为何向量没有除法运算？

我们知道，所谓向量，就是「既有大小，又有方向的量」。向量有加、减、数乘、数量积、向量积运算，但唯独没有除法（这里指的是分母中含有向量的情形）。一般的高数课本在《空间解析几何》章节中都没有与向量除法有关的内容。想请教一下，向量真的没有除法运算吗？

有关回应 · 2021-5-28 09:34:14

这是我之前就纠结要如何跟高中生讲这个问题，实在不好意思说这个你们以后就会懂了。ミ Д彡不过题主就随便看看，我是针对高中孩子要如何解释的……(●''●)希望对你有一丢丢帮助……

我们先来看看什么是除法——已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。除法可以看成是“乘法的逆运算”．

那么问题又来了，什么是逆运算_百度百科——运算是一种对应法则．假设
是一个非空集合，对A中的任意两个元素
和
，根据某种法则使
中有唯一确定的元素
与它们对应，我们就说这个法则是
中的一种运算．
这样，给了
的任意两个元素
和
，通过所给的运算，可以得到一个结果
．反过来，如果已知元素
，以及元素
，
中的一个，按照某种法则，可以得到另一个元素，这样的法则也定义了一种运算，这样的运算叫做原来运算的逆运算．
如加法和减法，乘法与除法，幂与对数，微分与积分也互为逆运算．

所以，简单的说，逆运算就是在求逆元。

而我们知道的向量的乘法有两种，一个是数量积数量积，一个是向量积向量积。

·先来看看数量积有没有逆运算呢？
如果数量积有除法的话，设向量
和
的乘积为
(数)，即
那么
由数量积的定义，两个向量的数量积等于一个向量的模乘以另一个向量在此向量上的投影，那么如果
确定的话，改变
的方向和大小，发现有无数个向量的投影等用于
在
方向上的投影，即如果乘积不变，则向量
的解是无穷多的，所以向量的商不是唯一确定的。
所以数量积的逆运算是没有的╮(╯_╰)╭
大概看图就这样理解吧……

对于高中的小朋友讲完数量积其实就可以差不多告一段落了~

但是还有向量积呢……
·那再来看看向量积有没有逆运算呢？
我也继续假设向量积存在除法，因为向量积的结果仍然是一个向量，设向量
和
的乘积为
(向量)，即
那么
我们知道，向量积的模可以看作平行四边形的面积，那么如果
确定的话，那么变化
的长度和方向，也可以得到相同面积的平行四边形，显然向量
的解是无穷多的，所以向量的商不是唯一确定的。
所以数量积的逆运算还是没有的╮(╯_╰)╭

我们发现对于数量积和向量积，他们的逆运算都是不确定的，所以，向量的除法是不存在的.

其实学了群以后，就不用这么繁琐的讲这么多了。

有关回应 · 2021-5-28 09:34:15

本答案要涉及一点代数知识。
先想清楚除法是怎么回事。前面几个解释得很清楚，除法和乘法应该互为逆运算。对于实数域上的有限维向量空间，先不管除法如何，如果希望定义一个合理的乘法，则它就成了一个结合代数。要是再希望它可除，那么我们的选择就非常有限了，因为有限维的实可除结合代数精确到同构只有三个：实数、复数、四元数，它们的维数分别是1，2，4。对于三维空间来讲，既然维数不同，它不可能同构于这三者之一，所以其中的任何一个合理的乘法（对加法有分配律的结合运算）都必然不可逆。
再说向量积。它不是结合的，但是它满足Jacobi等式，所以自然赋予了三维实空间一个Lie代数结构。它可以嵌入到3 by 3矩阵Lie代数中。对于实矩阵Lie代数不可能谈论除法：矩阵Lie代数的braket是由对易子生成的，谈除法没有意义，因为它是反交换的。
别跟我说特征2的情况，烦。

