微分中值定理与导数的应用

3.1 微分中值定理

1 罗尔定理

费马引理：

在某一范围内，函数可导， $f(x_0) is..the..max$ , $f^{'}(x_0)=0.$ 称导数等于0的点为驻点。

罗尔定理：

函数在闭区间上有意义，在该区间内函数处处可导，且端点值相等，则在该区间内肯定至少存在一点导数等于0.

2 拉格朗日中值定理

罗尔定理的条件要求两端点值相等，这要求太严，并不常见，拉格朗日中值定理去掉这个条件。则

$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$ ，a,b是两个端点。

几何意义：

柯西中值定理：

拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况，在满足之前的的情况下，下式成立

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$ ，拉格朗日中值定理相当于g(x)=x

1.2 洛必达法则（由柯西中值定理推出的）

首先，使用范围：0/0，或者∞/∞这种未定式的极限。

对于这两种未定式： $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

除了这两种洛必达法则不适用。

1.3 泰勒公式

泰勒中值定理：一个函数在一个区间内有 n+1阶导数，则函数f(x)可以写成

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{{(2)}}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{{(n)}}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}(x).$

上式叫做泰勒展示，

$R_{n}(x)$ 成为余项，分为皮亚诺型和拉格朗日型余项，

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{{(2)}}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{{(n)}}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+o[(x-a)^{{n}}]$ 皮亚诺

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{{(2)}}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{{(n)}}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {f^{{(n+1)}}(\theta )}{(n+1)!}}(x-a)^{{(n+1)}}$ 拉格朗日型余项

当a=0时，我们便得到了麦克劳林公式。

常见的泰勒展开

${\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}.$ 麦克劳林公式

sinx 是exp的偶次项，cosx是其奇次项，符号正负交替。

1.4 函数单调性和凹凸性

单调性：不说了。

凹凸性与拐点：

凹：导函数是单调增的，er jie；凸：导函数单调递减

对应二阶导数正负。拐点：凹凸性发生变化的点，二阶导数值为0.求出二阶导数的驻点后，要进行凹凸性检查。

有的点二阶导数不存在，也有可能是拐点。

1.5 函数的极值与最大值最小值

1.定理1:取得极值的点，导数等于0（必要条件）。

2 第一充分条件：该点左边导函数值小于0，右边导函数大于0.该点是极大值点，反之是极小值点。

3 第二充分条件：一阶导数等于0，二阶导数不为小于0，是极大值点，反之是极小值。

工程上有很多都是求最值问题。

1.6 函数图形的描绘

关键词：一阶导数，二阶导数，零点，凹凸性，拐点。

1.7 曲率（光滑曲线）

光滑曲线数学表示为，曲线函数可导，且导数连续。

1:弧微分的定义及其公式：将一段弧长放在直角坐标系中，一段很小很小的弧长怎么求，我们用ds来表示这段弧长。

其表达式： $ds={\sqrt{1+y^'}}dx$ 其推导方法及其公式，这里不在贴出来。

2 曲率：用来表示曲线的弯曲程度。 $\Delta \alpha$ 表示一段弧长起始点到终点的切线转过的角度。 $\Delta s$ 表示弧长， $|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}|$ 表示平均曲率，其物理意义表示，单位长度上角度转过的大小。 $\lim_{\Delta s\rightarrow 0}|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}|$ 表示曲率。圆的曲率是其半径的导数。