如何比较1 +2+3+4+……+N和2+4+6+8+……+N的大小？

我们物理老师出的，答案是只是同阶，emmm 是加到无穷的，即N∞

热心的小回应 · 2021-1-15 08:37:23

所以这两个无穷大是同阶的。

热心的小回应 · 2021-1-15 08:37:24

以下正经答案：

当我们讨论1+2+3+……（加到无穷）的时候，首先要明白1+2+3+……究竟等于几，先看一个比较简单的情况：

1-1+1-1+1-1+……等于几？
我可以说
(1-1)+(1-1)+(1-1)+……=0+0+0+……=0
也可以说
1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+……=1+0+0+……=1
这肯定是不行的，因为它不能既是0又是1（此处请不要想歪）

实际上，对于无穷个数相加，我们都要搞清楚“它到底是什么？”

一般这种情况，我们认为它是“前n项和s，在n趋向无穷时候的极限”，这就是无穷级数的定义。如果你连极限是什么都不知道或者忘了，那么接下来的答案你也不用看了，我帮不了你。

既然是一个极限，那么就有可能极限不存在。比如上面提到的例子，
1-1+1-1+1-1+……
它前n项的和s，在n为奇数时是1，n为偶数时是0，也就是这样的序列：
n=1，2，3，4，5，6，……
s=1，0，1，0，1，0，……
看看吧，s的极限不存在，所以我们说原来那个级数1-1+1-1+1-1+……不存在！
（注：这种级数的定义下它不存在，然而可以换一种定义方式，使它的值是0.5（此处请不要想歪））

好吧，现在看看1+2+3+……的情况，我们写出它的前n项和：
n=1，2，3，4，5，6，……
s=1，3，6，10，15，21，……
我们知道等差数列的求和公式吧？如果你不知道，你起码知道1+2+……+n等于几吧？如果你还不知道，那么接下来的答案你也不用看了，我帮不了你。

没错，1+2+……+n=n(n+1)/2，它在n趋向无穷的时候极限是正无穷，所以我们说
1+2+3+……=正无穷

同样的道理，
2+4+6+……=正无穷。
如果你无法理解为什么是“同样的道理”，那么接下来的答案你也不用看了，我帮不了你。

好啦，你要比较他俩谁大，我把他俩都算出来啦！其中一个是正无穷，另外一个也是正无穷！最后的问题就是：他俩谁大呢？

这是一个会轻微地触及到实数根基的问题。问题就在于在于“如何在扩充实数域（实数并上正负无穷）上面定义一个序结构”。对于两个实数，比如1和2，我们知道
1

热心的小回应 · 2021-1-15 08:37:25

在实数定义域下，无穷发散数列是不可以比较大小的，在实数域下完全没有数学意义。（不谈定义域，就谈结论也是耍流氓）

对于黎曼函数：

在实数定义域下，当z>1时，黎曼函数是收敛函数，在无穷加和后收敛到确定数值。

对于：

也就是z=-1时的黎曼函数，此时函数发散，在实数域下没有定义。但是在复平面下，存在解析延拓的结果即：

关于什么是”解析延拓“，和这种结果的图形化解释，可以参考斯坦福大学Grant Sanderson作的科普视频，形象生动，非常清晰（B站恰好有字幕版）：
【官方双语】黎曼ζ函数与解析延拓的可视化

PS:宣传一下我其它的社区回答（不认真答的都不放这里）：
房间内有 100 人，每人有 100 块，每分钟随机给另一个人 1 块，最后这个房间内的财富分布怎样？

热心的小回应 · 2021-1-15 08:37:26

按理来说，如果你只考虑自然数集的话。an= 1+2+3+…+n 这个序列的极限是不存在的。你无法比较两个不存在的事物是否相等

但是要是考虑Alexandroff extension，那他们的极限都是∞，那本来就是一个元素，自然是相等的

数学上先明确你的数列是基于什么代数结构是关键的，否则讨论没有意义

热心的小回应 · 2021-1-15 08:37:27

不是很懂其他人的回答。
把两个求和公式相除，在n趋于无穷的情况下，可得1/2，同阶无穷大，所以比较大小没意义。。。。只是第一个增大速率要比第二个慢一点(1/2)

如何比较1 +2+3+4+……+N和2+4+6+8+……+N的大小？

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