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§9.1 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
1、曲顶柱体的体积
设有一空间立体 ,它的底是 面上的有界区域 ,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于 轴的柱面,它的顶是曲面 。
当 时, 在上连续且 ,以后称这种立体为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积 可以这样来计算:
(1)、用任意一组曲线网将区域分成 个小区域  ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体  。
（假设 所对应的小曲顶柱体为 ,这里既代表第 个小区域,又表示它的面积值,既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)
从而  (将化整为零)
(2)、由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是
(以不变之高代替变高, 求的近似值)
(3)、整个曲顶柱体的体积近似值为
(积零为整, 得曲顶柱体体积之近似值)
(4)、为得到的精值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:
一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。
设个小区域直径中的最大者为 , 则
(取极限让近似值向精确值转化)
2、平面薄片的质量
设有一平面薄片占有 面上的区域, 它在 处的面密度为 ,这里 ,而且在上连续,现计算该平面薄片的质量 。
将 分成个小区域  用 记 的直径, 既代表第个小区域又代表它的面积。
当 很小时, 由于连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第小块区域的近似质量可取为
于是 
两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念___ 二重积分。
3、二重积分的定义
设是闭区域上的有界函数, 将区域分成个小区域
,
其中: 既表示第个小区域, 也表示它的面积,表示它的直径。
作乘积 
作和式 
若极限  存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记作  。
即 
其中: 称之为被积函数,
 称之为被积表达式,
 称之为面积元素,
 称之为积分变量,
称之为积分区域,
称之为积分和式。
4、几个事实
(1)、二重积分的存在定理
若在闭区域上连续, 则在上的二重积分存在。
声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。
(2)、 中的面积元素象征着积分和式中的。
由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作 (并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为  。
(3)、若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有相类似的性质
1、【线性性】
其中: 是常数。
2、【对区域的可加性】
若区域分为两个部分区域 ,则
3、若在 上, , 为区域的面积,则
几何意义: 高为 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
4、若在上, ,则有不等式
特别地,由于 ，有
5、【估值不等式】
设与 分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则
6、【二重积分的中值定理】
设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少存在一点 ,使得
【例1】用二重积分的定义计算下述二重积分，并利用二重积分的几何意义验证你的计算结果。
解: 在上连续,故二重积分存在。用平行于 轴或 轴的直线
 
将剖分成 个小矩形区域 ,
每个小区域的面积为  ,
在小区域上选取点 为格点 ,
作积分和式
小区域的直径均为
该曲顶柱体的图形为
据二重积分的几何意义,该抛物柱面的体积为
【例2】估计二重积分  的值,是圆域 。
解: 求被积函数 在区域上可能的最值
 是驻点,且  ；
在边界上,
 , ,
于是有
§9.2 二重积分的计算法
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。
一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分 的计算问题。
讨论中,我们假定  ；
假定积分区域 可用不等式  表示,
其中 ,  在 上连续。
据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面 为顶的曲顶柱体的体积。
在区间上任意取定一个点 ,作平行于 面的平面 ,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 为底,曲线 为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点 且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
从而有
 (1)
上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把 看作常数, 只看作 的函数,对 计算从 到 的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从 到 计算定积分。
这个先对 , 后对的二次积分也常记作
在上述讨论中,假定了 ，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的 (在 上连续),公式(1)总是成立的。
例如:计算 
解: 
类似地,如果积分区域可以用下述不等式
表示,且函数 , 在 上连续, 在上连续,则
 (2)
显然,(2)式是先对,后对的二次积分。
二重积分化二次积分时应注意的问题
1、积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。
2、积分限的确定
二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。
画出积分区域的图形(假设的图形如下 )
在 上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点 与 ,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间 上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为 、上限为 。
