数学，定义的不需要证明还是能证明的不需要定义？

自然数 1 既不是质数，也不是合数。属于定义吗？
如图，这个属于证明吗？

比如说：我们定义了圆是360度。就不需要再定义半圆180度。
附：
质数：又称素数，指只能被1和自身整除且大于1的自然数。
否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。

有关回应 · 2021-5-31 18:56:30

都不是。
同一种性质可能存在不同描述，而且在它们之间还可以互相证明，如果这样的话选择一个作为其定义即可。
如果你证明了定义，那么在证明过程中一定使用了和该定义相等价的描述。
欢迎批判指正！

有关回应 · 2021-5-31 18:56:31

定义是对一个复杂描述起一个简单的名字，它的正确性决定于它所代表的描述。
素数就是一个定义，合数也是一个定义。“1不是素数也不是合数”不是一个定义，它是一个判断，表达了一个命题。如果给这个描述起一个名字叫“1的特例”，那1的特例是一个定义，他是否正确还是要看描述是否正确。

有关回应 · 2021-5-31 18:56:32

就“1既不是质数、也不是合数”这个命题而言，可以是定义，也可以是证明。个人更倾向于定义。
按我当年学的内容。情况大致是这样的：
首先自然数不包括0。这个是97年（？)教改的时候改成了自然数包括0，我学的时候没有这个，所以按我的来。

质数定义是“不存在1和自身之外其它因数的自然数。”
合数定义是“存在1和自身之外其它因数的自然数。”

显然1不符合合数定义，即1不是合数。那么1是不是质数呢？
直接定义：1不是质数。
这里具体原因可能是出于为了保证在算术基本定理里质因数分解方案唯一性的考量。

有关回应 · 2021-5-31 18:56:33

任何领域的定义，都是新加了个概念，这个概念指代一个比较固定的复杂逻辑吧？类似编程语言里的宏？

有关回应 · 2021-5-31 18:56:34

1.定义不是证明，定义是一种类似规定的东西，比如说极限的定义——
函数
，在直觉上，你能感觉到
，但是怎么用精确的语言，没有歧义的语言去描述这个直觉？
比如：
越大，
越接近于0——对
，如果
，则
，定义
在无穷大为0，符号记为
。
但是这个定义中，我们把0换为-1也是成立的，但是我们的直觉表示
，因此这个定义不符合我们的直觉。就这样，不断有人提出极限的定义，然后有人提出一种符合直觉的反例去反驳，最后得到了现有的极限定义。
所以，你可以定义
为自然数，定义
为自然数，那是定义的自由，而在公共领域(比如教科书、科研)的定义，则是经过公共直觉检验的定义（不存在一个不符合定义却符合大多数人直觉的例子）
2.这个例子是命题，但是证明很怪。
这个例子是利用合数三角形的性质来推论出1即使合数又是质数，从而得到结论1既不是合数也不是质数。这里面涉及很多感觉很怪的东西——
1.什么是质数，什么是合数，二者的定义是否符合排中律(是A就不是B，是B就不是A)？如果定义和教科书一样(只能整除1和本身)，那么就立马得到了问题：1是质数还是合数(这里要看这个本身是否是1以外的数)。
2.合数三角形是怎么得到的？1怎么在L=-1层？
3.(就是A又是B，不符合排中律)怎么推出(既不是A又不是B)？这在逻辑上不符合我的直觉。
#我的结论：定义不需要证明，定义有两个用途：1.与现实结合的时候需要符合直觉；2.用于约定一些特性，比如不可约矩阵的定义等。
这个例子很怪，有种用结果来证明原因的感觉。

数学，定义的不需要证明 还是 能证明的不需要定义？

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