第4章不定积分

原函数
原函数判定定理
不定积分的概念

1 . 原函数：当函数 $\LARGE F(x)$ 自变量 $\LARGE x$ 在区间 $\LARGE I$ 上取值的时候，即是 $\LARGE \forall x\epsilon I$

都有 $\LARGE F'(x)=f(x) \Leftrightarrow dF(x)=f(x)dx$

这时 $\LARGE F(x)$ 是 $\LARGE f(x)$ 在区间 $\LARGE I$ 上的原函数。

TIP: 1. $\LARGE F(x)$ 是处处可导函数 ，且其导数是 $\LARGE f(x)$ ；

2. 自变量区间为 $\LARGE I$

3. $\LARGE \forall x\epsilon I$ 有 $\LARGE F'(x)=f(x) \Leftrightarrow dF(x)=f(x)dx$

4 .由于可导必连续，因此原函数 $\LARGE F(x)$ 一定是区间 $\LARGE I$ 上的连续函数。

二、判定定理：

对于定义中的导函数 $\LARGE f(x)$ 如果在定义中的区间 $\LARGE I$ 上是连续的，那么处处可导函数 $\LARGE F(x)$ 一定存在。

即是 $\LARGE \forall x\epsilon I \Rightarrow F'(x)=f(x)$

tip：1.f(x) 定义在区间 I 上，2. f（x）是连续的。那么可以下结论，原函数一定存在。

判定定理的简单说法：连续函数一定有原函数。。

三、不定积分 ====定义：

首先，对于原函数定义中的导函数 $\LARGE f(x)$ 的原函数一定是不唯一的。因为任意一个原函数增加一个常数项然后求导，其导数都是 $\LARGE f(x)$

因此，定义为：函数 $\LARGE f(x)$ 带有任意常数项的原函数称为称为函数 $\LARGE f(x)$ 的 不定积分。

$\LARGE f(x)$ ----------------------------------被积函数

$\LARGE f(x)dx$ ---------------------------------被积表达式

$\LARGE \int f(x)dx$ ----------------------------------不定积分

$\LARGE \int f(x)dx = F(x)+C$ --------------------这便是带有任意常数项的原函数，就是不定积分的。

1.不定积分是一个原函数集合，原函数是集合上的一个元素，

2，常数C，在运算中为了简化运算，可以任意取得。比如 0 ，1 等，使计算简便。

不定积分是求导的反问题。

例题：求 $\LARGE \int \frac{1}{x}dx$

当 $\LARGE x> 0$ , $\large ln'(x)=\frac{1}{x}$ ，因此找到了一个原函数，因此 $\LARGE \int \frac{1}{x}dx=ln(x)+c$

当 $\LARGE x<0$ 时 $\large ln'(-x)=\frac{1}{x}$ 找到了一个原函数，因此，

$\LARGE \int \frac{1}{x}dx=ln(-x)+c$

综合起来有 $\LARGE \int \frac{1}{x}dx=ln(|x|)+c,x\neq 0$

求一个原函数，就是不定积分。

例题：已知曲线通过 (1,2) ,且曲线上任意一点的切线斜率为这点横坐标的 2倍，求曲线方程。

解答：设函数为 $\LARGE y=f(x)$ ,根据题意，有

$\LARGE \frac{dy}{dx}=2x$ ,因此所求曲线是函数，2x 的一个原函数，对它积分。

因为 $\LARGE \int 2xdx= x^2 +c$ ，且曲线通过点（1，2 ）

因此，由 $\LARGE 1^2 +c=2$ 解得，C为 1 ，从而 $\LARGE f(x)=x^2 +1$

函数的原函数的图形称为 ------------积分曲线。

在初等数学中我们总是通过解方程的形式来就未知数的值，

这里，我们的未知元素是函数，即是解未知函数，这也叫做解微分方程。

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例题：求分段函数的 $\LARGE f(x)=e^{|x|} =\left\{\begin{matrix} e^x &x\geq 0\\ e^{-x}&x<0 \end{matrix}\right.$ 的原函数F（x ）

总结：对于分段函数，只需要在不同的分段区间，上分别积分，即可。根据原函数的定义知道，原函数F是定义区间上的处处可导函数，从而必然是处处连续函数 $\tiny \Rightarrow$ 为了保证连续性，通常只需要利用F在分段点出的连续性建立常数之间的关系即可。例如本例由 $\LARGE \lim_{x \to 0^+}F =\lim_{x \to 0^-}F$ 即可建立常数关系。

===========================整体换元法===========练习题================

$y=\sqrt{1-x^2} \Rightarrow lny =\frac{1}{2}ln(1-x^2) \Rightarrow \frac{y'}{y}=-x .\frac{1}{1-x^2} \Rightarrow y' = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2 }}$

