【期权另一面】期权费怎么来的？期权定价公式详解

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本文来源：银河期货
前言：在当前简单基础的期权概念和复杂深奥的期权量化策略之间，还缺少一道桥梁。某些投资者摇摇晃晃的过了期权量化的独木桥，但还是一知半解，还有大部分普通投资者被拦在了对岸，全然不知。雪花妹妹的《期权另一面》系列文章，以历史上的一些期权模型和文献为基础，尽可能的简单浅显的介绍略有难度的期权量化问题，并且利用量化知识更简单有效的交易和管理期权。让我们一起揭开期权的面纱，走向期权神秘的另一面。

雪花妹妹总是遇到投资者抱怨说：“期权好用我知道，但是期权真的好贵呀！期权到底是怎么定价的呢？”

先别急，雪花妹妹先来考考大家：

有一个摇骰子的游戏，只需要支付1元的“入场费”，就可以来摇一次骰子，如果摇到6点，那么雪花妹妹就会给你6元的奖金，摇到其他点数没有奖金。

那如果规则改了，你摇到几点，就能获得几元的奖金，那么雪花妹妹要收多少钱的入场费才算合理呢？
答案是 1/6*（1+2+3+4+5+6）=3.5,因为只有当入场费等于获得奖金的期望值的时候才是合理的。

虽然入场费贵了，但是游戏也变得对玩家越有利。

期权也是一样，简单来看，把期权费看作是和市场玩游戏的“入场费”，在定价合理的前提下，“入场费”越贵的期权，对期权的买方越有利。下一步，只要衡量期权费是否合理就好了。

但是，想法很美好，现实很残酷。预测股票走势并不是简单的摇骰子游戏，股票上涨的概率是不确定的，且每天股票上涨的概率都可能不一样。除此之外，还有重重阻碍，让众多研究人员无功而返。

在上世纪70年代，美国的两位学者Black和Sholes成功鼓捣出一个的股票期权公式，能够输入一些关键变量，直接得出期权的价值。

推算过程：
第一步，标的股票的价格。
假设标的股票的价格的变化满足一种特殊的“随机过程”——服从对数正态分布模式，并且，还取决于股票价格的收益率期望值和股票价格的波动率。

第二步，期权的价格的瞬间变化量。
根据“伊藤定理”，得到期权的价格的瞬间变化量是由股票价格和时间表示的一个公式。

第三步，构建无风险的证券组合。
假设一个证券组合，包含一个期权空头头寸和若干数量多头的股票，从而抵消证券组合中的随机过程（维纳过程），并抵消了股票价格的收益率期望值。

第四步，假设市场无套利。
前面构建的证券组合必须获取与其他短期无风险证券相同的瞬时收益率。
根据以上四步进行一些数学上的推导，就诞生了能给期权定价的公式——Black Scholes方程式：

第五步，欧式期权的边界条件。
根据看涨期权和看跌期权的边界条件，分别得到如下定价公式：

别看公式如此复杂，但是只要把：
E：行权价格
S：标的价格
T-t：到期剩余时间
r：无风险利率
σ：标的预期波动率
这五个要素代入，就可以计算出期权的理论价值了。

举个例子：
标的证券为50ETF，标的价格为2.551，行权价格为2.55，到期剩余9个交易日，无风险利率为4%，标的波动率取最近一个月的历史波动率23.27%，看涨期权按公式得出的价格应该为0.045。
再对比场内期权合约报价为0.0475，与计算出的理论价格非常接近。

以上五个因素，到底对期权的价格有怎样的影响呢？
看涨期权
看跌期权
行权价格E
↓
↑
标的价格S
↑
↓
到期剩余时间T-t
不一定
不一定
无风险利率r
↑
↓
标的预期波动率σ
↑
↑
（↑表示正相关，↓表示负相关）

因此，内含价值越高，波动率越大的欧式期权，对买方越有利，用BS定价模型计算出的期权理论价值也相对越高。这也可以通俗的表示为：一分钱一分货。

所以，当期权市场实际价格远低于其理论价格时，也许就是一个不错的套利机会哟！

关于作者：
张雪慧，银河期货“权银河”团队期权高级研究员，温州的典型江南美女，人称雪花妹妹；英国伯明翰大学数学学院金融工程系硕士，浙江财经大学经济学、管理学双学士；过去一年主要致力于期权策略研究与产业期权套保投资咨询；专精商品期货、期权数据分析与策略研发，以及产业方向套保方案定制等。

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