集合基数

主要内容
1.	集合的等势与优势
2.	集合的基数
学习要求
1.	掌握：集合之间等势与优势的概念，等势的性质（自反性，对称性，传递性）
2.	掌握：证明集合等势的方法，康托定理的内容及证明方法
3.	掌握：自然数、自然数集、有穷集、无穷集的定义与主要性质
4.	掌握：集合基数的定义、基数的比较、可数集的定义与主要性质

集合的等势与优势

集合的等势

　　通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的量。集合的势越大，所含的元素越多。
定义9.1设A，B是集合，如果存在着从A到B的双射函数，就称A和B是等势的，记作A≈B。如果A不与B等势，则记作AB。
　　下面给出一些集合等势的例子。
例9.1 (1) Z≈N。回顾上一章例8.6(3)，令
　　　　f：Z→N，
则f是Z到N的双射函数。从而证明了Z≈N。
　　(2) N×N≈N. 为建立N×N到N的双射函数，只需把中所有的元素排成一个有序图形，如图9.1所示。N×N中的元素恰好是坐标平面上第一象限(含坐标轴在内)中所有整数坐标的点。如果能够找到“数遍”这些点的方法，这个计数过程就是建立N×N到N的双射函数的过程。按照图中箭头所标明的顺序，从<0，0>开始数起，依次得到下面的序列：
　　　　<0，0>，<0，1>，<1，0>，<0，2>，<1，1>，<2，0>，…
　　　　　↓　　　↓　　　 ↓　　　↓　　　↓　　　↓
　　　　　0　　　　1　　　 2　　　 3　　　 4 　　　5
　　设<m，n>是图上的一个点，并且它所对应的自然数是k。考察m，n，k之间的关系。首先计数<m，n>点所在斜线下方的平面上所有的点数，是

　　　　1+2+…+(m+n)=

然后计数<m，n>所在的斜线上按照箭头标明的顺序位于<m，n>点之前的点数，是m.因此<m，n>点是第

+m+1个点。这就得到
　　　　k=

+m
根据上面的分析，不难给出N×N到N的双射函数f，即

　　　　f：N×N→N
　　　　f(<m，n>)=

+m

等势的性质

　　以上已经给出了若干等势的集合。一般说来，等势具有下面的性质：自反性，对称性和传递性。
定理9.1 设A，B，C是任意集合，
　　(1) A≈A。
　　(2) 若A≈B，则B≈A。
　　(3) 若A≈B，B≈C，则A≈C。
　　证明:根据前面的分析和这个定理可以得到下面的结果：
　　　　N≈Z≈Q≈N×N
　　　　R≈[0，1]≈(0，1)
　　而后一个结果可以进一步强化成：任何的实数区间(包括开区间，闭区间以及半开半闭的区间)都与实数集合R等势。那么N与R是否等势呢?如果有N≈R，上面列出的所有集合彼此都是等势的；如果N

R，与N等势的那些集合也不会与R等势。下面证明N

R。
定理9.2 (康托定理)
　　(1) N

R
　　(2) 对任意集合A都有A

P(A)。
　　证 (1)如果能证明N

[0,1]，就可以断定N

R.为此只需证明任何函数f：N→[0,1]都不是满射的。
　　首先规定[0，1]中数的表示。对任意的x∈[0,1]，令
　　　　x=0.x₁x₂…，0≤x_i≤9
考察下述两个表示式：
　　　　0.24999… 和 0.25000…
显然它们是同一个x的表示。为了保证表示式的唯一性，如果遇到上述情况，则将x表示为0.25000…。根据这种表示法，任何函数f： N→[0，1]的值都可以用这种表示式给出。
　　设f： N→[0,1]是从N到[0,1]的任何一个函数。如下列出f的所有函数值：
　　　　f(0)=0.a₁⁽¹⁾a₂⁽¹⁾…
　　　　f(1)=0.a₁⁽²⁾a₂⁽²⁾…
　　　　…
　　　　f(n-1)=0.a₁⁽ⁿ⁾a₂⁽ⁿ⁾…
　　　…
设y是[0,1]之中的一个小数，y的表示式为0.b₁b₂…，并且满足b_i≠a_i⁽ⁱ⁾，i=1，2，….显然y是可以构造出来的，且y与上面列出的任何一个函数值都不相等。这就推出y

ranf，即f不是满射的。
　　(2)和(1)的证明类似，我们将证明任何函数g：A→P(A)都不是满射的。
　　设g： A→P(A)是从A到P(A)的函数，如下构造集合B：
　　　　B={x|x∈A∧x

g(x)}
则B∈P(A)，但对任意x∈A都有
　　　　x∈B

x

g(x)
从而证明了对任意的x∈A都有B≠g(x)。即B

rang。

优势

　　根据这个定理可以知道N

P(N)。再综合前边的结果不难断定N

{0，1}^N。实际上P(N)，{0，1}^N和R都是比N“更大”的集合。这里的“大”加了引号，因为至今为止我们还没有给出“大小”的严格定义。下面就来进行这个工作。