$\Rightarrow dy = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2 }} dx =d \sqrt{1-x^2}$

$y=\sqrt{1-x^2} \Rightarrow y^2 =1-x^2 ,(x\epsilon (-1,1)) \Rightarrow 2yy'=-2x \Rightarrow y'=-\frac{x}{y}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

1. $\LARGE \frac{-x}{\sqrt{1-x^2 }} dx =d \sqrt{1-x^2}$

$arcsin'(x) = \frac{1}{sin'(y)}=\frac{1}{cos(y)}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

2. $d arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx \Rightarrow d-arcsin(x) =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

例题：求积分 $\LARGE \int \frac{ dx}{1+\sqrt{1-x^2} }= ?$

错解

$\tiny t=\sqrt{ 1-x^2} \Rightarrow t^2=1-x^2 \Rightarrow 2t=-2x \frac{dx}{dt} \Rightarrow -t =x \frac{dx}{dt} \Rightarrow dx=-txdt=-t{\sqrt{ 1-x^2}}$

对解：

令 $\tiny x=sint(t) (-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}) \Rightarrow dx=cos(t)dt$

$\LARGE \int \frac{ cos(t)dt}{1+cos(t) }= \int[1- \frac{1}{1+cos(t) }]dt=$

$\tiny \int[1- \frac{1}{1+cos(t) }]dt= \int[1- \frac{1}{cos^2(\frac{t}{1}) }]dt=t-\int[\frac{2}{cos^2(\frac{t}{2}) }]dt=t-tan(\frac{t}{2})+c =arcsin(x)-\frac{ x}{1+\sqrt{1-x^2} } +c$

总结 :此题是第二类换元法中的三角换元。

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例题：求积分 $\tiny \int \frac{x+5}{x^2-6x+13}dx = ?$

$\tiny \int \frac{x+5}{x^2-6x+13}dx = \int \frac{x}{x^2-6x+13}dx + \int \frac{5}{x^2-6x+13}dx$

$\tiny = \int \frac{x}{x^2-6x+13}dx + \int \frac{5}{x^2-6x+13}dx$

因为 $\tiny dx^2=dx^2-d6x+d6x +d13-d13 =d(x^2-6x +13 )+d(6x-13)$

$\tiny xdx=\frac{1}{2}[ dx^2-d6x+d13 +d6x ] =\frac{1}{2}d(x^2-6x+13) +\frac{1}{2}d6x =\frac{1}{2}d(x^2-6x+13) +3dx$

$\tiny \dpi{200} \tiny =\frac{1}{2} \int \frac{d(x^2-6x+13)}{x^2-6x+13}+\int \frac{3}{x^2-6x+13} dx+\int \frac{5}{x^2-6x+13}dx$

$\tiny =\frac{1}{2} \int \frac{d(x^2-6x+13)}{x^2-6x+13} +\int \frac{8}{x^2-6x+13} dx$

$\tiny =\frac{1}{2}ln(x^2-6x+13)+\int \frac{8}{x^2-6x+13} dx$

$\tiny =\frac{1}{2}ln(x^2-6x+13)+\int \frac{4}{[(\frac{x-3}{2})^2+1]} d(\frac{x-3}{2})$

$\tiny t=\frac{x-3}{2}$

$\tiny =\frac{1}{2}ln(x^2-6x+13)+4\int \frac{1}{ t^2+1}dt$

$\tiny =\frac{1}{2}ln(x^2-6x+13)+4arctan(t) +c$

$\tiny =\frac{1}{2}ln(x^2-6x+13)+4arctan(\frac{x-3}{2}) +c$

总结：微分的运算法则：

$\tiny d(u+v)=du+dv \Leftarrow du+dv =d(u+v ) , [u=u(x),v=v(x)]$

事实上只要在导数的加法运算中两边同时乘以，dx 就可以得到

$\tiny \frac{d(u+v)}{dx}=\frac{du}{dx}+ \frac{dv}{dx} \Rightarrow d(u+v)=du+dv$ ,

$\tiny \int a^xdx= \int \frac{1}{lna}e^{xlna}d(xlna)=\frac{e^{xlna}}{lna }=\frac{a^x}{lna }$

求积分： $\tiny \int \frac{ 1+sin^2(x)}{1-cos(2x) }dx =?$

$\tiny cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x) =2cos^2(x)-1= 1-2sin^2(x)$

$\tiny \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2cos^2(x)=cos(2x)+1 \Rightarrow cos^2(x)\frac{ cos(2x)+1}{2 }\\ \\ 2sin^2(x)=1-cos(2x)\Rightarrow sin^2(x)=\frac{1-cos(2x) }{2 }\\ \end{matrix}\right.$

