数学上有哪些非常奇葩的证明？

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热心的回应 · 2019-5-25 20:40:28

一：个人认为就是那种核弹炸蚊子式的证明吧，比如费马大定理证明
证：
是无理数

假设
是有理数，
和
是互素正整数

那么

移项得
又由费马大定理可知：

与费马大定理(Fermat's last therorem)矛盾, Q.E.D. （也可易证2的n分之一次方且n属于大于2的正整数时是无理数）
二：拉姆齐定理（通俗表述）：6 个人中至少存在3人相互认识或者相互不认识。
证：证明如下：首先，把这6个人设为A、B、C、D、E、F六个点。由A点可以引出AB、AC、AD、AE、AF五条线段。设：如果两个人认识，则设这两个人组成的线段为红色；如果两个人不认识，则设这两个人组成的线段为蓝色。

由抽屉原理可知：这五条线段中至少有三条是同色的。不妨设AB、AC、AD为红色。若BC或CD为红色，则结论显然成立。若BC和CD均为蓝色，则若BD为红色，则一定有三个人相互认识；若BD为蓝色，则一定有三个人互相不认识。
还有就是些无字证明吧：

如果有对数学感兴趣的盆友的话可以点下下面这个链接
有哪些神奇的数学巧合？
你遇到的最难的一个数学题是什么？

热心的回应 · 2019-5-25 20:40:29

2^67-1=193707721*761838257287
科勒先生做报告的时候，一言未发，仅在黑板上写下了这个式子，宣告了一个两百多年未解的数学问题的成功解决——M67不是素数。
类比与无字证明，不妨称它为“无声证明”。
背景是梅森素数猜想——当n为素数时，2^n-1是素数。当然这个猜想并不成立，第一个反例是M11,即2^11-1=2047=23*89。

热心的回应 · 2019-5-25 20:40:30

想到一个不算奇葩，但是很有意思的证明。看以下命题：一个无理数的无理数次幂，还是一个无理数，问命题真假？
答案这是一个假命题。
我们看√2的√2次方，这个数，我们称它为a。
（1）如果a是一个有理数，由于√2是无理数，所以我们已经举出反例，命题为伪。
（2）如果a是无理数，那么我们看a的√2次方，根据幂的计算规则，（√2∧√2）∧√2＝√2∧（√2×√2）＝√2∧2＝2。所以a的√2次幂是一个有理数，由于a和√2都是无理数，所以反例给出，命题为伪。
综上，原命题是个假命题。
当时学习的时候这种证明方法给我很多启发。
符号很难打，排版就将就看吧。

热心的回应 · 2019-5-25 20:40:31

见过一个与费马大定理相似的命题，证明比费马大定理简单很多。
费马大定理的内容是：当整数n>2时，关于x、y、z的方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。
而这次要证明的命题是：当整数n>2时，关于x、y、z的方程n^x+n^y=n^z没有正整数解。这个命题及证明是公众号“哆嗒数学网”提出的，该公众号把这个命题称为马费大定理，因为这个命题的形式像是把费马大定理倒过来。
证明如下：假设存在正整数的解，那么把方程两边的整数都看成n进制整数。于是，如果x和y相等，则左边出现的字符是一个2和一堆0的组合，若不等则为两个1和一堆0的组合。而右边只能是一个1和一堆0的组合。于是两边不可能相等。
还有一种证明方法：不妨设x≤y（如果x>y则交换x和y的值即可），由于n>2，可知n^x>0，等号两边同时除以n^x，得到1+n^(y-x)=n^(z-x)。当x=y时，等号左边是2，当且仅当n=2时有正整数解，且正整数解满足x=y=z-1，因此当整数n>2时没有正整数解。当x

热心的回应 · 2019-5-25 20:40:32

前面有位答主提到了无理数的无理数次方的问题，其实这个问题还可以从反面提问:
是否所有的有理数都可以表示成无理数的无理数次方，结论如下
对于所有大于 1 的有理数q，除非它恰好等于某个整数 n 的 n 次方，否则它都是某个无理数 a 的 a 次方，即对于下面的函数

当y取大于1的有理数时，自变量x要么是整数要么是无理数，一个证明如下:
经典论证：“几乎”所有的有理数都是无理数的无理数次方-今日头条而且根据Gelfond–Schneider 定理，Gelfond–Schneider常数:2的根号2次方和它的平方根:根号2的根号2次方都是超越数，是无理数。
p.s.代数数是整系数多项式的根，超越数不是，比如π和e，超越数的证明很艰难，有理数都是代数数，超越数都是无理数
而且代数数比超越数少得多
说到是否可数的问题，有关集合论的问题也很有意思，比如
先定义两个集合等势(对等):能找到两个集合之间的一一对应即可，然后就有

另外，有理数集和正整数集合是等势(对等)的，感兴趣的可以参考实变函数基础

数学上有哪些非常奇葩的证明？

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