【例1】计算 ,其中是由轴,轴和抛物线 在第一象限内所围成的区域。
类似地, 
【例2】计算 , 其中是由抛物线 及直线 所围成的区域。
【例3】求由曲面 及 所围成的立体的体积。
解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在 面上的投影区域
消去变量 得一垂直于面的柱面  ,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域
2、列出体积计算的表达式
 
3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算
而 
由,的对称性有 
所求立体的体积为
二、利用极坐标计算二重积分
1、变换公式
按照二重积分的定义有
现研究这一和式极限在极坐标中的形式。
用以极点 为中心的一族同心圆  以及从极点出发的一族射线  ,将剖分成个小闭区域。
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域 的面积可如下计算
其中, 表示相邻两圆弧半径的平均值。
(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)
在小区域上取点 ,设该点直角坐标为 ,据直角坐标与极坐标的关系有
于是
即
由于 也常记作 , 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式
 (1)
(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中, 就是极坐标中的面积元素。
(1)式的记忆方法:
2、极坐标下的二重积分计算法
极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。
【情形一】积分区域可表示成下述形式
其中函数 ,  在 上连续。
则 
【情形二】积分区域为下述形式
显然,这只是情形一的特殊形式 ( 即极点在积分区域的边界上 )。
故 
【情形三】积分区域为下述形式
显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成 与 ,而
故 
则 
由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域 用极坐标变量 表示成如下形式
下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。
【例4】将下列区域用极坐标变量表示
1、
2、
3、
先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围 ；
再过内任一点 作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围 。
注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。
利用此题结果可求出著名概率积分  。
而被积函数满足  ,从而以下不等式
成立，再利用例二的结果有
 ,
 ,
于是不等式可改写成下述形式
故当 时有  ,
即  。
3、使用极坐标变换计算二重积分的原则
(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含 ,  为实数 )。
【例6】计算
解 此积分区域为
区域的简图为
该区域在极坐标下的表示形式为
§9.3 二重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：
1、所要计算的某个量 对于闭区域 具有可加性(即:当闭区域 分成许多小闭区域 时, 所求量相应地分成许多部分量 ,且 )。
2、在内任取一个直径充分小的小闭区域时, 相应的部分量可近似地表示为  , 其中 , 称 为所求量的元素, 并记作 。
(注: 的选择标准为:  是直径趋于零时较更高阶的无穷小量)
3、所求量 可表示成积分形式 
一、曲面的面积
设曲面 由方程 给出, 为曲面在 面上的投影区域,函数 在上具有连续偏导数 和 ,现计算曲面的面积 。
在闭区域 上任取一直径很小的闭区域(它的面积也记作),在内取一点 ,对应着曲面 上一点 ,曲面在点 处的切平面设为 。 以小区域 的边界为准线作母线平行于 轴的柱面, 该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。
曲面在点 处的法线向量( 指向朝上的那个 )为
它与轴正向所成夹角 的方向余弦为
而 
所以 
这就是曲面的面积元素, 故
故 
【例1】求球面 含在柱面 ( ) 内部的面积。
解:所求曲面在面的投影区域 
曲面方程应取为  , 则
 , 
曲面在 面上的投影区域 为
据曲面的对称性,有
若曲面的方程为 或 ,可分别将曲面投影到 面或 面,设所得到的投影区域分别为 或 ,类似地有
或
二、平面薄片的重心
1、平面上的质点系的重心
其质点系的重心坐标为
 , 
2、平面薄片的重心
设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点 处的面密度为 ,假定在上连续,如何确定该薄片的重心坐标 。
这就是力矩元素,于是
又平面薄片的总质量 
从而,薄片的重心坐标为
特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则
十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。
【例2】设薄片所占的闭区域为介于两个圆 ,
( )之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。
解: 由的对称性可知: 
而 
故 
三、平面薄片的转动惯量
1、平面质点系对坐标轴的转动惯量
设平面上有 个质点, 它们分别位于点 处, 质量分别为 。
设质点系对于 轴以及对于 轴的转动惯量依次为
2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量
设有一薄片,占有面上的闭区域,在点 处的面密度为 , 假定在上连续。 现要求该薄片对于 轴、 轴的转动惯量 , 。
与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为
【例3】求由抛物线 及直线 所围成的均匀薄片(面密度为常数 )对于直线 的转动惯量。
解: 转动惯量元素为
四、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点 处的面密度为,假定在上连续,现计算该薄片对位于轴上点 处的单位质量质点的引力。
于是,薄片对质点的引力 在三个坐标轴上的分力 的力元素为
故
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