定义9.2
　　(1) 设A，B是集合，如果存在从A到B的单射函数，就称B优势于A，记作A·B。如果B不是优势于A，则记作A·B。
　　(2) 设A，B是集合，若A·B且AB，则称B真优势于A，记作A·B。如果B不是真优势于A，则记作A·B。
　　例如N·N，N·R，A·P(A)，R·N。又如N·R，A·P(A)，但N·N。
　　优势具有下述的性质。
定理9.3 设A，B，C是任意的集合，则

　　(1)A

·A。
　　(2)若A

·B且B

·A，则A≈B。
　　(3)若A

·B且B

·C，则A

·C。
　　定理9.3(2)部分的证明比较复杂，已经超过本书范围，故而略去。(1)和(3)的证明留作练习。

9.2 集合的基数

一．后继与归纳集

　　上一节我们只是抽象地讨论了集合的等势与优势。下面将进一步研究度量集合的势的方法。最简单的集合是有穷集。尽管前面已经多次用到“有穷集”这一概念，当时只是只管地理解成含有有限多个元素的集合，但一直没有精确地给出有穷集的定义。为解决这个问题我们需要先定义自然数和自然数集合。
定义9.3 设a为集合，称a∪{a}为a的后继，记作a⁺，即 a⁺=a∪{a}。
例9.3 考虑空集的一系列后继。
　　　　

⁺=

∪{

}={

}
　　　　

⁺⁺={

}⁺={

}∪{{

}}={

，{

}}={

，

⁺}
　　　　

⁺⁺⁺={

，{

}}⁺={

，{

}}∪{{

，{

}}}
　　　　　　={

，{

}，{

，{

}}}
　　　　　　={

，

⁺，

⁺⁺}
　　　　　　…
　　由于对任何集合a都有a

a。在空集的一系列后继中，任何两个集合都不相等。且满足下面的两个条件：
　　1．前边的集合都是后边集合的元素。
　　2．前边的集合都是后边集合的子集。
利用这些性质，可以考虑以构造性的方法用集合来给出自然数的定义，即
　　　　0=

　　　　1=0⁺=

⁺={

}={0}
　　　　2=1⁺={

}⁺={

，{

}}={0，1}
　　　　…
　　　　n={0，1，…，n-1}
但这种定义没有概括出自然数的共同特征。下面我们采用另一种方法刻划自然数。

自然数,有穷集,无穷集

定义9.4 设A为集合,如果满足下面的两个条件：
　　（1）∈A
　　（2）a(a∈A→a⁺∈A)
则称A是归纳集。
　　例如下面的集合
　　　　{,⁺,⁺⁺,⁺⁺⁺,…}
　　　　{,⁺,⁺⁺,⁺⁺⁺,…,a,a⁺,a⁺⁺,a⁺⁺⁺,…}
都是归纳集。
定义9.5
　　（1）一个自然数n是属于每一个归纳集的集合。
　　（2）自然数集N是所有归纳集的交集。
　　不难看出，根据定义9.5得到的自然数集N恰好由,⁺,⁺⁺,⁺⁺⁺,…等集合构成。而这些集合正是构造行所定义的全体自然数。
　　鉴于自然数都是集合，有关集合的运算对自然数都是适用的，例如：
　　　　2∪5={0,1}∪{0,1,2,3,4}={0,1,2,3,4}=5
　　　　3∩4={0,1,2}∩{0,1,2,3}={0,1,2}=3
　　　　4-2={0,1,2,3}-{0,1}={2,3}
　　　　2×3={0,1}×{0,1,2}={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>}
　　　　P(1)=P({0})={,{0}}={0,1}
　　　　2³={0,1}^{0,1,2}={f|f：{0,1,2}→{0,1}}={f₀,f₁,…,f₇}
　　其中
　　　　f₀={<0,0>,<1,0>,<2,0>}
　　　　f₁={<0,0>,<1,0>,<2,1>}
　　　　f₂={<0,0>,<1,1>,<2,0>}
　　　　f₃={<0,0>,<1,1>,<2,1>}
　　　　f₄={<0,1>,<1,0>,<2,0>}
　　　　f₅={<0,1>,<1,0>,<2,1>}
　　　　f₆={<0,1>,<1,1>,<2,0>}
　　　　f₇={<0,1>,<1,1>,<2,1>}

