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拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较
[
摘
要
]
在生产和科研中出现的函数是多样的。对于一些函数很难找出其解析表达式。即使在某些情况下，可以写出函
数的解析表达式，但由于解析表达式的结构相当复杂，使用起来很不方便。插值法即是解决此类问题的一种古老的、然
而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。
拉格朗日插值法和牛顿插值法则是二种常用的简便的插值法。本文即是讨论拉格朗日插值法和牛顿插值法的理论及二者
的比较。
[
关键词
]
拉格朗日插值
牛顿插值
插值多项式
比较
一、
背景
在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际
问题中，虽然可以断定所考虑的函数
)
(
x
f
在区间
]
,
[
b
a
上存在且连续，但却难以找到它的
解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值(即一张函数表)
。显然，
要利用这张函数表来分析函数
)
(
x
f
的性态，
甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非
常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表(或结构复杂的解析表达式)
，构造某
个简单函数
)
(
x
P
作为
)
(
x
f
的近似。
这样就有了插值法，
插值法是解决此类问题目前常用的
方法。
如设函数
)
(
x
f
y
在区间
]
,
[
b
a
上连续，
且在
1
n
个不同的点
b
x
x
x
a
n
,
,
,
1
0
上分别
取值
n
y
y
y
,
,
,
1
0
。
插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类
中，求一简单函数
)
(
x
P
，使
)
,
,
1
,
0
(
)
(
n
i
y
x
P
i
i
而在其他点
i
x
x
上，作为
)
(
x
f
的近似。
通常，称区间
]
,
[
b
a
为插值区间，称点
n
x
x
x
,
,
,
1
0
为插值节点，称式
i
i
y
x
P
)
(
为插值
条件，称函数类
为插值函数类，称
)
(
x
P
为函数
)
(
x
f
在节点
n
x
x
x
,
,
,
1
0
处的插值函数。
求插值函数
)
(
x
P
的方法称为插值法。
插值函数类
的取法不同，所求得的插值函数
)
(
x
P
逼近
)
(
x
f
的效果就不同。它的选
择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多
项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与
牛顿插值法就是这类插值问题。
在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过
n
的代数多项式
n
n
x
a
x
a
a
x
P
1
0
)
(
使
)
,
,
1
,
0
(
)
(
n
i
y
x
P
i
i
n
，其中，
n
a
a
a
,
,
,
1
0
为实数。
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