Volatility Smile深入解析

1. Overview
　　当我们在交易期权的时候，我们知道期权的价格，行权价格，标的资产价格，无风险回报还有行权时间，而我们唯一不太明白的其实就是volatility，但是我们可以用现在已知的期权价格反算出这个期权对应的volatility。这个由期权价格反算出来的volatility就是implied volatility。
　　需要注意的是在balck-shcoles模型中，我们假设volatility也就是前面的是一个常数。是不会随着期权到期日或者行权价格发生变化。但是我们如果用black模型反算出volatility我们会发现其实implied volatility对于不同行权日或行权价格的期权不是恒定的。那么要么人们对不同到期日或行权日采用了不同的，要么就是black模型没有那么理想。而实际情况是black模型并没有大家想的那么理想，因为我们在black模型中，我们假设asset return是正态分布，而实际asset return接近normal return但不是normal return。因为我们发现black模型并没有完美适用于市场中，所以我们就想试图找到volatility和行权日期(expiry dependent volatility)以及行权价(volatility smile)之间的联系。
2. Implied volatility
　　回想我们之前用Black-scholes模型对欧式的看涨看跌期权如下

　　其中r代表了无风险利率，K和T分别代表了行权价和到期日，而d用如下的公式表示

　　其中代表了option的volatility。而由于black模型中的dynamic公式如下，其中volatility理应对所有的行权价和行权日期来说都一样

　　但我们在市场中算出来的implied volatilities会随着到期日的变化或到期价格的变化而发生变化，我们可以根据到期日和到期价格画出一个volatility的函数，又叫做implied volatility surface，如下图所示

3. Expiry dependent volatility
　　我们在确定volatility和期权到期日之间的关系时，我们可以采用控制变量法，也就是使得资产的价格变化只和时间有关。记得我们之前假设期权的dynamic公式中是一个常数，现在我们写作

　　那么之前的公式1和2中的d就发生了变化

　　上面的代表的是标的资产在时间t-T之间的随时间变化的方差，而也叫做implied volatility。如果当恒成立的画，上面的价格公式其实又变回成black模型。一般来说我们都是假设每个时间段之间的为一个常数来计算
　　比如下面的例子

4. Volatility smile
　　而为了找到volatility和行权价之间的关系，在实际中我们构建以下一些模型：

local volatility model，这个模型使得期权的价格不仅取决于标的资产价格，同时也取决于现在的时间
stochastic volatility model中假设期权价格的volatility还取决于一些其他的factor
jump diffusion model中假设black模型中的额外产生的randomness其实是一种jump形式

　　在实际中，我们会用parametric curve去fit由市场上观测点连接组成的implied volatilities。这是因为首先implied volatilities由于缺乏流动性，bid-ask spreads等原因往往会出现不规则的变动；并且implied volatility在市场上的报价一般是有限的，比如说一只股票期权的行权价格往往都是30/32/34等等，但是实际工作中我们常常需要给一些不常见的行权价期权进行定价
　　而我们在做parameterization的时候，当然也要注意bias/variance之间的trade-off，并且我们做出来的曲线不应该存在无风险套利机会（当然这个比较困难实现）
5. Digital options with volatility skew
　　回想我们之前对于digitial看涨期权的价格可以用俩个看涨期权来定价

　　而如果我们的implied volatility curve是平滑的情况吓，那么上面的式子算出来的看涨期权价格和black公式算出来的价格将会一致

　　然后我们用下面这个例子来展示在定价期权的时候考虑volatility smile的影响

　　首先我们用black模型中的期权定价公式计算出上面strike price=18的时候，digitial option价格=0.7455。但是由于black模型是假设volatility是constant，所以我们实际中不会用上面计算出来的价格

　　我们用black公式算出俩个不同行权价的看涨期权价格

　　然后用公式估计出的价格，然后我们会发现这俩种价格之间的差距很多，由于volatility smile存在

一看图，FINC 6000无疑了6000无疑了[酷]