一条线的面积为什么为0？

既然一条线的面积为0，那为什么一个面由无数条线组成面积却不等于0。这样一想好像积分的定义也想不通了

有关回应 · 2021-6-1 08:56:22

简单来说你的问题可以归结为如何严格定义面积这个概念更合理。

[h1]1. 问题的起源[/h1]首先，问题的来源肯定是我们的日常生活，经济活动等。比如你去买布，昨天老板卖了一块方的，量一下长跟宽然后正常定价，但是你今天去要一块椭圆形的，老板就有点懵了，要如何给你算钱呢？面积的概念就油然而生了。
[h1]2. 从实用到逻辑合理[/h1]其次，在实际生活中，无论多复杂，我们只会遇到给封闭图形定义面积的情况。
因此像你说的一条直线的面积是多少，这种问题基本上只有数学家在考虑面积定义的合理性的时候才会提出。
这种叫做概念的延拓。

就像通常我们只会考虑实数，它的特点是自身平方非负。但是随着生产的复杂，我们对世界认识的加深以及数学内在发展的需要，我们总会频繁的遇到自身平方为负的情形，这样我们就有了复数，而复数的运算规则和含义是不能随便乱来的，它必须是实数的make sense的延拓才行，而要满足这句话就导致了很多复数的性质都必须只能是它该有的样子。

同样地，面积也如此，你要在不常见或者说极端的情况下也让这个概念有意义的话，必须是常见的封闭图形的‘面积’这个概念的make sense的延拓。
而这表面看很简单，实际上是非常艰难的事情。
经过很多代数学家的努力，目前当然已经有了完美的解答，那就是:

测度论

测度-From Wikipedia, the free encyclopedia它实际上是概率论公理化的理论基础。面积就是一个特殊的测度而已。

而一个测度之所以能成为一个测度，必须要满足一些很合理且自然的公理条件，这里再展开就是很专业了，基本上是数学系硕士课程。

直观上很粗略地想，你可以认为低维的图形谈‘高维面积’是没有什么意义的，但是为了保持这个概念make sense的要求，即某种连续性或者统一性，必须让所有低维图形的‘高维面积’为0.

比如一维面积就是长度，二维面积就是通常的面积，三维面积就是体积，四维以上的面积统称高维体积，因此一些离散的点(零维)的长度，面积，体积都是0，一些离散的直线或者线段(一维)的面积和体积都是0，一些离散的平面或者曲面(二维)的体积都是0.

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有关回应 · 2021-6-1 08:56:23

点的面积也为零，但由无数个点组成的线面积仍为零。
可见点的面积的“零”和“线”的面积“零”是不一样的。“零”是什么？是空无一物吗？在这里好像不是。
我认为不妨把面积为零换一种说法，叫面积无穷小，当仅考虑单个对象(点或线)的面积时，无穷小和真正的零即“空虚”是一样的，但考虑无穷个点或线时，就不能把它们忽略掉，而是当成一个不为零的无穷小量，无穷个无穷小之和可能产生各种可能，取决于具体情况。
总之，涉及到无穷的概念时就不能用考虑有限的思维去考虑，无穷和有限是有很大的不同的。

有关回应 · 2021-6-1 08:56:24

请把这个问题问5年前的我，而不是问现在这个文盲。

有关回应 · 2021-6-1 08:56:25

面不能说是无数条线组成的，，，差一个维度，再多的线叠加也没有面积

有关回应 · 2021-6-1 08:56:26

测度

一条线的面积为什么为0？

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