基数

　　下面给出基数的定义。
定义9.7
　　（1）对于有穷集合A，称与A等势的那个唯一的自然数为A的基数，记作cardA，即
　　　　cardA=nA≈n （对于有穷集A，cardA也可以记作|A|）
　　（2）自然数集合N的基数记作，即
　　　　cardN=₀
　　（3）实数集R的基数记作（读作阿列夫），即
　　　　cardR=
　　下面定义基数的相等和大小。

定义9.8 设A，B为集合，则
　　（1）cardA=cardB

A≈B
　　（2）cardA≤cardB

A

·B
　　（3）card<cardB

cardA≤cardB∧cardA≠cardB
　　根据上一节关于势的讨论不难得到：
　　　　cardZ=cardQ=cardN×N=

₀
　　　　cardP(N)=card2^N=card[a，b]=card(c，d)=

₀<

其中2N={0，1}N。从这里可以看出，集合的基数是集合的势的大小的度量。基数越大，势就越大。

　　由于对任何集合A都满足A

·P(A)，所以有
　　　　cardA<cardP(A)

这说明不存在最大的基数。将已知的基数按从小到大的顺序排列就得到：
　　　　0，1，2，…，n，…，

₀，

…
其中0，1，2…，n，…，恰好是全体自然数，是有穷集合的基数，也叫有穷基数。而

₀，

，…，是无穷集合的基数，也叫做无穷基数，

₀是最小的无穷基数，而后面还有更大的基数，如cardP(R)等。

可数集

定义9.9 设A为集合，若cardA≤

₀，则称A为可数集或可列集。
　　例如{a,b,c}，5，整数集Z，有理数集Q，以及N×N等都是可数集，但实数集R不是可数集，与R等势的集合也不是可数集。对于任何的可数集，它的元素都可以排列成一个有序图形。换句话说，都可以找到一个“数遍”集合中全体元素的顺序。回顾前边的可数集，特别是无穷可数集，都是用这种方法来证明的。
　　关于可数集有下面的命题：
　　1．可数集的任何子集都是可数集。
　　2．两个可数集的并是可数集。
　　3．两个可数集的笛卡尔积是可数集。
　　4．可数个可数集的笛卡尔积仍是可数集。
　　5．无穷集A的幂集P(A)不是可数集。
例9.4 求下列集合的基数。
　　（1）T={x|x是单词“BASEBALL”中的字母}
　　（2）B={x|x∈R∧x²=9∧2x=8}
　　（3）C=P(A)，A={1,3,7,11}
　　解（1）由T={B,A,S,E,L}知cardT=5。
　　（2）由B=

，可知cardB=0。
　　（3）由|A|=4可知cardP(A)=|P(A)|=2⁴=16。
例9.5 设A，B为集合，且
　　　　cardA=

₀，cardB=n，n是自然数，n≠0。
求cardA×B。
　　解由cardA=

₀，cardB=n，可知A，B都是可数集。令
　　　　A={a₀,a₁,a₂,…}
　　　　B={b₀,b₁,b₂,…,b_n-1}
对任意的<a_i,b_j>，<a_k,b_l>∈A×B有
　　　　<a_i,b_j>=<a_k,b_l>

i=k∧j=l
定义函数
　　　　f：A×B→N
　　　　f(<a_i,b_j>)=in+j，i=0,1,…,j=0,1,…,n-1
易见f是A×B到N的双射函数，所以
　　　cardA×B=cardN=

₀
　　如果直接使用可数集的性质，本题的求解更为简单。因为cardA=

₀，cardB=n，所以A，B都是可数集。根据性质3可知A×B也是可数集，所以cardA×B≤

₀。显然当B≠

时，cardA≤cardA×B，这就推出cardA×B=

₀。

习题

1.设A={a,b,c}，B=2^A，由定义证明P(A)≈2^A。
2.设[1，2]和[0，1]是实数区间，由定义证明[1，2]≈[0，1]。
3.设A={2x|x∈N}，证明A≈N。
4.证明定理9.1。
5.证明定理9.3的(1)，(3)。
6.设A，B，C，D是集合，且A≈C，B≈D，证明A×B≈C×D。
7.找出三个不同的N的真子集，使得他们都与N等势。
8.找出三个不同的N的真子集A，B，C，使得A·N，B·N，C·N。
9.根据自然数的集合定义计算：
　(1)3∪6，2∩5
　(2)4-3，31
　(3)∪4，∩1
　(4)1×4，2²

10.设A，B为可数集，证明　(1)A∪B是可数集。　(2)A×B是可数集。