$\tiny \int \frac{ 1+sin^2(x)}{1-cos(2x) }dx =\int \frac{ 1+\frac{ 1-cos(2x)}{2 }}{1-cos(2x) }dx =\frac{1}{2} \int \frac{2+1-cos(2x) }{1-cos(2x) }dx = \frac{1}{2} \int dx+ \frac{1}{2} \int \frac{1}{sin^2(x)) }dx$

$\tiny = \frac{1}{2} \int dx+ \frac{1}{2} \int \frac{1}{sin^2(x)) }dx=\frac{1}{2}x- \frac{ 1}{2 }cot(x) +c$

=====万能公式在积分中的应用===========

$\tiny sinx=2sin\frac{x }{ 2}cos\frac{x}{2}=\frac{2sin\frac{x }{ 2}cos\frac{x}{2} }{cos^2\frac{x}{2}+sin^2\frac{x}{2} } =\frac{2tan \frac{x}{2}}{ 1+tan^2 \frac{x}{2}}$

$\tiny cosx=cos^2 \frac{x}{2}-sin^2 \frac{x}{2}= \frac{cos^2 \frac{x}{2}-sin^2 \frac{x}{2}}{cos^2 \frac{x}{2}+sin^2 \frac{x}{2} } =\frac{1-tan^2\frac{x}{2} }{1+tan^2\frac{x}{2} }$

$\tiny u=tan \frac{x}{2},x\epsilon (-\pi,\pi) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} sinx=\frac{2u}{ 1+u^2}\\ cosx=\frac{ 1-u^2}{1+u^2 } \\ x=2arctan (u) \Rightarrow dx=\frac{2}{1+u^2}du \end{matrix}\right.$

例题：求积分

$\tiny \int \frac{ dx}{ 2sinx-cosx+5} = \int \frac{ \frac{2}{1+u^2}du }{ 2 \frac{2u}{1+u^2}- \frac{ 1-u^2 }{ 1+u^2 } +5}$

$\tiny \int \frac{ dx}{ 2sinx-cosx+5} = \int \frac{ \frac{2}{1+u^2}du }{ \frac{4u}{1+u^2}- \frac{ 1-u^2 }{ 1+u^2 } +5}=\int \frac{du }{ 3u^2+2u+2}$

$\tiny = \int \frac{ \frac{2}{1+u^2}du }{ \frac{4u}{1+u^2}- \frac{ 1-u^2 }{ 1+u^2 } +5}=\int \frac{du }{ 3u^2+2u+2}= \frac{1}{3}\int \frac{1 }{ u^2+\frac{2}{3}u+\frac{2}{3}} du$

$\tiny = \frac{1}{3}\int \frac{1 }{ u^2+\frac{2}{3}u+\frac{2}{3}} du =\frac{1}{3}\int \frac{1}{ (u+\frac{1}{3})^2+(\frac{\sqrt{5}}{3})^2}dx =\frac{1}{3} .\frac{9}{5}\int \frac{1}{(\frac{ u+\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{ 3} })^2+1}dx =\frac{1}{\sqrt{5}}arctan \frac{3u+1}{\sqrt{5}}+c$

$\tiny =\frac{1}{\sqrt{5}}arctan \frac{3 tan\frac{x}{2} +1}{\sqrt{5}}+c$

例题：求不定积分

$\tiny \int \frac{ x }{ x+\sqrt{x^2-1} }dx$ .

$\tiny \int \frac{ x }{ x+\sqrt{x^2-1} }dx =\int \frac{ x( x-\sqrt{x^2-1} ) }{( x+\sqrt{x^2-1} ) ( x-\sqrt{x^2-1} ) }dx$

$\tiny \int \frac{ x }{ x+\sqrt{x^2-1} }dx =\int \frac{ x( x-\sqrt{x^2-1} ) }{1 }dx$

由此说明，在积分过程中分母的有理化是一个重要的化简方式；其实质是对根式升次，去分母。分式运算比普通的无理式要复杂。

$\tiny \int x( x-\sqrt{x^2-1 )}dx =\int x^2dx - \int x \sqrt{x^2-1}dx =\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3} \int \sqrt{ x^2-1}d(x^2-1 )$

$\tiny =\frac{1}{2}x^2-\frac{1*2}{2*3} (x^2-1)^{ \frac{3}{2}} =\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3} (x^2-1)^{ \frac{3}{2}} +c$

总结：由于自变量的取值范围是对称并集区间 $\tiny (-\infty,-1) \cup (1,+\infty)$ ,因此也可以做变量替换， $\tiny \left\{\begin{matrix} x=sec(t) \Rightarrow dx = sec(t)tan(t)dt\\ \\ \\sec'(t) = (\frac{1}{cos(t)})'=\frac{(1)'cos(t) -1.cos'(t) }{cos^2(t) } =\frac{0-1.(-sint)}{cos^2t} \end{matrix}\right.$