MOM 理论总述

一、原理:

矩量法的求解过程主要包括以下四个部分：

区域的离散；
基函数和权函数的选择；
阻抗元素的求解；
方程组的求解。

现有线性算子方程如下：

$L(f)=g$ $..........................(1)$

其中， $L$ 为线性算子， $g$ 是已知函数(如激励源)， $f$ 为未知函数(如电流)。

1、离散化过程

这一过程的主要目的在于将算子方程化为代数方程，其具体步骤如下：

<1>、在算子 $L$ 的定义域内，适当地选择一组基函数 $(f_{1},f_{2},\cdots ,f_{N})$ ，它们应该是线性无关的，

<2>、将未知函数 $f(x)$ 表示为该组基函数的线性组合

$f(x)=\sum_{n=1}^{N}a_{n}f_{n}\approx f_{N}(x)=\sum_{n=1}^{N}a_{n}f_{n}$ $..........................(2)$

<3>、将（2）带入（1），利用算子的线性，将算子方程化为代数方程

$\sum_{n=1}^{N}a_{n}L(f_{n})=g$ $..........................(3)$

于是，求解 $f(x)$ 的问题转化为求解 $f_{n}$ 的系数 $a_{n}$ 的问题。

2、使用权函数进行检验

<1>、在算子 $L$ 的定义域内，适当的选择一组权函数 $(w_{1},w_{2},\cdots ,w_{N})$ ，它们也应该彼此线性无关。

<2>、将 $w_{m}$ 与（3）取内积进行抽样检查，因为要确定 $N$ 个未知数，需要进行 $N$ 次抽样检查，因此有

$<L(f),W_{m})>=<g,W_{m}>$ $(m=1,2,\cdots ,N)$ $..........................(4)$

基函数和权函数有很多种组合方式，常用的有加略金法：即选择权函数等于基函数。

3、矩阵元素的求解

利用算子的线性，将（4）化为矩阵方程

$\sum_{n=1}^{N}a_{m}<L(f_{n}),W_{m}>=<g,W_{m}>$ $..........................(5)$

将它写成矩阵形式

$[l_{mn}]\cdot [a_{n}]=[g_{m}]$ $m,n=1,2,\cdots ,N$ $..........................(6)$

式中，

$[a_{n}]=\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{N} \end{bmatrix}$ $[g_{m}]=\begin{bmatrix} <g,W_{1}>\\ <g,W_{2}>\\ \vdots \\ <g,W_{N}> \end{bmatrix}$ $..........................(7)$

$[l_{mn}]=\begin{bmatrix} <L(f_{1}),W_{1}> &<L(f_{2}),W_{1}> &\cdots &<L(f_{N}),W_{1}> \\ <L(f_{1}),W_{2}>&<L(f_{2}),W_{2}> & \cdots &<L(f_{N}),W_{2}> \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ <L(f_{1}),W_{N}> & <L(f_{2}),W_{N}> & \cdots &<L(f_{N}),W_{N}> \end{bmatrix}$ $..........................(8)$

求解代数方程问题转化为求解矩阵方程的问题。

4、方程组的求解

在得到矩阵方程后，通过矩阵求逆或者求解线性方程组，边可得到矩阵方程的解

$[a_{n}]=[l_{mn}]^{-1}[g_{m}]$ $..........................(9)$

在将求得的展开系数 $a_{n}$ 代入（2）中，便得到原来算子方程式（1）的解

$f(x)=\sum_{n=1}^{N}a_{n}f_{n}(x)$ $..........................(10)$

二、理想导体的表面积分方程

1、公式：

之前写过，直接给出结果：

$n\times \int _{s}[J(r^{'})\frac{e^{-ikR}}{R}+\frac{1}{k^{2}}\bigtriangledown ^{'}\cdot J(r^{'})\bigtriangledown (\frac{e^{-ikR}}{R})]dS^{'}=\frac{4\pi }{ik\eta }n\times E^{inc}$ $..........................(11)$

即：

$n\times ik\eta \int _{s}[J(r^{'})g(r,r^{'})+\frac{1}{k^{2}}\bigtriangledown ^{'}\cdot J(r^{'})\bigtriangledown g(r,r^{'})]dS^{'}=n\times E^{inc}$ $r\in S$ $..........................(12)$