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对于Duffing振动系统，当外激励不断发生微小变化时，系统的振动频率会在“某处”发生突变（升or降），“某处”取决于外激励的频率是在不断增加还是减小，以及是硬化还是软化非线性。（硬化：指弹簧的非线性刚度项>0；软化：弹簧的非线性刚度系数<0）
为了确定突变频率和响应峰值，我们可以利用如下方法：
一、解析法
1、经典微扰理论
多尺度分析，多尺度分析适用于弱非线性振动系统（或者强非线性系统的突升频率），突变频率点接近于线性系统的无阻尼固有频率。
2、谐波平衡法 （HBM）
适用于所有非线性（无论强弱）振动系统
二、数值法
三、解析数值混合
[On the jump-up and jump-down frequencies of the Duffing oscillator]主要讨论了Duffing振动系统（包括硬化和软化）在小阻尼情况下的跃变频率和响应幅值的近似表达式。
结论：
1突降频率取决于系统的非线性程度和阻尼
2突升频率主要取决于系统的非线性程度，和阻尼关系不大
3激励力的极限取决于系统的阻尼 | 
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