1-1+1-1+1-1+1... 这个无穷数列的值是什么？如何证明？

有关回应 · 2021-5-30 17:22:01

这是Grandi's series [1]，还是很重要的，应用也很广泛。

在一般的求和定义下，部分求和的结果在0，1间震荡，因此没有极限，级数无解。

但是有很多方法，可以算出1/2这个结果。
方法A:先不管解存不存在，设他为S，得出S=1-S。
方法B:或者将级数看作(-1)^n的几何级数，得到S=1/(1-(-1))。

以上用的两个方法，一般来说都不合法，因为级数不收敛。但是这两个非法的计算得到相同的结果不是巧合。事实上，可以用严格的定义将级数的值推广到发散级数[2]。
方法A用的是Cesaro求和[3]，定义为部分求和的平均值的极限。
方法B用的是Abel求和[4]，定义为一个带变量级数的极限。

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Divergent_series
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_summation#Abel_summation

有关回应 · 2021-5-30 17:22:02

首先，这是一个发散的数列，在传统意义上并不收敛。
但是，如果你想考虑一些非传统意义上的事情，尤其是在物理这个学科里遇到这种问题，这个问题还是有意义的。
要处理这种问题，一般是要把这个问题拓展到复数域中，这个问题就变成了

即考虑
而
于是得到了在复数域上的答案，0.5

有关回应 · 2021-5-30 17:22:03

对于这样的发散级数，你甚至可以让它等于任何想要的整数，只要重排一下各项的顺序就行了。所以，问发散级数的值是什么，意义不大。

请维基一下维基百科中的“发散级数”，我上面的回答太肤浅，没有价值。

有关回应 · 2021-5-30 17:22:04

请先定义级数和必须well defined

有关回应 · 2021-5-30 17:22:05

0.5，隐约记得youtube有证明的
针对以下的格兰迪级数
1  1 + 1  1 + 1  1 + 1  1 + …
一种求和方式是求它的裂项和：
(1  1) + (1  1) + (1  1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.
但若调整括号的位置，会得到不同的结果：
1 + (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.
用不同的方式为格兰迪级数加上括号进行求和，其级数和可以得到0或是1的值。
格兰迪级数为发散几何级数，若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数，可以得到第三个数值：
S = 1  1 + 1  1 + …，因此1  S = 1  (1  1 + 1  1 + …) = 1  1 + 1  1 + … = S，即2S = 1，可得到S = 0.5

1-1+1-1+1-1+1... 这个无穷数列的值是什么？如何证明？

5 个回复

浏览过的版块