每日数学-中值定理

这节准备写一下刚复习完的几个中值定理（费马，罗尔，拉格朗日，柯西）

1.极值定义

设f(x)在区间（ $x0-\delta ,x0+\delta$ ）内有定义，对于任意x属于（ $x0-\delta ,x0+\delta$ ）且x不等于x0都有

f(x)<f(x0)(或大于)

则称x0是f（x）的一个极大（极小）值点，f(x0)为极大（极小）值

2.最值定义

设f(x)在区间I上有定义，对于任意的x属于I，有

f(x)<=f(x0)(或小于等于)

则称x0是f(x)在x属于I上的最大（最小）点，f(x0)为最大（最小）值

3.费马定理

设函数f(x)在(a,b)内可微， $\xi$ 属于(a,b)是f(x)的极值点，则必有 $f^{1}(\xi )=0$

证明：

公式太长了，实在不想打，理论是根据极值定义和导数定义，求出在 $\xi$ 处的左导数和右导数，利用夹逼定理证明其相等且等于0.

4.罗尔中值定理

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f^{1}(\xi )=0$

证明：

因为闭区间连续，所以可以知道有最大最小二值，若二值相等，则为常值函数；

若二值不相等，则区间内至少有一点为极值，再根据费马定理，得出结论

5.拉格朗日中值定理

如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；那么在开区间(a,b)内至少有一点使等式成立。

证明：

已知

在上连续，在开区间内可导，构造辅助函数

可得又因为在上连续，在开区间内可导，所以根据罗尔定理可得必有一点使得

由此可得

变形得

6.柯西中值定理

设函数满足

⑴在闭区间上连续；

⑶对任意 ，，

那么在 内至少有一点 ，使得

成立

证明：

可构造辅助函数

，

在上连续，在内可导，且有。由罗尔定理可知，存在，使得，即，又

所以有

然后说一下更新的问题

文章标题起的每日数学是希望自己每天都能看数学，并来更新，但现阶段学校事情比较多，白天在单位也不好意思搞自己的事，所以目前可能是每周三更吧（也许更少）不过，数学真的很有用，希望没事的时候能来看看。