上篇文章我们提到为什么要将资金投入在多个独立商品或市场! 我们介绍"槓杆空间模型(Leverage Space Model)"的概念。我发现许多朋友对这议题很有兴趣，可惜牧清华似乎没有把槓杆空间的intuition说清楚，导致许多朋友有看没有懂。
为什么投资多商品市场!? 传统风控理论告诉我们为了规避风险，所以要寻找"相关係数高"的商品做交易，也因此有配对交易...等策略。而Vince却叫你寻找相关係数低，最好还是独立的商品或市场!?
我们依然用胜率50%，赔率为2的赌局去说明：
玩一场赌局，凯利建议下注25%。注意到这是最佳化(optimal)的结果。最佳化的意思是下注26%以上则太多，下注24%以下则太少，除了25%，其他比例长期下来获利都比25%来的少。
那问题来了! 当我下注25%的资金时，剩下75%的资金要做什么!? 可以再投入另外一个市场吗!?
可以，但只能放在银行定存、债劵...等这种几乎100%获利的市场，放在有风险的市场就不行。
如果我们把剩下的75%资金放在有风险的市场，注意到你原来的赌局就不会是下注25%，而是要根据两个市场的风险机率重新评估下注比例。
因此，当你交易一场赌局，凯利告诉你最佳化25%，那就是25%，不能再多也不能在少。剩下的钱就只能拿去定存。
除非...你有机会找到另外一个独立的商品或市场 (当然这在现实的金融市场中没人敢保证)。假设你找到两个独立的市场，我们继续拿上篇文章的例子去作比喻。
两场胜率50%，赔率为2的商品同时玩，计算的结果是每场各押23%，总资金押46%
如果同时玩三场，每场各押21%，总资金押63%。那同时玩n场呢? 下面我们作一般通式的说明
同时玩n场赌局，这n场赌局裡，可能赢了k次，输了n-k次。因为赢的赔率是2，输是赔光押的筹码，且每场赌局都是押比例f，则这样的情况损益是
1 [2*k (n-k)*(-1)]f
而同时玩n场赌局，赢k次，输n-k次的机率为C(n,k)/2^n，故期望值为
(1 [2*k (n-k)*(-1)]f)^(C(n,k)/2^n)
根据上述式子，我们做个整理，让k = 0 跑到k = n:
赢0场，输n-0场 (k=0)：
赢0*2f，输 n*f 比例的资金，有C(n,0)=1种排列组合
赢1场，输n-1场 (k=1)：
赢1*2f，输 (n-1)*f 比例的资金，有C(n,1)=n 种排列组合
赢2场，输n-2场 (k=2)：
赢2*2f，输 (n-2)*f 比例的资金，有C(n,2) 种排列组合
...
赢k场，输n-k场 (k=3)：
赢k*2f，输 (n-k)*f 比例的资金，有C(n,k) 种排列组合
赢n-1场，输1场 (k=n-1)：
赢(n-1)*2f，输 (n-(k-1))*f 比例的资金，有C(n,n-1) = n 种排列组合
赢n场，输0场 (k=n)：
赢n*2f，输 0*f 比例的资金，有C(n,n) = 1 种排列组合
将上述n 1种Cases整理成一式，可得下注f比例的期望资产为
A(f) = (1 [0*2 (n-0)*(-1)]f)^(C(n,0)/2^n)*
* (1 [1*2 (n-1)*(-1)]f)^(C(n,1)/2^n)*
* (1 [2*2 (n-2)*(-1)]f)^(C(n,2)/2^n)*
* (1 [3*2 (n-3)*(-1)]f)^(C(n,3)/2^n)*
...
* (1 [k*2 (n-k)*(-1)]f)^(C(n,k)/2^n)*
...
* (1 [(n-1)*2 (n-(n-1))*(-1)]f)^(C(n,n-1)/2^n)*
* (1 [n*2 (n-n)*(-1)]f)^(C(n,n)/2^n)
经过计算，我们整理结果如下：
同时玩1场赌局，下注25.00%，资金运用达到25.00% ;
同时玩2场赌局，下注23.03%，资金运用达到46.06% ;
同时玩3场赌局，下注21.08%，资金运用达到63.24% ;
同时玩4场赌局，下注19.15%，资金运用达到76.60% ;
同时玩5场赌局，下注17.26%，资金运用达到86.30% ;
同时玩6场赌局，下注15.43%，资金运用达到92.58% ;
同时玩7场赌局，下注13.75%，资金运用达到96.25%。
同时玩8场赌局，下注12.27%，资金运用达到98.16%。
同时玩9场赌局，下注11.01%，资金运用达到99.09%。
同时玩10场赌局，下注9.96%，资金运用达到99.60%。
下面是同时玩n场的数据，n=1~50
图型表示如下：横轴为同时玩n场，n=1,2,3,...50。纵轴为下注比例。
红点为同时玩n场时，每场个别的下注比例。绿色bar为同时玩n场时，总资金的运用比例。也就是 n*(个别下注比例)。
可以观察到，随着同时玩n场的次数越多，个别的下注比例是指数递减，而下注资金比例却会指数上升。在同时玩5场赌局时，资金比例运用已经高达86.3%，6场以上的赌局，资金运用都是九成以上，无怪乎获利会如此惊人!
那到底资金运用比例越高，会造成多大的获利!? 我们将同时玩1~50场的平均单次获利倍数列在下面。从玩一场每次可获利1.06倍，到同时玩50场每次可获利1.482234倍。
下图是每玩一次平均获利倍数长条图，有没有发现跟上图绿色bar图(资金运用比例)很像。由此可知，在Leverage Space Model理，最佳化的资金比例运用越高，相对应的报酬就越大!两者似乎是呈现线性正相关。
结论：要操爆资金，就要想办法在最佳化f底下，让资金运用比例越来越高，唯一的方法就是寻找多个独立相关的商品或市场。而不是只能把剩下的钱放在100%获微利的定存裡。
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