方向导数是对任意方向的导数，动态效果图：https://www.geogebra.org/m/MsqnxRqc，而偏导数是以x切面或y切面上的导数
假设z=f(x,y)为一曲面
![]() 为f定义内的一个点，如下图所示，设u为单位向量u=icosθ+jsinθ，并且平行于L
求u方向的方向导数斜率，可做一个通过P点平行于u方向的垂直平面，如下图所示，该垂直平面与曲面f(x,y)相交于曲线C,曲面在点
![]() 上沿着u方向移动到Q点(x,y,f(x,y))，连接点
![]() 与点Q(x,y)的直线方程用参数方程表示为：
![]() ( t为任意实数，Q(x,y)是直线L上任意一点)
备注：如下图所示，之所以用极坐标参数方程表示直线，是因为参数方程可以让直线在360度的任意方向上移动，而方向导数就是研究曲面在不同方向上的切线斜率
所以P与Q之间的距离为：
![]() 连接点
![]() 与
![]() 点的割线斜率可以写成
当
![]() 时，可以得到方向导数的定义
![]() 如果极限值存在，则沿着
![]() 方向的方向导数为该极值。
在求方向导数使用定义求解之外，还可以使用偏微分来简化计算
因为：
又因为函数z=f(x,y)可微，所以
由方向导数
![]() 公式可知是一个向量的形式表达，是在x轴方向上的变化分量与在y轴方向上的变化分量进行向量的相加，如下图所示
梯度概念理解：如下图所示，在p点放一个热源的等温线，则热源的辐射从里到外为10°、20°、30°、40°，若一个小蚂蚁在o点，要最快逃离热源，应该往oj方向逃离，若往om方向逃离则热源的变化率为0，即一直都是20°，也就是说蚂蚁一旦确定了某个逃离方向(0°,90°）方向角逃离，只要一直沿着该方向一直走，就是最快的热源降低的方向
同理，一旦确定了方向导数的方向，沿着方向导数的方向就是梯度变化最快的方向，如下图所示，只要沿着PQ的方向角移动，则梯度下降得最快，就是最速降曲线
根据方向导数公式：
![]() 可以写成向量点乘的形式：
![]() 令：
![]() 因为
是单位向量
![]() 所以
![]() 当θ=0时， cosθ=1，所以
![]() 最大值的方向为
![]() 即沿着方向导数方向梯度变化最快
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