有关回应 · 2021-5-28 09:34:16

   向量和向量空间都是要相对于基域讨论的。不讨论基域，不就是耍流氓吗。
   另外提问者也需要注意，问题里所说的向量，是中二学生的向量，不是高代高数课本里的向量。
   如果基域是实数或者复数，当然不是任意维向量都可以做除法，而且只有那么几个维数可以。很多回答都已经提到了这一点,算是答到了点子上, 其余的大多数回答，基本上是堆文字的胡说八道。
   但是没有人愿意多提一句的是，很多情况下，例如基域是有理数
，或者有限域
,那么答案是任意维都可以做，特别是有理数情况时做法可能多如牛毛（有限域时是唯一的）。
   原因很简单：基域
时，总存在至少一个不可约
阶多项式。这个需要稍费口舌，然而却很也是基本内容，可自行查阅或证明。
如果这个不可约多项式记作
,那么多项式环
模掉
倍数得到

  或者换句大白话，添加相应一个根得到的就是一个扩域并且是基域
上的
次扩域，当然也是一个
维向量空间。由于是域，任何一个非零“向量”都存在唯一的逆，而且也有交换的乘法，因而向量也是可乘的。对于一个具体的不可约多项式
,相应四则运算都是可以具体写下来的。更一般的，
可以换成其它域，而复数作为实二维向量空间都可以认为是其一个特例, 只是实数扩充到复数做域扩张的事情就已经结束了，故而稀少（放松交换律到四元数，然而这一点也和域扩张稀少有关。进一步放松结合律可到八元数）。实际上几乎任何一本抽象代数书里面都会讲到这一点，只是它们不喜欢用向量给你写出来，甚至懒的连例子也不举，于是让甚至学过高代的人都误以为没有，或者以为高中生看不懂罢了。
   至此我觉得这个问题可以关闭了。
   这里再点评一下克里福德代数的构造。首先，尽管其中的 “向量”（实际上指的是构造克里福德代数用的生成元而不是整个克里福德代数作为向量空间里的向量，它们维数不一样）可逆，但向量乘法不封闭。其次，如若考虑克里福德代数里面所有的量，乘法封闭，但是又存在不可逆元。再次，克里福德代数维数只能是2的幂次。最后，克里福德代数的根本目的，不是为了实现除法。

有关回应 · 2021-5-28 09:34:17

谢邀 @王希。

先上结论：矢量除法运算是可以定义的。

趁着 @安堇然知友的答案没被赞太多赶紧来解释。虽然她说的没错，但是矢量分析中确实有矢量除法，和一般意义不同。

除法的一般说法是：已知两因子乘积和其中一个因子，求另一个因子的运算。

一、矢量叉乘无法定义唯一的除法运算

若
,现已知
,求
.设

得线性方程组如下：

由于系数行列式为0，无法由此解出
.

二、矢量点乘无法定义唯一除法运算

若
，现已知
,求
.不妨设
已求出，且
为垂直
的单位向量，则有
（k为任意常数）也是原方程的解。

三、同时已知点乘和叉乘定义矢量除法运算

若
,则有

解出
.

四、复数解释

当矢量为平面矢量时，其可与一复数对应。即

则有

显然有

注意到其点积和叉积是福函数中的一对实部和虚部，若为一般解析函数即满足Cauchy条件。

五、参考文献

[1]梁昌洪，矢算场论札记，科学出版社。2007年9月。

有关回应 · 2021-5-28 09:34:18

向量的加法满足消去律：

所以加法逆运算是存在的，就是减法。

向量数乘其实也满足消去律：

因为纯数有除法，所以数乘的“逆运算”其实也存在，不过也是数乘，是向量与“纯数的倒数”的数乘。

向量之间的内积不满足消去律，因为广泛存在“正交”情形，即

甚至是

这样以后，如果有式
成立（注意分配律和加法的消去律还能用），只能得到
，而不能得到
。
同理，三维向量的矢量积不满足消去律，因为“共线”情形是更加的广泛，即

所以
的成立也只能得到
，而不能得到
。
但是内积等式和外积等式联立可以消去，

如果有所谓的内外积
，那么它存在消去律，有消去律就可以定义除法，但这个模样的除法着实有些奇怪。不过它终归是可以计算的。

这里引用了楼下的结果，他使用了连续叉乘的混合积展开。

为何向量没有除法运算？

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