为什么行列式的某一行所有元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积之和等于零?

有关回应 · 2021-5-25 23:54:44

可以这样想
某一行元素乘另一行对应代数余子式可以转化为一个新行列式，根据性质，新行列式即是把原行列式的某一行元素变成其所乘的另一行的元素，发现新行列式有两行元素全相同，即新行列式值为0.

有关回应 · 2021-5-25 23:54:45

给一个我从我同学那里偷来的灵性证明。
把第i行的元素加到第j行元素上（行列式值不变），再将行列式按第j行展开，得
D = （aj1 + ai1）Aj1 + （aj2 + ai2）Aj2 + …… + （ajn + ain）Ajn
= D + （ai1Aj1 + ai2Aj2 + …… + ainAjn）
所以上式后面部分为0
不过还是楼上说的方法更为本质，第i行的元素分别乘以对应的第j行元素的代数余子式，就相当于把原行列式的第j行元素替换成第i行元素，再按第j行展开。
所得到的新行列式的第i行和第j行完全相同，所以等于0

看到有人看，那便再补充一道例题，加深理解

有关回应 · 2021-5-25 23:54:46

其实就是按楼上那样子把式子全部写出来，按照对照行列式的定义：行列式等于每一个元素与其对应的代数余子式乘积之和，把刚刚得出来的这一串式子按照上面的定义反推出其行列式，你会发现这个推出的行列式中出现了两行元素完全相同，同时这两行相同元素的所在行恰好是原来的元素所在行和原来的另一行元素的所在行。所以为零

有关回应 · 2021-5-25 23:54:47

刚好查到这个问题，其实大家说的很明白了，但最开始我还是有些不懂，就翻了老爷子的讲解，给你附上图片，一目了然：重点是根据这个式子构造新的行列式。
http://weixin.qq.com/r/Ezm0rGPEkz7srSfP92wB http://weixin.qq.com/r/sipEXBLEIU9erVY-93_g (二维码自动识别)

有关回应 · 2021-5-25 23:54:48

不知道我这样的理解行不行？

为什么行列式的某一行所有元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积之和等于零?

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