购期权和认沽期权的市场价格，CB,PB 是用 B-S 模型计算的理论价格。认购期权的 B-S 模型理论价格可用CB=CB（S,X,T,r,σ）表 示。该函数中标的资产价格、行权价、到期时间、利率（STXr）均为市场中公开的值。只有从现在到到期日的标的资产波动率（σ）是未知的。隐含波动率（σIM ）是 使得市场价格（CM）和 B-S 模型理论价格（CB）相等的波动率，因此下面公式成立。
![]()
上述公式是认购期权公式，认沽期权也有相同类型的等式成立，公式如下。
![]()
通过开始介绍的平价期权的公式可得到如下公式。
![]()
这表示认购期权和认沽期权的理论价和市场价之差总是相同的。若使得 CM=CB 成立的隐含波动率 σIM =30%、PM=PB，公式可变为：
![]()
B-S 模型的变量 S, X, T, r, σ 在认购期权和认沽期权公式中都是相同的值，因此 CM=CB 成立的认购期权的隐含波动率和 PM=PB 成立的认沽期权隐含波动率应为相同的值，所以，可总结为相同行权价、相同到期日的认购期权和认沽期权的隐含波动率应相同。
把上面的讨论扩展到不同行权价的期权。相同到期日的期权中有 X1,X2,...等对应于不同行权价的期权平价值，也会有对应该行权价的多个隐含波动率（σ1, σ2,...）的 值。但隐含波动率是市场参与者对当前时点到到期时点的标的资产波动率的预测值，是与行权价无关的标的资产波动率的预测值。
因此，该预测值在理论上应相同 （σ1=σ2=...）。但在现实市场中会如何呢？利用真实的国外期权市场数据分析，会发现平值期权的隐含波动率最小，越远离平值期权，隐含波动率越大，我们称这个现象为波动率微笑现象。
如下图所示的横轴为行权价格，纵轴表示隐含波动率。隐含波动率取值最小的点正好对应平值期权的点，虚线代表的是 B-S 模型中的隐含波动率，不与行权价相关而取固定值。
![]()
真实市场中的隐含波动率与 B-S 模型的预测值不同，想要得与预测值相同的波动率，标的资产的分布又该如何呢？
如下所示，画出了行权价格不相关的有固定隐含波动率的分布，以及根据行权价呈现隐含波动率微笑形态的分布。
![]()
图中的实线表示标的资产收益率服从对数正态分布，虚线代表可以解释波动率微笑的分布。市场中经常发生的波动率微笑现象无法用假设标的资产服从对数正态分布的 B-S 模型解释。波动率微笑现象只能用极端情况比正太分布更厚的厚尾 分布来解释。下面我们用沪深 300 指数看一看中国市场呈现哪种分布。
如下图所示，可以看到日线级别的沪深 300 指数的变动与对数正态分布有明显的区别。相比对数正态分布，更接近于上图中的虚线形态。严格来讲，左尾相似度较高。
![]()
图：沪深300指数日线对数收益率分布
![]()
2国内市场的微笑曲线
中国市场的微笑曲线是怎样的呢？这个问题可以通过中国市场的标的资产分布来推算。沪深 300 指数的分布拥有左边厚尾，而右边尾部厚度虽比正态分布要厚， 但厚度不如左边。因此，我们预测该曲线与典型的对称式微笑曲线不同。预测中国市场的微笑曲线如图所示。
![]()
图：中国市场的微笑曲线
利用中国市场的真实数据来查看微笑曲线。下图使用的是 2017 年 3 月 31 日 的数据，当时 50 ETF 的价格为 2.375 元，可以看到该微笑曲线与前面根据 50 ETF 的历史数据所预测的微笑曲线非常接近。当然，其中有一定的局限性，期权的微笑曲线应使用长期平均值，而这里只使用了 2017 年 3 月 31 日的数据。不过，即便有如此局限，对微笑曲线的预测也较为准确，意味着这提供了将微笑曲线应用到实际交易的线索。
图：vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权微笑
如何应对尾部风险？
应对尾部风险的对策是什么？尾部风险意味着在模型假设中几乎不会发生极端事件，但往往发生的频率比想象的更多。问题在于谁也不知道这些事件在何时发生。
当前，金融业使用的大部分风险分析工具都基于标的资产价格服从对数正态分布的假设。现代金融数学以正态分布假设为基础，在低估“尾部风险”的同时，认为没有“尾部风险”就可以分散和控制所有风险。但次贷危机所呈现的现实是“尾部风险”确实存在，且风险并不像 B-S 模型和现代金融数学所想象的那样能被轻易消除。
那么应对“尾部风险”的方法是什么呢？“黑天鹅”之父 Nassim Nicholas Tale （纳西姆·尼古拉斯·塔勒布）认为由于无法预测尾部风险，因此将大部分资产配置在安全资产，仅配置少量资产在风险资产，这种方法可以应对尾部风险。
这个应对方法难免让人感觉其对尾部风险有非常华丽的解释，但其对策确十分简陋。塔勒布的对策虽然十分简陋，但也是无奈的现实。因为无人可以预测，所以对策也不会很有吸引力。
分析过往的危机可以发现一些共同点，那就是金融危机背后是对尾部风险的低估，以及与之形成的杠杆的最大化。在金融资产投资中，过度的杠杆是所有人对尾部风险低估所产生的现象。对尾部风险的低估总能形成过度杠杆，此时可能会因为微小的冲击，导致巨大结果的蝴蝶效应，使得“尾部风险”的可能性转为现实性。
- END -
文章来源：濡圣投资
|
|
转播
