Black-Scholes Model，Binomial Model 和 Monte Carlo Simulation 在期权定价上分别起到什么作用？

NG君 · 2018-10-17 22:34:03

半瓶子醋来晃悠一下。

先说简单的——Binomial Model （二叉树模型）

写过程序的对二叉树肯定印象深刻，这个模型的思路简单来说就是把股价的变动用二叉树来模拟。针对每一个时间间隔，该模型认为有一定几率涨一定额度、有一定几率跌一定额度，只有这两种可能性。许多时间间隔累加起来就近似出了股价变动的模式。当你设置足够短的时间间隔的时候（比如1s甚至1s以下），几乎可以平滑地体现股价变动的轨迹。然后其定价原理就是期望收益，毕竟到到期日的时候期权的回报将会确定，针对每种可能的 scenario、或者说每个二叉树的最末那一层的所有结点，可以求得期权的回报。然后，每个父结点的期望收益就由其两个子结点的收益关于概率的加权平均决定，再考虑上货币的时间价值。最后层层回推，就能推得你希望定价的时点期权的价值。

举例：当前股价100，1个时间单位之后有50%概率变成200，有50%概率变成50. 有一个1个时间单位之后到期的call，执行价80. 这1个时间单位内可以取得的无风险收益为20%.
到期时，期权价值可能为120（股价200），可能为0（股价50），期望收益是60，再考虑货币的时间价值，现在这个期权，在这个简单得离谱的二叉树模型假设下，价值为50.

然后就是无人不知无人不晓的Black-Scholes了……

任何的衍生品课程、金融工程课程都会详细介绍这个模型，偏数学一些的课程还会介绍完整推导过程，我在这里就不赘述了。简单介绍可以看Wiki：http://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_model 对具体过程更感兴趣的可以去看那篇拿了诺贝尔奖的论文：http://srv02.planchet.net/EXT/ISFA/1226.nsf/fba3680ef04627c2c1256e430032c822/b4201161b37873d6c1256f56002dfc30/$FILE/Merton%20%5B1976%5D%20Option%20pricing%20when.pdf

一句话介绍的话，就是把股价变动看作一个具有特定性质的随机过程，期权的价值由这个随机过程决定，可以通过解一个随机微分方程得到显式解（微分方程有显式解很不容易的！），解就是经典的 Black-Scholes 公式。

B-S公式在刚发表的时候各种假设还比较理想化，但很快被市场接受并用来对期权定价。后人在B和S的基础上还进行了许许多多的改进，有很多衍生的模型。本人并不太了解当前市场中期权的定价具体在用什么模型（各量化交易基金肯定有自己独特的一套定价系统），希望有从业人员能指点一二。

最后来说Monte Carlo吧。前面本人也提到了，微分方程有显式解的情况是比较罕有的，很多衍生品的价值并不能那么简单地用一个公式就求出来。这种时候，Monte Carlo就是一种模拟的方法。该方法的思路就是，随机模拟若干（为了准确怎么也得几百万次吧）次标的物价格的变化，对应地看衍生品的价格变化，然后作平均，最后就能得到衍生品的期望价值。

举个脑残的例子：我特别想知道硬币扔出来是正面的概率，然后我就找了个硬币，扔了两万次，得到10032次正面（向御坂致敬），9968次反面。这样我这次Monte Carlo模拟的结果就是，硬币扔出来正面的概率大约为0.5016

当然现在这样的模拟主要是电脑在做。估衍生品价值，估随机变量的分布函数都很方便，居家旅行，杀人放火都好使。

嗯……如果想进一步学习，熟悉具体的推导过程，还是去找本经典教材啃啃吧。衍生品的话推荐 John Hull 的 Options, Futures, and Other Derivatives