数列 {1+1/2+1/3+…1/n} 为什么不收敛呢？

老师上课讲到这个数列不收敛，但是当 n 趋于无穷大时，1/n 会无穷小，那么数列的和 S 不应该趋近于一个固定的值吗？

热心的回应 · 2019-6-10 01:17:47

在解决这个问题之前，先看以下几个问题：
【1】这个级数是否收敛？

显然不收敛，取多少项就能到多少，无穷项结果显然是
。
【2】这个级数是否收敛？

即
个
，
个
，
个
，
个
，等等。
我们把相等的数合并一下：

也就是

根据问题【1】，这个级数不收敛。
【3】这个级数是否收敛？

现在，我们把这个级数和问题【2】中的级数对比一下：

可以发现，这个级数的每一项都不小于问题【2】中的级数对应的项，而后者可以趋近于
，所以前者一定也趋近于
。

热心的回应 · 2019-6-10 01:17:48

Charles Fefferman最近在Numberphile的一个视频作为这个问题的回答再适合不过了。不剧透，自己看：

Infinite Serieshttps://www.zhihu.com/video/1118784994222493696

热心的回应 · 2019-6-10 01:17:49

1. 先说明一些必要的概念
这个应该叫做数列
的级数（准确地来说是常数项无穷级数），其中
称为此级数的通项（或叫一般项），而记你写的
为上述级数的部分和，它又可以构成一个新的数列——部分和数列。
2.部分和数列
收敛则称级数
收敛，反之即发散。值得注意的是(针对题主问题描述里的疑问)，级数通项
的极限为零是是级数
收敛的必要但不充分条件（证明比较简单，用定义即可，此处略过），级数
收敛则一定有
，反之（即逆命题）却不一定成立，这个结论的直接推论（逆否命题）是
则一定有
发散。
3.下面是对级数
发散的证明（由于已经有回答利用常见不等式
放缩证明了，在此用的便是与之类似的放缩法，不过是反证）
证明：我们先假设部分和数列
收敛即
存在，且设为
，故
又有
两端同时减去
得

所以
，这显然不成立，故假设不真
所以部分和数列
发散
证毕。

热心的回应 · 2019-6-10 01:17:50

有个很好玩的证法，也是从社区大神那里借鉴的，简单说如下图，
做一个阶梯函数。（由一坨矩形摞成）每个矩形的底长为1，高为1，1/2，1/3，1/4
则级数，其实是这一坨矩形的面积。
而做函数y＝1/x，会发现，它在这一坨矩形下。
我们发现，y＝1/x从[1，正无穷大）的反常积分发散！也就是面积趋于无穷大。
而级数1/n的面积比一个无穷大的面积还大，肯定也是，趋于无穷大∞
那么问一个问题，为何y＝1/x会一定＜1/n围城的面积？
因为，1/n下降的太慢！

热心的回应 · 2019-6-10 01:17:51

你好，中华级数是收敛的，收敛于400，此处需要@三江方士的伟大理论贡献。他指出了高赞答案那些吊诡和谬误的并项（这些是高中不等式昏庸的花招，骄傲无知的证明者不知道分析真正的数学），拉贝尔是官科捧起来的庸才，解析延拓就是个垃圾。

（滑稽保命）

数列 {1+1/2+1/3+…1/n} 为什么不收敛呢？

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