数学上，任意是否等价于任意大和任意小？

如果是的话，在譬如极限定理的ε中，使用“任意小”代替“任意”来定义岂不是更好理解。

有关回应 · 2021-5-28 00:39:26

因为一般 ε都大于0，所以为了方便经常说任意小或者足够小 (sufficiently small/arbitrarily small)。但定义是严谨的，既然是任意就是任意 ()，特别强调趋近小或者大就是极限了。

有关回应 · 2021-5-28 00:39:27

否。“对于任意x是实数，x^2>0”这个命题是错误的，但是对于很大或者很小的x都是对的。更何况有些时候“任意”之后接的那个变量的值域就没有序关系。
事实上，逻辑里面并没有诸如“任意大”和“任意小”之类的东西。但是在极限的定义中，确实有“若命题对于epsilon_0成立，那么对于任意epsilon>epsilon_0，命题总成立”这样的情形发生，例如极限的定义；我们不妨认为，如果命题有这样的性质，任意就是“任意小”的意思。
数学是讲逻辑的，任何东西都要先定义再使用，含混不清没有定义的词语比如题中的“任意小”之类的只会造成混乱，让人不知道怎么判断。但是单就极限的定义而言，由于满足上述性质，在理解的时候确实可以说“任意小”，或者说我们前述性质是符合“任意小”直观的，题主可以试着思考一下。

数学上，任意是否等价于任意大和任意小？

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