说2是1+1的定义是不对的！
2的定义是1的后继而不是1+1这个加法的运算结果。
1+1=2是可已从Peano公理推出来的。。。
大致思路好像是是用1的后继（1++）定义2，再用后继定义“自然数的”加法，证明“自然数的”加法的结果存在且唯一（0+1=0++=1而不等于其他任何数），然后去证明1+1=1++而不等于(1++)++或是((1++)++)++等。有了这些的证明之后，我们就可以去证明5+2=7和5+2=2+5等看起来更复杂的结论了，然后就可以超过“吃枣的猴子”达到“法国小学生”的水平啦）
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回答1+1=2首先要明白两个概念，什么是自然数1和2？什么是加法？
自然数
第一点，自然数的定义有好几种，Peano公理是其中的一种。另一种比较常见的定义是用有限集合的基数（元素个数），空集{}的元素个数定义为0，单元素集{A}的元素个数定义为1，依次类推。这个定义当时比较像数苹果，两个苹果对应的数就是2. 但是比较不好的一点是在这个定义上建立数系要比Peano公理困难一点。比如要证明{A, B, C}和{E, F, G}这两个集合基数（乃至所有三元素集）表示的数的相同的，且和{X,Y}等所有二元素集的个数不同。对于{A, B, C}和{A, B}我们可以用集合的子集来定义其基数的“序”，也就是比大小，用它来定义不同的数，但要推广到{X, Y}等非{A,B,C}子集的情形，我们需要引入一一映射的概念才能解决。
另一个常用方案是用Peano公理，这个公理构建数的方法是数数。不是数五个苹果是5这样数，而是数羊：一只羊、两只羊、三只羊……这样有顺序的“数”。在用这个定理前，我们要先验地定义下“后继”。就是数完这个数之后数的那个数。但是这样并没有解决对自然数的定义。因为我们不知道是不是这么数着数着就会数回去。因此我们要更详细地看下这个用数数（后继）定义的自然数是不是有比较好的性质。
记号：我们把后继记为 ++（其他任何符号都可以）
Peano公理：
公理0.1 零（0）是一个自然数
公理0.2 一个自然数的后继也是自然数。
注0：以下的注一部分是特仑苏讲义中的内容，摘录下来，一部分是我觉得还需要加入说明的内容。特仑苏有些拓展开来的说明，比如p进数等，因为和这个证明无太大关系，就省略了。
注1：到目前我们已经得到所有自然数了，他们是0、0++、(0++)++、((0++)++)++……但这样记号不方便，我们令1:=0++、2:=(0++)++……当然如果要记3:=(0++)++也是可以的，但为了保持和传统一致我们就用2来表示(0++)++，而不采用其他记号，这一点并不是这个证明的关键。
注2：关于括号的使用是值得讨论的，但在此处不是很重要。
注3：我们现在还不能记自然数集为N:={0, 1, 2, 3, ……}，因为到目前为止我们没有证明他们能构成集合，即他们没有重复的元素。
练习：4是自然数。
公理0.3 任何自然数的后继都不是零。即对于任何自然数n，![]()
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练习：![]()
公理0.4 任何不同的自然数有不同的后继。即![]()
练习：![]()
公理0.5 （数学归纳）令P(n)是关于自然数的一个性质，若P(0)为真，和当P(n)为真的时候，P(n++)也为真，可以推出P(n)为真对所有自然数为真。
注4：这个原理可以用其他的原理来“证明”，比如反证法，若存在P(m)不真，必有最小的m（记为x）且x不为零。那么存在另一个数y，y++=x且P(y)为真。那就和“当P(n)为真的时候，P(n++)也为真”矛盾了。但是这里我们还没有定义什么是“小”，也没有证明“若干个（有限个或者无限个）自然数中存在最小值。”所以其实可以用其他原理比如“存在最小元”来代替这一条，但是Peano选择的这一条似乎更符合直觉一点。因为有限个自然数中存在最小的自然数是很显然的，但是无限个自然数存在最小自然数就没那么显然了。（有兴趣的读者可以了解下Zermelo–Fraenkel公理体系里的选择公理和引发的Banach–Tarski paradox）
注5：到目前为止，我们其实已经证明了自然数集是存在的，以上公理定义的自然数是穷尽的、不重复。即不存在自然数不能被某个自然数的后继定义、不存在一个自然数被定义了两遍。那么我们可以将之定义为一个集合，即自然数集。
注6：以上的自然数集的定义是构造性的。即不是原本存在什么东西是自然数，而是我们让这样构造出来的数是自然数。当然也可以构造从1开始的数为自然数，令0不为自然数，但这样没什么好处。
加法
现在我们来看什么是加法。我们把加法粗略地定义为：“对一个自然数m加上n即让这个数增长n次”。每次增长即多数一个后继。规范化的定义为：
定义 自然数的加法 ：对一个自然数数加上零即为它本身。记为m+0:=m.假设m+n已经定义好了，那么m+(n++):=(m+n)++。
注7：在这个定义里使用了一次公理0.5（数学归纳原理），完成了对加上一个自然数的定义。我们可以检验一下。m+1=m+(0++)=(m+0)++=m++, m+2=m+(1++)=(m+1)++=(m++)++
注8. 到此为止，我们已经证明了1+1=1+(0++)=(1+0)++=(1++)++=2!但是我们还没有证明1+1不等于其他数。在证明这个结论前我们先来看看这样定义出来的加法的美妙的性质。
注9：在特仑苏的书里面，他定义的是0+m:=m，因此后面证明了一个引理m+0=m，但我觉得把第一个数作为被操作的对象更符合一致性，因为我们之前定义后继采用的是m++这个记号，而不是++m这个记号。
引理：0+m=m
证明：这个不能直接从m+0=m推得。但可以通归纳法得到。因为0+0=0且0是自然数。那么假设0+n=n，那么有0+(n++)=n++，那么可以得到对所有自然数m有0+m=m.
练习：对m的后继加上n，根据以上的证明和归纳法可以得到，是m+n的后继，即(m++)+n=(m+n)++
命题（交换律）：n+m=m+n
证明：先根据m+0=m和0+m=m，假设m+n=n+m则有m+(n++)=(n++)+m，那么对所有m+n=n+m都成立。而中间的式子可以由加法定义得到m+(n++)=(m+n)++，又(n++)+m=(n+m)++=(m+n)++=m+(n++)，证毕。（又一次使用了数学归纳原理）
注10：其实前面没有直接证明1+1不等于非2的数是因为我们平时理解的加法1+1是对称的，即既可以理解为对第一个1加上1也可以理解为对第二个1加上1，而我们定义的加法是不对称的，是对第一个1加上1，而不表示对第二个1加上1，这个只有当证明了加法满足交换律之后才能更深刻地理解1+1表示两种表面上不同的“操作”事实上是一致的。
练习（结合律）：(a+b)+c=a+(b+c)（证明见特仑苏 命题2.2.5）
练习（消去律）：a+b=a+c可以得到b=c（证明见特仑苏 命题2.2.6）
命题：![]()
证法1：利用反证法：3表示的是2++=(1+1)++=1+(1++)，如果1+1=1+(1++)那么根据消去律得到1=1++，即0++=1++与公理0.4矛盾。同理可证![]()
.
证法2：由注8得到1+1=2，由公理0.4的得到![]()
, 则![]()
注11：到以上，我们只定义了自然数和自然数的加法，还没有扩展到整数或者有理数。有兴趣看看加法是怎么被扩展到整数、有理数乃至实数的，可以参考特仑苏的第四到六章。
参考文献：Tao, Terence Analysis |
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