根号 2 的平方为什么等于整数 2？

根号 2 算出来是一个无理数，无理数的平方不也是无理数吗？是否证明根号 2 的平方等于整数 2 是错误的？

有关回应 · 2021-5-14 21:02:27

无理数的平方不也是无理数吗

直观地想，一个整数
可以是两个无理数之和，如
；也可以是两个无理数之积，如
。

抛弃了这个错误概念之后，是否能较易接受？

有关回应 · 2021-5-14 21:02:28

逻辑大概是这样的:
什么数的平方为2呢？人们努力寻找最后发现原来的有理数体系表示不了这个数，因此就发展出无理数。怎么称呼和表示这个数呢？就用根号2吧。

ps: 补充说明一下为什么根号2为无理数，这是反证法的经典例子：
假设根号2为有理数表示为 P / Q, 其中P、Q为两个不可约分的整数（有理数的定义就是这样的，由最简单的整数发展而来，如2=2/1, 2.3 = 23/10, 0.15151515... = 15/99），则 P^2 = 2 Q^2 , 右边为偶数，那么P必然为偶数，设P = 2K, 代入上式有 Q^2 = 2K^2, 同理Q也必然为偶数，那么 P和Q就可约分了，矛盾。因此根号2不可以表示成有理数！

有关回应 · 2021-5-14 21:02:29

无理数的运算并不封闭，实数才是封闭的。

所以你说无理数乘无理数不还是无理数吗？这个概念本身就有错。

至于回答里面好些人在那里叫嚷的我也是醉了……

有关回应 · 2021-5-14 21:02:30

是
上的代数元，极小多项式为
.

是集合
的上确界。

有关回应 · 2021-5-14 21:02:31

顺序都搞反了。。。。也真是服。
一个数字的平方等于2，这个数字取个名字，被定义为根号2！！！所以你在问的是什么！！！
根号2被发现，不是有理数。怎么证明根号2是无理数，在matrix67的博客上有很简短的证明，可以去看，好像是假设根号2= p/q 什么的。用的反证法。

有理数乘以有理数，是有理数。

无理数乘以无理数，就是无理数吗。

根号 2 的平方为什么等于整数 2？

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